平行四边形判定题型归纳较难

1、对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10,条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为（）A. 4<a<16 B . 14<a<26 C . 12<a<20 D . 8<a<32平行四边形的判定：1:定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3:两组对边分别相等的四边形是平行四边形4:对角线相互平分的四边形是平行四边形14. 平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1:如图，四边形 ABCD是平行四边形，连接 AC .过点A作AE丄BC

2、于点E;过点C作CF / AE，交AD于点F;求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图， ABC是等 边三角形,D、E分别 是BA、CA的延长 线上的点，且AD=AE 连接ED并延长到F,使得EF=EC,连接 AF、CF、BE.（1）求证：四边形BCFD是平 行四边形;证明：（1）v ABC为等边三角形，且AE=AD,由题可知/ AED=Z ADE=Z EAD=60° EF / BC,又 EC=EF, ECF为等边 三角 形，即/ EFC=Z EDB=60°, CF/ BD四边形BCFD为平行四边形.2、如图：平行四边形 ABC冲，M N分别是AB CD的中点，

3、AN与DM相交于点P, BN 与CM相交于点Q。试说明PQ与MN互相平分。3、如图，在四边形ABCD中，AH CG BE、FD分别是/ A、/ C、/ B、/ D 的角平分线，且BE/ FD，AH/ CG,证明四边形ABCD为平行四边形.15. 平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1:如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE= CD连接BE交AD于点F，交AC于点G求证：AF= DF【答案】解：（1）证明：如图1,连接BD AE四边形ABCD是平行四边形， AB/ CD, AB= CDDE= CD, AB/ DE, AB= DE四边形ABDE是平行四边形。 AF=

4、 DR练习：1、如图，已知平行四边形 ABCD过A作AML BC于M交BD于E,过C作CNAD于N,交BD于F,连结AF、CE（1）求证：四边形 AECF为平行四边形；【答案】（1）证明四边形ABCD是平行四边形（已知）, BC/ AD （平行四边形的对边相互平行）。又 TAM丄 BC （已知），二 AML ADCN丄 AD （已知），二 AM/ CN 二 AE/ CF又由平行得/ ADE玄CBD又AD=BC平行四边形的对边相等）。在厶 ADEffiA CBF中, / DAE=/ BCF=90 ,AD=CBZ ADE=/ FBC ADEA CB（ASA）, AE=CR全等三角形的对应边相等）。

5、四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。2、如图：在ABC中，E,G,F,H分别是四条边上的点，且 AE CF ,BG DH ,试说明：EF与GH相互平分.例题2:如图， ABCffiAADE都是等边三角形，点D在BC边上,BF=DC 连接 EF、EB. （1）求证： ABEAACD（2）求证： 边形 练习:1、如图1,在厶OAB中,/ OAB=90 , / AOB=30 ,OB=8.以OB为一边,在厶OAB外作等边 三角形OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OCT E.（1）求点B的坐标. 求证：四边形ABCE是平行四边形.如图2,将图1中的四边形ABCOff叠

6、,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.【解析】I/ AOB=30 ,OB=8,AB=4,OA=43,二 B（4 v3,4）. OBC是等边三角形，OC=OB=8. D点为OB的中点，OD=4.又TAD是Rt OAB斜边的中线,1 AD二OB=OD,2/ ODA=180 -2 X 30° =120° ,/ EDO=60 .又/EOD=60，二 OED为等边三角形， OE=4E(0,4), CE=4,CE=AB又 t CE/ AB,四边形ABCE是平行四边形.(3) t GA=GC； GA=GC即 OG+OA=(OC-OG2,O&+(4昉)2=(8-OG)2, O

7、G=1.16. 平行四边形的判定(三):两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题1:如图，点 A是直线I外一点，在I上取两点B、C,分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点 D，分别连接 AB、AD、CD，则四边形ABCD 一定是【】A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 梯形练习：1、如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以 A、B、C三点为顶 点的平行四边形.AF例题2 :如图所 示，试证明：四边形PONM是平 行四边形 练习：1在YABC冲,分别以AD,BC为边向内作等边 ADE和等边 BCF连接BE,DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.2、四边形的四

