高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和

1、学习必备欢迎下载、. 我们打败了敌人。我们把敌人打败了。等比数列的前 n项和· 例题解析【例 1】设等比数列的首项为a(a0)，公比为q(q0)，前 n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前 2n项和为6560，求 a 和 q解 由 Sn=80，S2n=6560，故 q1 na(1 q )1 q2na(1 q )1 q= 80= 6560nq = 81a0，q1，等比数列为递增数列，故前 n项中最大项为anan=aqn-1=54将代入化简得 a=q 1 化简得 3a = 2q 由，联立方程组解得 a=2，q=32 2【例2】 求证：对于等比数列，有 S S = S (S S )n

2、 2n n 2n 3n证Sn =a1a1 q a1q2 a1qn-1S2n=Sn(a1qna1 qn+1 a1 q2n-1)=Snqn(a1a1q a1q n-1)=Snq nSnn)=Sn(1q类似地，可得 S3n=Sn(1qnq 2n)2 2 2 n 2 S +S = S S (1 q )n 2n n n2 n 2n = S (2 2q q ) n学习必备欢迎下载n n 2nS (S S ) = S S (1q ) S (1q q )n 2n 3n n n n2 n 2n= S (2 2q q )n2 2 S S = S (S S )n 2n n 2n 3n说明 本题直接运用前 n项和公式

3、去解，也很容易上边的解法，灵活地处理了 S2n、S3n 与 Sn 的关系 介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、 提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧【例 3】 一个有穷的等比数列的首项为 1，项数为偶数， 其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数分析设等比数列为a n ，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1， a1 q解设项数为2n(nN*) ，因为a1=1，由已知可得 q1 2na (1 q ) 112q2na q(1 q )1= 85= 17021 q得： 把 代入 q = 2 q

4、 = 2n 1 4n得 = 85 4 = 256 n = 41 4即公比为2，项数为8说明 运用等比数列前 n项和公式进行运算、推理时，对公比 q 要分情况讨论有关等比数列的问题所列出的方程 (组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的【例 4】选择题：在等比数列 a n 中，已知对任意正整数 n，有 Sn=2 n2 2 2 1，则a a a 等于1 2 n 1n 2 n 2A (2 1) B (2 1) 31n nC 2 1 D (4 1)3解 Da1=S 1=1，an=SnSn-1 =2n-1an=2 n-1学习必备欢迎下载bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4

5、n-12 2 2 b b b = a a a1 2 n 1 2 22 n 1= 1 4 4 4=n 14 14 1 3n(4 1)【例 5】设0V1， m为正整数，求证：(2m1)V m(1V) 1V 2m+1分析 直接作，不好下手变形：2m 11 Vm(2m 1)V 1 V右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有：(2m1)V m1VV2 V2m发现左边有 (2m1)个 V m，右边有 (2m 1)项，变形： V mVm V m1V V 2 V2m显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较鉴于左、 右两边都具有 “距首末等远的任意两项指数之和

6、均相等”的特点，想到以如下方式比较：VmV m1V 2m，V mV mVV 2m-1， ， V mVmV m-1V m+1，V m=V m即 2V m1V 2m，2V mVV 2m-1， 根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值” ，这些式子显然成立(具体证法从略 )说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考” ：2m 1 C 1 V要证A· BC(B0)，改证A ；见到 ，去逆向运用 S =nB 1 V na a· q1 2 2m，化成 1VV V ；要证ABCD，先证A1 qC，BD，等等善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的

7、思维能力，平时应注意训练【例 6】 数列 a n是等比数列，其中 Sn =48，S2n =60，求 S3n解法一 利用等比数列的前 n项和公式若 q=1，则Sn=na1，即 na1=48，2na1=9660，所以 q 1学习必备欢迎下载 S =nna (1 q )11 qS =2n n2a (1 q )11 qn n a (1 q )(1+ q )11 qnS (1 q )nn q =14S =3n3na (1 q )11 qn n 2na (1 q )(1 q q )11 qn q2n)=Sn(1q1 S = 48(1 +3n41) = 6316解法二 利用等比数列的性质： Sn，S2n S

8、n，S3nS2n 仍成等比数列 (6048) 2=48· (S3n 60) S3n=63解法三 取特殊值法取 n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1a2=60 a2 =12 a n为等比数列 q =a2a114a = 33S3n=S3=a1a2a3=63【例 7】 已知数列 a n 中， Sn 是它的前 n项和， 并且 Sn+1=4an 2(nN*) ，a1 =1(1)设bn=an+12an (nN*) ，求证：数列 b n 是等比数列；学习必备欢迎下载an(2)设c = (nN*) ，求证：数列 c 是等差数列n n n2解 (1) Sn+1 =4an2Sn+2 =4an+12两式相减，得Sn+2Sn+1=4an+1 =4an(nN*)即： an+2 =4an+1 4an变形，得 an+2 2an+1=2(an+1 2an) bn=an+12an(n N*) bn+1 =2bn由此可知，数列 b n 是公比为2 的等比数列由 S2 =a1a2=4a 12，a1=1可得 a2=5，b1=a 22a1=3 bn=3· 2n-1an(2) c = (n N*) n n2 c cn+1na a a 2an 1 n n 1 nn 1 n2 22n 1=bnn+12将 bn=3· 2n-1 代入，得3cn+1 c