第十一章多元函数微分学2

1、111.2 偏导数偏导数定义设定义设z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 当当偏增量偏增量 z=f(x0+ x,y0) f(x0,y0)与与 x 比值的极限比值的极限,),(),(lim00000存在存在xyxfyxxfx , ),(, ),(0000yxxfyxxz 或或记记作作11.2.1 偏导数的概念偏导数的概念a.偏导数的定义及计算偏导数的定义及计算则称此极限为则称此极限为z=f(x, y) 在点在点(x0, y0)处对处对x的偏导数的偏导数,),(),(0000yxfyxzxx 或或或或2 z=f(x, y) 在点在点(x0, y0)处对处对y的偏

2、导数的偏导数可定义为可定义为:xyxfyxxfyxxzx ),(),(lim),(0000000即即如果如果 z=f(x, y)在区域在区域 d内任一点内任一点(x, y)处对处对 x的偏导数的偏导数都存在都存在, 则这样确定了一个新的函数则这样确定了一个新的函数, 称为称为z=f(x, y)对对x 的偏导函数的偏导函数, 简称为简称为 x 的偏导数的偏导数, 记作记作: ,xxfzxfxz 或或3如果函数如果函数 z=f(x, y)在区域在区域 d内任一点内任一点(x, y)处对处对 y的的偏导数都存在偏导数都存在, 则这样确定了一个新的函数则这样确定了一个新的函数, 称为称为 z=f(x,

3、 y)对对 y 的偏函导数的偏函导数, 记作记作: ,yyfzyfyz 或或4偏导数与偏导函数的关系偏导数与偏导函数的关系:n元函数元函数z=f(x1, x2, .,xn)的偏导数的定义为的偏导数的定义为:,),(0000 xxyyxzyxxz zzyxfzzyxfzuz ),(),(lim012121101),.,(),.,(lim1xxxxfxxxxfxunnx 三元函数三元函数 u=f(x,y,z)的偏导数的定义为的偏导数的定义为:5 b. 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义二元函数二元函数 z=f(x,y) 在点在点(x0,y0)处对处对 x 的偏导数的偏导数 f x(x

4、0,y0), 就是一元函数就是一元函数 z=f(x,y0) 在点在点(x0,y0)处的导数处的导数, 也就是空间曲线也就是空间曲线: 0),(yyyxfz在点在点m0(x0,y0,f(x0,y0)处的处的切线切线m0t1关于关于x 轴的斜率轴的斜率. 6同样同样, f y(x0, y0), 就是空间曲线就是空间曲线: 在点在点m0(x0,y0,f(x0,y0)处的处的 0),(xxyxfz切线切线m0t2关于关于y 轴的斜率轴的斜率.7 c. 简单的多元函数偏导数的求法简单的多元函数偏导数的求法例例1. 求函数求函数.sin3),(322的偏导数的偏导数yxxyyxyxf ,cos3213 y

5、yxxyxxf.lnsin922xxxyyyfy 8例例2. 设设解解:).1 , 0(),1 , 0(),arctan(22yxxyyxzzeez 求求),2()(1122222xyyxxyyxxyexeeez ,221)0()(11)1 , 0(20201 eeeeezx,222)02()(11)1 , 0(21201 eeeeeezy),2()(1122222xyyxxyyxyxeyeeez 9 例例2. 设设 解法二解法二: z=z(x, y)中中, 令令y=x, ).1 , 0(),1 , 0(),arctan(22yxxyyxzzeez 求求,)1(12), 0(222 yyyey

6、eyz12)1(12)1 , 0(22 yyyeyeyz),1arctan(), 0(2 yeyzz.2222 eee10例例3. 已知理想气体状态方程已知理想气体状态方程:证明证明: ),(,为常数为常数rrtpv . 1 pttvvp证证明明：,:2vrtvpvrtp 则则若方程写成若方程写成,:prtvprtv 则则若写成若写成,:rvptrpvt 则则若写成若写成. 12 pvrtrvprvrtpttvvp故故11例例4. 设设r1r2rn, 问改变哪个电阻能使总电阻问改变哪个电阻能使总电阻改变更快改变更快?故调整故调整r1, 能使总电阻改变更快能使总电阻改变更快.r1r2rn,)1.

