导数练习题及答案

1、章末检测一、选择题1. 已知曲线y = x2 + 2x 2在点M处的切线与x轴平行，则点 M的坐标是()A . ( 1,3)B. ( 1， 3)C. ( 2, 3) D. ( 2,3)答案 B解析 t f' (x) = 2x+ 2 = 0,二 x= 1.2f( 1) = ( 1)2+ 2 X ( 1) 2= 3.A M( 1 , 3).2. 函数y= x4 2x2 + 5的单调减区间为()A .(汽1)及(0,1)B. ( 1,0)及(1 ,+ )C. ( 1,1)D . ( 8, 1)及(1 ,)答案 A解析 y' = 4x3 4x= 4x(x2 1)，令 y' &l

2、t;0 得 x 的范围为( , 1) U (0,1)，故选 A.3 .函数f(x)= x3+ ax2+ 3x 9，在x= 3时取得极值，则 a等于()A . 2 B. 3C. 4 D. 5答案 D解析 f' (x) = 3x2 + 2ax+ 3.由f(x)在x= 3时取得极值，即 f' ( 3) = 0，即 27 6a + 3= 0, / a= 5.14. 函数y= In-的大致图象为()|x+ 1|答案 D解析 函数的图象关于 x= 1对称，排除A、C,当x> 1时，y= ln(x+ 1)为减函数，故选D.5. 二次函数y= f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f&

3、#39; (x)的图象过第一、 二、三象限的一条直线， 则函数y= f(x)的图象的顶点所在象限是()A .第一B .第二C.第三D .第四答案 C解析/ y= f，(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y= f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限.6. 已知函数f(x) = -x3+ ax2 x- 1在(a,+s )上是单调函数，则实数 a的取值范围是()A .(汽一.3) B. - .3,3C. ( .3,+ ) D. (- 3,3)答案 B解析 f (x) = 3x + 2ax 1 w 0 在(00 ,+ m)恒成立，= 4a 12 w

4、 0? : 3w a w ：J3.7. 设 f(x)= xln x，若 f' (xo)= 2，贝U xo 等于()A . e2 B .In 2In 2C D. e答案 D解析f' (x) = x (ln x)' + (x)' ln x = 1 + ln x.-f (x。)= 1 + ln xo = 2,'In x0= 1,x° = e.1& 设函数 f(x) = 3x In x(x>0)，贝y y= f(x)()1A .在区间(e，1)(1 , e)内均有零点1B. 在区间(-,1), (1 , e)内均无零点1C. 在区间(-,

5、1)内无零点，在区间(1, e)内有零点e1D. 在区间(：，1)内有零点，在区间(1, e)内无零点答案 Cx 3解析由题意得 f' (x)=厂，令 f' (x) >0 得 x> 3;令 f' (x)v 0 得 0v XV 3; f' (x) = 0 得 x= 3,3x故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3, + o)为增函数，在点x= 3处有极小值1 In 3 V 0；1 e11又 f(1) = §> 0, f(e)= 3 1v 0, f(e)= 3e+ 1 > 0.ain a备，2ecu ar 仃9.设函数

6、f(x) = x3+厂x2 + tan 0,其中 两0,匚，则导数f' (1)的取值范围是()A - 2,2 B . ,2,.3C. 3, 2 D. 2, 2答案 D解析 T f' (x) = x2sin 0+ x 3cos 0, f' (1) = sin 0+ 3cos 0= 2(*sin B+cos 0n=2sin( 0+ 3).n n 3 n n0+n 34-，2sin( +nn3) w 1. . 2< 2sin( 0+ 3)w 2.10 .方程2x3- 6X2+ 7= 0在(0,2)内根的个数有(A . 0 B . 1C . 2 D . 3答案 B解析令

7、f(x)= 2x3- 6x2 + 7, f' (x) = 6x2- 12x = 6x(x- 2), 由 f' (x) > 0 得 x>2 或 xv 0;由 f' (x) v 0 得 0v xv2 ;又 f(0) = 7> 0, f(2) = - 1 v 0，方程在(0,2)内只有一实根.二、填空题11.若曲线y = kx+ In x在点(1 , k)处的切线平行于 x轴，贝U k=.答案 1解析 求导得y' = k+1，依题意k+1 = 0,x所以k=- 1.12 .已知函数f(x) =- x3 + ax在区间(一1,1)上是增函数，则实数 a

8、的取值范围是 .答案 a > 3解析由题意应有f' (x)=- 3求+ a>0,在区间(1,1)上恒成立，则a> 3x2, x (-1,1)恒成立，故 a > 3.13 .在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C: y= x3- 10x+ 3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 .答案 (2,15)解析 y' = 3x2 10 = 2? x =戈，又点P在第二象限内， x=- 2，得点P的坐标为(2,15)14.函数f(x)= x3+ ax2 + bx+ a2,在x= 1时有极值10,那么a, b的值分别为 .答案 4，

