人教版高中数学选修11：3.3 导数在研究函数中的应用 课后提升作业 二十三 3.3.2 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课后提升作业 二十三函数的极值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知函数f(x),xr,且在x=1处,f(x)存在极小值,则()a.当x(-,1)时,f(x)>0;当x(1,+)时,f(x)<0b.当x(-,1)时,f(x)>0;当x(1,+)时,f(x)>0c.当x(-,1)时,f(x)<0;当x(1,+)时,f(x)>0d.当x(-,1)时,f(x)<0;当x(1,+)时,f(x)<0【解析】选c.因为f(x)在x=1处存在极小值,所以x<1时,f(x)<0,x>1时,f(

2、x)>0.2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()a.1个b.2个c.3个d.4个【解析】选a.从f(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右单调性依次为增减增减,根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点.3.下列说法正确的是()a.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大b.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小c.函数f(x)=|x|只有一个极小值d.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选c.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有

3、极值,故a,b,d错误,c正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.4.(2016·惠州高二检测)函数y=x3-6x的极大值为()a.42b.32c.-32d.-42【解析】选a.y=3x2-6,令y>0,得x>2或x<-2,令y<0,得-2<x<2.所以函数y=x3-6x在(-,-2),(2,+)上递增,在(-2,2)上递减,所以当x=-2时,函数取得极大值42.【补偿训练】函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是()a.有极大值,没有极小值b.有极小值,没有极大值c.既无极大值也无极小值d.既有极大值又有极小值【解析】选d.f(x)=-2x

4、-3x2,令f(x)=0有x=0或x=-23.当x<-23时,f(x)<0;当-23<x<0时,f(x)>0;当x>0时,f(x)<0,从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-23时,f(x)取得极小值.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则4a+1b的最小值为()a.49b.43c.32d.23【解析】选c.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则4a+1b=16(a+b)4a+1b=165+ab+4ba5+46=32(当且

5、仅当ab=4ba且a+b=6,即a=2b=4时取“=”);6.(2016·沈阳高二检测)若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()a.(-,1)b.(1,+)c.(0,1)d.-,12【解析】选c.f(x)=2x-2b=2(x-b),令f(x)=0,解得x=b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有0<b<1,当0<x<b时,f(x)<0;当b<x<1时,f(x)>0,符合题意.所以实数b的取值范围是(0,1).7.(2016·广州高二检测)设函数f(x)=ex(sinx-

6、cosx)(0x2015),则函数f(x)的各极大值之和为()a.e2(1-e2 015)1-e2b.e2(1-e2 015)1-ec.1-e2 0151-e2d.e(1-e2 016)1-e2【解析】选d.由题意,得f(x)=(ex)(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)=2exsinx,所以x(2k,2k+)时f(x)递增,x(2k+,2k+2)时,f(x)递减,故当x=2k+时,f(x)取极大值,其极大值为f(2k+)=e2k+sin(2k+)-cos(2k+)=e2k+,又0x2015,所以函数f(x)的各极大值之和为s=e+e3+e5+e2015=e1-(e2)1 008

7、1-e2=e(1-e2 016)1-e28.已知函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(x)+xf(x)=lnxx,f(e)=1e,则下列结论正确的是()a.f(x)有极大值无极小值b.f(x)有极小值无极大值c.f(x)既有极大值又有极小值d.f(x)没有极值【解析】选d.因为f(x)+xf(x)=lnxx,所以xf(x)=lnxx,所以xf(x)=12(lnx)2+c.又因为f(e)=1e,所以e·1e=12(lne)2+c,解得c=12,所以f(x)=12(lnx)2+1·1x,f(x)=2lnxx·2x-(lnx)2+1·24x2=-2(ln

8、x-1)24x20,所以函数f(x)在(0,+)上为减函数,所以f(x)在(0,+)上没有极值.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·银川高二检测)函数f(x)=13x3-14x4在区间12,3上的极值点为.【解析】因为f(x)=13x3-14x4,所以f(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f(x)=0,则x=0或x=1,因为x12,3,所以x=1,并且在x=1左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,所以函数f(x)=13x3-14x4在区间12,3上的极值点为1.答案:1【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应

9、根据导数图象分析再下结论是不是其极值点.10.如果函数y=f(x)的图象如图所示,给出下列判断:函数y=f(x)在区间-3,-12内单调递增;函数y=f(x)在区间-12,3内单调递减;函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;当x=2时,函数y=f(x)有极小值;当x=-12时,函数y=f(x)有极大值.则上述判断中正确的是.【解析】由函数图象可知,在-3,-12函数递增,在-12,3函数递减,在(3,5)函数递增,当x=-3时取得最小值,当x=-12时取得极大值,当x=3时函数取得极小值,综上可知正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016·银川高二检测)已

10、知函数f(x)=x3-12x2-2x+c,(1)求函数f(x)的极值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】f(x)=3x2-x-2.(1)令f(x)=3x2-x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0,所以x=-23或x=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如表,x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)单增极大值单减极小值单增从表中可以看出当x=-23时,f(x)有极大值,极大值为2227+c;当x=1时,f(x)有极小值,极小值为c-32.(2)由(1)可知f(x)的递增区间为-,-23和(1,+),递减区间为-23,1.【补偿训练】已知函数f(x)=x-

11、1+aex.(1)若函数f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值.(2)求函数f(x)的极值.【解题指南】(1)由导数的几何意义可知函数在x=1处的导数值等于切线的斜率0,从而得到关于a的方程,求解其值.(2)首先计算函数的导函数f(x)=1-aex,通过讨论a的取值范围得到导数值不同的正负情况,从而确定函数的单调性,求得极值.【解析】(1)由f(x)=x-1+aex,得f(x)=1-aex.由函数f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,得f(1)=1-ae=0,解得a=e.(2)f(x)=1-aex当a0时,f(x)>0,f(x)在r上为增函数,f(x)无极值.当a

12、>0时,令f(x)=0,得ex=a,x=lna,所以x(-,lna),f(x)<0;x(lna,+),f(x)>0,所以f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增,所以f(x)在x=lna处取得极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a>0时,所以f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.12.(2016·山东高考)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,ar.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】

13、(1)g(x)=f(x)=ln x2ax+2a,所以g(x)=当a0,x(0,+)时,g(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x时,g(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,g(x)<0,函数g(x)单调递减.综上：当a0,函数g(x)单调递增区间为(0,+).当a>0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f(1)=0.当a0,f(x)单调递增,所以x(0,1)时,f(x)<0,f(x)单调递减,x(1,+)时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0<a<,

14、>1时,由(1)知f(x)在内单调递增,所以x(0, 1)时,f(x)<0,f(x)单调递减,x时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=,=1时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a>,0<<1时,x,f(x)>0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知a>.【补偿训练】(2015·梅州高二检测)已知函数f(x)=x3-b

15、x2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1)求b的值.(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-2bx+2c,因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以-2b6=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-120,即c6时,f(x)0恒成立,此时函数f(x)无极值.【能力挑战题】已知函数f(x)=kx+1x2+c(c>0且c1,kr)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点.(2)求函数f(x)的极大值m和极小值m,并求m-m1时k的取值范围.【解析】(1)f(x)=k(x2+c)-2x(kx+1)(x2+c)2=-kx2-2x+ck(x2+c)2,由题意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)因为c0,所以k0.由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0,由根与系数的关系知另一个极值点为x=1(或x=c-2k).(2)由(*)式得k=2c-1,即c=1+2k.当c>1时,k>0;当0<c<1时,k<-2.(i)当k>0时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是减函数,在(-c,1)内是增函数