7、11(:121 nrrrr解解,22irr .,.2121nnrrrrrrrrr 所以所以因为因为)1()1.11(2221inirrrrrr 12求求 f(x, y) 在原点在原点 (0, 0)处的偏导数处的偏导数.前面已证得前面已证得: f(x, y)在原点在原点(0, 0)处不连续处不连续, 说明函数在某点处的两个偏导数都存在说明函数在某点处的两个偏导数都存在,不能保证函数在该点处连续不能保证函数在该点处连续. 时时当当时时当当设设例例)0 , 0(),(,0)0 , 0(),(,),(. 522yxyxyxxyyxf, 000lim)0 , 0()0,0(lim)0 , 0(:00 x

8、xfxfxfxx解解, 0)0 , 0( yf同同理理13例例6. 证明证明:解解: (1) f(x, y)是二元初等函数是二元初等函数, 点点(0, 0)是其定义区域内是其定义区域内的一点的一点, 故故 f(x, y)在点在点(0, 0)处连续处连续.,)0 , 0(),(22处处连连续续在在点点yxyxf .)0 , 0(在在处处的的两两个个偏偏导导数数都都不不存存但但在在点点,|lim)(lim)0 , 0()0 ,0(lim)2(0200 xxxxxfxfxxx , 1|lim, 1|lim00 xxxxxx而而.)0 , 0(,)0 , 0(也也不不存存在在同同样样不不存存在在故故y

9、fxf 例例5和例和例6说明说明: 函数的连续性质与函数的函数的连续性质与函数的偏导数存在性质在逻辑上没有任何联系偏导数存在性质在逻辑上没有任何联系.1411.2.2 全微分的概念全微分的概念 设有长为设有长为x0, 宽为宽为 y0的金属板的金属板, 受热膨胀长从受热膨胀长从x0 增加增加到到 x0+ , 宽从宽从y0 增加到增加到 y0+ y, 则金属板面积的改变量则金属板面积的改变量:,)()(22yx 若若记记 xx0y0 yy0 xx0 y x ya.全微分的概念全微分的概念 s= (x0+ x)(y0+ y) x0y0 = y0 x+x0 y+ x y,其中其中y0 x+x0 y是关

10、于是关于 x, y的的线性函数线性函数, 15且有且有:故有故有: s= a x+b y+o( ).|)()(|22yxyxyx )0(, 0|21|2| yxyxyx xx0y0 yy0 xx0 y x y16定义定义 设设 z=f(x, y)在点在点(x0, y0)的某邻内有定义域的某邻内有定义域, 则称则称 f(x, y) 在点在点(x0, y0) 处可微处可微, 并称并称 a x+b y 为为 z=f(x, y) 在点在点(x0, y0)处的微分处的微分, 记作记作 dz,即即 dz=a x+b y,且当且当 | x|, | y| 都比较小时都比较小时, 有有 z dz=a x+b y

11、.,)()(22yx 如果如果f(x,y)在点在点(x0,y0)的全增量的全增量 z= f(x0+ x, y0+ y) f(x0,y0) 可以写成可以写成 z=a x+b y +o( ), 其中其中, a, b是与是与 x, y无关的量无关的量,17b. 可微与连续、可微与偏导数存在之间的关系可微与连续、可微与偏导数存在之间的关系定理定理3. (可微的必要条件之一可微的必要条件之一) 如果如果 z=f(x, y)在点在点(x0, y0)处可微处可微, 则则 f(x, y)在点在点(x0, y0)处必连续处必连续., 0)(limlim0000 oybxazyxyx证明证明: 由由 f(x, y