9、112解析 f' (x) = 3x + 2ax+ b, f' (1) = 2a+ b+ 3 = 0,2f(1) = a + a+ b+ 1= 10,2a+ b= 3a= 3a = 4,，或，当a= 3时，x= 1不是极值点，a, b的值分别为4,|a2+ a + b = 9| b = 3|b = 1111.三、解答题15设|<a<1，函数f(x)= x3 |ax2+ b( 1<x< 1)的最大值为1,最小值为-2，求常数a, b.解令 f' (x)= 3/ 3ax= 0,得 X1 = 0, X2 = a.a33f(0) = b, f(a) = 2

10、 + b, f( 1) = 1 壬+ b,3f(1) = 1 ?a+ b2 3因为3<a<1，所以1 尹<0,故最大值为f(0) = b = 1,3 3所以f(x)的最小值为f( 1) = 1 歹+ b=尹，所以3a= -2，所以 a=36.故 a = 6 b= 1.331116 若函数f(x) = 4x3 ax+ 3在y 上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解f' (x) = Hx2 a,若f(x)在1，1上为单调增函数，则f' (x)> 0在2 2上恒成立，2 1 1 即12x a>0在2, 2】上恒成立，2 1 1 2 a< 12x

11、 在2,刁上恒成立， a< (12x)min = 0.当 a = 0 时，f (x) = 12x2> 0 恒成立(只有 x= 0 时 f (x) = 0). a= 0符合题意.1 1若f(x)在2, 2】上为单调减函数，1 i则f (x)w o,在2, 2】上恒成立，2i i即12x aw 0在2, 2】上恒成立，2 1 1 a> 12x在2, 2】上恒成立， - a(12x)max= 3.当 a = 3 时，f' (x) = 12x2 3= 3(4x2 1)w0 恒成立(且只有 x= g时 f (x) = 0).因此，a的取值范围为aw 0或a > 3.17.

12、 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000n元(n为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100 2rto= 200nh(元)，底面的总成本为160n2元，所以蓄水池的总成本为(200 nrh + 160 nr2)元.又根据题意 200 nrh + 160 n2= 12 000 n,

13、2 n3从而 V(r)= n h= 5(300r 4r ).因为r>0，又由h>0可得r<5 3,故函数V(r)的定义域为(0,5 . 3).n3因为 V(r)= 5(300r 4r ),n2故 V' (r) = 5(300 12r ).令V' (r)= 0,解得 门=5,2= 5(因为2= 5不在定义域内，舍去).当r (0,5)时，V' (r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数;当 r (5,5 3)时，V' (r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.由此可知，V(r)在r = 5处取得最大值，此时h= 8.即当r

14、 = 5, h = 8时，该蓄水池的体积最大.17.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：133y= 128 00°x 80X+ 8(0v x< 120).已知甲、乙两地相距 100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升? 解(1)当x= 40时，汽车从甲地到乙地行驶了100= 2.5小时，1o要耗油(芮000 X 403- 80X 40 + 8)X 2.5= 17.5(升).(2)当速度为x千米/小时

15、时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升,依题意得 h(x)= (f000x3-静+ 8).晋=x2 + 竽乎(0vxw 120),x 800h (x)= 640-芬x3- 80640x2(0 v x< 120).令 h ' (x)= 0，得 x= 80.当 x (0,80)时，h' (x) v 0, h(x)是减函数;当 x (80,120)时，h' (x)>0, h(x)是增函数.当 x= 80 时，h(x)取到极小值 h(80) = 11.25.因为h(x)在 (0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答 当汽车以40千米/时的速

16、度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升.18. 已知函数 f(x)= 3x3- aln x- f(a R, a 丰 0).(1) 当a = 3时，求曲线y= f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(2) 求函数f(x)的单调区间；若对任意的x 1,+ )，都有f(x) >0成立，求a的取值范围.解(1)当 a= 3 时，f(x)= 3x3- 3ln x-3, f(1) = 0,f，(x) = x X，二 f'=_ 2，曲线y= f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程 2x+ y 2 = 0.3,2 a x a(2)f' (x) = x x=(x>0).3x a 当av 0时，f' (x)= > 0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0 ,+p .x 当 a>0 时，令 f' (x)= 0,解得 x= 3 a或 x= 3 a(舍).x(0,編(看 + 8 )f' (x)一0+f(x)减极小值增函数f(x)的递增区间为(3a ,+s)，递减区间为(0, 3 a)对任意的x 1 ,+s )，使f(x)> 0成立，只需对任意的x 1 ,+s ), f(x)min1 1当 av 0 时，f