8、条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2 b2 c2 d2 2ab 2cd，则这个四边形一定是()A.平行四边形B两组对角分别相等的四边形C.对角线互相垂直的四边形 D 对角线相等的四边形3、 等 边厶ABC中，点D在BC上,点E在AB 上,且CD=BE以 AD为边作 等 边厶ADF，如图求证：四边形CDFE是平行四边形.4、如图所示，以厶ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形 ABD BCE ACF,猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论. 证明：四边形ADEF是平行四边形.连接ED EF， ABD BCE、 ACF分别是 等边三角形， AB=BD, BC

9、=BE, / DBA=Z EBC=60°./ DBE=Z ABC. ABC DBE同理可证 ABC FEC, AB=EF, AC=DE AB=AD, AC=AF, AD=EF, DE=AF.四边形ADEF是平行四边形17. 平行四边形的判定(四):对角线相互平分的四边形是平行四边形例题1:已知A(2,3 ) B(-2,5 ), A、B点关于原点的对称点分别为 C、D,依次连接A、 B C、D点，则四边形ABCD是什么四边形？例题2、如图，在平行四边形 ABC中，连接对角线BD,过A、C两点分别作AE BD于E点，CF BD于F点，求证：四边形 AECF是平行四边形练习：1、如图是某市

10、一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BE AC, DFAC E、F是垂足，G H分别是BC AD的中点，连接 EG GF FH, HE为公园 中小路，问小明从 B地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E 地，谁的路程远？2、如图所示，在 Y ABCD中, E、F是对角线AC上两点，且AF=CE求证：四 边形BEDF是平行四边形.3、如图，在 YABCD中，点 M N是对角线 AC上的点，且 AM=CN，DE=BF,求 证：四边形MFNE是平行四边形18. 坐标平行四边形知识点总结：若A、B、C为已知点，则求一点D与他们构成平行四边形，则有三 个点D,、D2、D3，则有D,

11、=A+B-C D2 =A+C-B D3=B+C-A (按照中点坐标公式 和对角线相互平分性质)例题1、已知点A (- 1, 0)，B (2，- 1)，D( 0，1).请在直角坐标系中找一 点C与A、B、C、D四点构成平行四边形，则点 C的坐标为 _点Q从点B幵始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.(1)求A、B两点的坐标。(2)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点 M使以A P、Q M为顶点的四边形是平行四边形若存在，请 直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由 练习：1、如图BC x轴于C点，BA y轴于A点, B(3,4)，四边形ABCD&

12、直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD AB上，且AF=2.(1)求G点坐标;(2) 求直线EF解析式；(3)点N在x轴上，直线EF上是否存在点 M使以M N F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由19. 动点平行四边形例题 1:在四边形 ABCD中, AD/ BC,且 AD> BC，BC=6cm P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形 ABQP是 平行四边形？练习：1、如图，在厶ABC中，AB=AC射 线AM/ BC,点P从点A出发沿射线 AM运 动，

13、同时点Q从点B出发沿射线BC运动，设 运动时间为t ( s). |(1) 连接PQ AQ PC,当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP是 平行四边形；(2) 若BC=6cm 点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s ,填空："I当t为s时，以A、Q C、P为顶点的四边形是平行四边形；(1)证明：D为AC中点, AD=CD AM/ BC,/ PAC=Z ACB,心 ADP 和 CDQ中 ,/ PA / DCQAD= CD/ ADP=Z CDQ ADPA CDQ( ASA), PD=DQ又 AD=CD四边形AQCP是平行四边形;(2)当Q在线段BC上，AP=QC时，以A、Q、

14、C、P为顶点的四边形是平 行四边形，由题意得：t=6-4t，解得：t=1.2 ，当Q在C的右边时，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边 形，由题意得：t=4t-6，解得：t=2，故答案为：1.2或2;2、如图，/ ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个 动点(不与点B重合)，连接AD，作BE丄AD,垂足为E，连接CE,过点E作 EF丄CE，交BD于F.(1) 求证：BF=FD;(2) 点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说 明理由；如能，求出此时/ A的度数.解：(1)在 Rt AEB 中，t AC=BC1-CE = AB2 CB

15、=CE / CEB=/ CBECEF=/ CBF=90°, / BEF=/ EBF， EF=BF.t/ BEF+/ FED=90o，/ EBD+/ EDB=90o， / fed=/ edf，t EF=FD. BF=FD.（2） 能.理由如下：若四边形ACFE为平 行四 边形，贝U AC/ EF, AC=EF, BC=BF, BA=BD, / A=45 °.当/ A=45。时四边形ACFE为平行四边形.3、将一副三角尺如图拼接：含 30°角的三角尺（ ABC的长直角边与含45°角的 三角尺（ ACD的斜边恰好重合.已知 AB= 2 3 , P是AC上的一个