12、)在点在点(x0, y0)处可微处可微, 故有故有: z=a x+b y+o( ),故故 f(x, y)在点在点(x0, y0)处连续处连续.18 定理定理4. (可微的必要条件之二可微的必要条件之二) 如果如果 z=f(x, y)在点在点(x0, y0)证明证明: 由由 f(x, y)在点在点(x0, y0)处可微处可微, 故有故有: z=a x+b y +o( ), 令令 y=0, 则有则有: z= f(x0+ x0, y0) f(x0, y0)=a x+o(| x|),xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000#),(:00byxfy 同理可证得同理可证得处可微处

13、可微, 则则 f(x, y)在点在点(x0, y0)处的两个偏导数都存在处的两个偏导数都存在.,|)(|lim0axxoxax 19因为因为 故微分故微分, yyzxxzdz , 0, 1, yzxzdxdzxz时时当当,:ydyxdxxdz 同同理理故故有有则则有有.:dyyzdxxzdzdz 可可表表示示为为c. 可微的充分条件可微的充分条件定理定理5. (可微的充分性条件可微的充分性条件) 如果如果 z=f(x, y)的两个偏导数的两个偏导数 f x(x, y),f y(x, y)在点在点(x0, y0)处的某邻域内连续处的某邻域内连续, 则则 f(x, y)在点在点(x0, y0)处可

14、微处可微.20证明证明:故故, f(x, y)在点在点(x0, y0)处可微处可微.),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(),(),(00000000yxfyyxfyyxfyyxxf )(),()(),(0000yoyyxfxoxyyxfyx )(),()()(),(0000yoyyxfxoxyyxfyx )()()(lim00yoxoxyyx 而而)()()()(),(),(0000yoxoxoyyyxfxyxfyx , 0)()()()()(lim2200 yxyoxoxyyx 21例例7. 解解: .)4, 1(sin2处处的的全全微微分分在在点点求求 yxz ,cos,s

15、in22yxyzyxxz , 241)sin2()4, 1( yxyxxz故故.2241)cos()4, 0(2 yxyxyz.222dydxdz 22例例8. 解解: 时时当当时时当当讨讨论论)0 , 0(),(,0)0 , 0(),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxfzxfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0yfyffyy )0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0),(),()0 , 0(yxfyxfyx 处处的的可可微微性性及及偏偏导导数数在在点点.)0 , 0(处的连续性处的连续性在点在点, 0)(1sin)(lim220 xxxx,

16、0)(1sin)(lim220 yyyy23故故 z=f(x, y)在点在点(0, 0)处可微处可微.而而 当当 (x, y) (0, 0)时时,1cos21sin2),(222222yxyxxyxxyxfx )0 , 0()0 , 0(lim00yfxfzyxyx , 0)()()()(1sin)()(lim22222200 yxyxyxyx24考察点考察点(x, y)沿直线沿直线 y=x 方向趋于原点方向趋于原点(0, 0)时时, f x(x, y)的极限的极限:,1cos21sin2),(222222yxyxyyxyyxfy ,)21cos121sin2(lim),(lim2200不不存

17、存在在xxxxyxfxxxxy ,)0 , 0(),(处处不不连连续续在在点点yxfx .)0 , 0(),(处处不不连连续续在在点点同同理理yxfy 2511.2.3 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用当当 | x|, | y| 都比较小时都比较小时, 有有: z=f(x0+ x, y0+ y) f(x0, y0) dz, 或或 f(x0+ x, y0+ y) f(x0, y0) +dz,a. 函数值的近似计算函数值的近似计算26例例9. 求求 sin29 tan46 的的近似值近似值.解：解：,tansin),(yxyxf 设设)18046,18029(18046tan180

