第十一章第4节函数展开成幂级数48625

1、2一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?3n阶泰勒公式若函数 在 的某邻域内具有 阶导数 , )(xf0 x1n则在该)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中)(xrn( 在 x 与 之间)0 x称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .此式称为

2、的 阶泰勒公式阶泰勒公式 , )(xfn10) 1()(! ) 1()(nnxxnf邻域内有 :4如果 在 的某邻域内存在任意阶导数 , )(xf0 x则称下)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为 的泰勒级数泰勒级数 . )(xf列级数当 时, 泰勒级数变为 .00 x称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .)(0fxf)(0220 xf!)( nnxnf!)()(05待解决的问题待解决的问题 :1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为?)(xf的的xexf)(麦克劳林级数麦克劳林级数nxnexexee)(!)(!)

3、(222222222nnxne)(!202)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(处的泰勒级数处的泰勒级数在在如如2xexfx,)(nnxn01!nxnxx!121126定理定理 1各阶导数, 设函数 在点 的某一邻域 内具有0 x)(xf)(0 x则)(xf条件条件是)(xf的泰勒公式中的余项满足0)(limxrnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xrxsxfnn)(limxrnn)()(lim1xsxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxs)(!)()(000)(1)(0 xx在该邻域内能展开成

4、泰勒级数的充要充要7定理定理2 若 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是)(xf唯一唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设),(,)(2210rrxxaxaxaaxfnn则在收敛区间内;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0(!1)(nnfna 显然结论成立 .)0(0fa 8二二. 函数展开成幂级数函数展开成幂级数1. 直接展开法直接展开法由上述泰勒级数理论可知 , )(xf第一步第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径

5、r ;第三步第三步 判别在收敛区间),(rr是否)(limxrnn内为0 .函数展开成幂级数的步骤如下 :9例例1. 将函数)(xfxe展开成 x 的幂级数. 解解: )()(xfn,xe), 2, 1, 0(1) 0()(nfnxe1级数的收敛半径为 ,r对任何有限数 x , 其余项有 )(xrne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故xenxnxxx!1!31!21132 limnr!1n! ) 1(1nn0),(x( 在 0 与 x 之间 )x2!21x3!31xnxn!1nnxn01!10)2sin(2) 12sin(kk例例2. 将函数xxfsin)(展开成 x 的幂级数.

6、 解解: )()(xfn)0()(nfxsinx)2sin(nx级数的收敛半径为 ,r对任何有限数 x , 其余项有 )(xrn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxnkcosk) 1(12 kn), 2, 1, 0(k3!31x5!51x121! ) 12(1) 1(nnxn),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxxn0kn2,) 1(k,01122142221141211nnxnxxx! )()(!cos类似可推出类似可推出),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx1201211nnnxn!

7、 )()(nnnxn20211! )()(12例例3. 将函数mxxf)1 ()(展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解解: 容易求出 ,1)0(f,)0(mf,) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是mx)1 ( mx12!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(由于1limnnnaar!) 1() 1(nnmmman! ) 1()() 1(1nnmmman因此, 对任意常数)1, 1(nmnn1lim1级数在开区间内收敛 .m , 13为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为 11, )(xxf2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1

8、() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxfxmxf1)()()1 (xfx)(xmfmxxf)1 ()(,1)()(00 xxdxxmdxxfxf)1ln()0(ln)(lnxmfxf1)0(,f推导14由此得 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：1 . 在1x处的收敛性与m有关 . 2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理二项式定理.nnxnnmmm011!)()(15对应m,21,211的二项展开式分别为xx21112421x36

9、4231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(x4xx2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x162. 间接展开法间接展开法211x x11 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: nxxx21)11(x把 x 换成 , 得2x211xnnxxx242) 1(1)11(x的展式的展式记住记住mxxxxexx)( ,cos,sin,:1111117例例5. 将函数)(xf)1ln(x展开

10、成 x 的幂级数 .解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分xdxxxnnn00) 1()1ln(,1) 1(01nnnxn上式右端的幂级数在 收敛 ,1x而 在 有)1ln(x1x定义, 且连续 , 所以展开式对 也是成立的 , 于是收敛1x区间为.11x利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x11x186例例.sin的的幂幂级级数数展展成成将将xxy2:解解xy22121cos0! )2(1) 1(2121nnnnx2)2(,! )()(nnnnxn21121221),(x:另解另解xxxy22sincossin12021211nnnxn)(!

11、 )()(dxxnynxnn)(! )()(120021211 ,! )()(nnnnxn21121221),(x197例例的幂级数的幂级数展成展成将将xxxxf1212)(:解解)()(xxxf2121131111110 xxxnnn)(而而11110 xxxnn2122110 xxxnnn20)()(xxxf2121131(21nnnx01)()nnnx02nnnnx011321)(2121x2112153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos例例8. 将xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)si

12、n(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x22例例9. 将3412 xx展成 的幂级数. 1x解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x12310例例.!的和函数的和函数求求nnnxnn0221:解解nnn

13、xnnxs0221!)(nnxnnnn)(!)(211001221211221nnnnnnxnxnxn)(!)()!()()!(000221212212nnkkkkxnxkxxkx)(!)(!)(!)(22124xexx)(x24内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn25! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmm,!) 1() 1(nxnnmmm当 m = 1 时x11,