16、动点.（1）当点P运动到/ ABC的平分线上时，连接DP求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD= BC时，求此时/ PDA的度数；（3） 当点P运动到什么位置时，以D, P, B, Q为顶点的平行四边形的顶点 Q恰 好在边BC上？求出此时 DPBQ勺面积.4、直线y 3x 6与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从0点出发，同时到达A点，运动停止。点Q沿线段0A运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O-B-A运 动。 （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒， OPC的 面积为S,求出S与t之间的函数关系式。 （3）当S 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O

17、 P、Q为顶点的平行四边形的第 5四个顶点M的坐标。20. 性质和判定综合例题1、如图E、F是二四边形ABCD勺对角线 AC上的两点，AF=CEDF=BEDF/ BE求证：（1）/ AF医/CEB（2）四边形ABCD是平行四边形.解：（1）因为 DF/ BE,所以/ AFD=Z CEB又因为 AF=CE DF=BE,所以 AFD/ CEB（2）由 AFD/CEB知 AD=BC / DAF=Z BCE , 所以 AD/ BC , 所以四边形ABCD是平行四边形.例题 2:如图，在 ABC中，/ ACB= 90°, D是 BC的中点，DEL BC CE/AD,若AC= 2, CE= 4,

18、则四边形ACEB的周长为。例题3、如图，点D是厶ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点 B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形 BDEF，又 APBE （点P、E在直线AB的同侧），如果BD -AB，那么 PBC勺面积与 AB（面积之比为【】4131A. 1B.3C.-D.455【答案】Db【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】过点P作PH/ BC交AB于H,连接CH PF, PE APBE 四边形APEB是平行四边形。 PEAB。，四边形BDEF是平行四边形，二EFBD EF/ AB 二 P, E, F 共线。设 BD=a1-BD AB ,. PE=AB=4a 二

19、 P=PE- EF=3a4T PH/ BC .'.S hbcfSx PBCoT PF/ AB 四边形 BFPH是平行四边形。.BH=PF=3a°.°S HBC： Sab<=BH AB=3a 4a=3: 4 ,.-S PBC： SAB(C=3： 4o 故选Do 练习：1、 如图，ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PD AB,PE/BC,PF/AC，若 ABC 周长为 12, 求 PD+PE+P 的值.2、图3是某城ECL BC BA/ DE BD/ AE, EF=FC甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1市部分街道示意图，图中AF/ BC路车，路线是Bf

20、A E F,乙乘2路车， 路线是B D C F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F点， ?请说明理由.3、 已知：如图，四边形 ABCD是平行四边形，DE/AC,交BC的延长线于点E, EFLAB 于点F,EF,分别交AB,(1)求证:CD于点M N,连接DM BN. AEIWA CFN求证：AD=CF4、如图，已知在口 ABCD中, E、F是对角线BD上的两 点，BE= DF,点G H分别在BA和DC的延长线上，且AG= CH 连接 GE EH HF FG求证：四边形GEH是平行四边形n5、已知，如图，在 Y ABCD中，延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE CF,连接(

21、2)求证：四边形BMD是平行四边形.【答案】证明：(1) 四边形ABCD1平行四边形，二AB/ DC , AD/ BC。/ E=Z F,Z DABM BCD /-Z EAMM FCN又 AE=CFAEMmCFN( ASA。(2)由() AEMACFN /AM=CN又四边形 ABCD!平行四边形，/ AB CD。/ BM DN/四边形BMD是平行四边形。【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。F6、如图所示，已知四边形 ABCD是平行四边形，在 AB的延长线上截取BE=AB BF=BD 连接CE DF,相交于点M,求证：CD=CM.7、如图，在边长为3的正方形ABC呼，点E是BC边上的点， 且EP交正方形外角的平分线 CP于点P,交边CD于点F,FC(1)-的值为 ？；(2) 求证：AE=ER(3) 在AB边上是否存在点M使得四边形DME是平行四边形？若存在，请给予证 明；若不存在，请说明理由.(1) 解：四边形ABCD1正方形，/