18、29sin46tan29sin f 则则,180,180,4,60 yxyx故故取取yfxfffyx )4,6()4,6()4,6()18046,18029( 180221)180(123121 .50234. 0180)231(21 27 b. 函数增量的近似计算及误差估计函数增量的近似计算及误差估计 例例10. 一圆柱形的铁罐一圆柱形的铁罐, 内半径为内半径为 5cm, 内高为内高为 12cm, 壁厚为壁厚为 0.2cm, 估计制作此铁罐所需材料估计制作此铁罐所需材料., 4 . 0, 2 . 0,12, 5,:2 hrhrhrv取取解解 hrrrhhhvrrvdzv 22 则则).(8

19、.106344 . 052 . 0125232cm 28作业作业 p217a. 2(4), (7); 3; 5; 9(1); 10.(4); 13; b. 7; 2911.2.4 方向导数及梯度方向导数及梯度 定义定义 设函数设函数 z=f(x, y)在点在点p0(x0, y0)的某邻域内有定义的某邻域内有定义, l是一条过点是一条过点p0 的射线的射线, 方向为方向为: cos,cos l存在存在 z 0lim p0(x0, y0)oxyp(x0+ x, y0 + y) x y la. 方向导数方向导数当当 l上的点上的点 p(x0+ cos , y0+ cos )沿射线沿射线l无限趋于无限

20、趋于点点p0时时, (即即, =| p0p|0时时), 如果极限如果极限30存在存在, 则称此极限为则称此极限为 f(x, y)在点在点p0(x0, y0)处沿处沿 ),()cos,cos(limlim000000yxfyxfz 即即.的的方方向向导导数数方方向向l.),(000plfyxlf 或或记记作作 p0(x0, y0)oxyp(x0+ x, y0 + y) x y l31定理定理6. 设函数设函数 z=f(x, y)在点在点p0(x0, y0)处可微处可微, 则则 f(x, y)在点在点p0 处处 证明证明:且且的方向导数存在的方向导数存在沿方向沿方向,cos,cos l.cos)(

21、cos)(000 pyfpxfplf ),(),(0000yxfyyxxfz ,)(00 oypyfxpxfz 则则),(),(000yxplyxp无无限限趋趋于于点点沿沿方方向向令令动动点点),(00 oypyfxpxf 32即即 0, 则则 x=x0+ cosx0, y=y0+ cosy0时时, ),()cos,cos(limlim000000yxfyxfz )(lim000 oypyfxpxf .coscos00 pyfpxf )coscos(lim000 pyfpxf 当当 =0时时, 有有:,00pxfplf 33而当而当 =0时时, 有有:对于三元函数对于三元函数 u=f(x, y

22、, z)在点在点p0(x0, y0, z0)处沿方向处沿方向:cos,cos,cos的方向导数为的方向导数为 l cos.coscos0000pzfpyfpxfplf ,00pyfplf ,:00pxfplf 时有时有且且 ,00pyfplf 时时当当 故故 可以将偏导数看作特殊方向上的方向导数可以将偏导数看作特殊方向上的方向导数.34例例1. 再问再问 : (1)沿哪个方向上的方向导数为最大沿哪个方向上的方向导数为最大(小小)? (2)沿哪个方向上的方向导数为零沿哪个方向上的方向导数为零 ?cos,cos)0 , 1(2 lxezy处处沿沿方方向向在在点点求求函函数数, 1|:)0 , 1(

23、2)0 , 1( yexz解解, 22|)0 , 1(2)0 , 1( yxeyz.cos2coscos|cos|)0 , 1()0 , 1()0 , 1( yzxzlz.的方向导数的方向导数35例例2. 解解: )1 , 0 , 2()2(3)1(2)1(222在在点点求求函函数数 zyxu.22方方向向导导数数处处沿沿向向量量kjil , 2)1(2)1 , 0 , 2()1 ,0 ,2( xxu, 4)1(4)1 , 0 , 2()1 ,0 ,2( yyu, 6)2(6)1 , 0 , 2()1 ,0 ,2( zzu,32cos,32cos,31cos . 2)32()6()32(4312 lu36b.梯度梯度问题问题: z=f