第六节空间直线

1、第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111dzcybxa02222dzcybxa1 2 l因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(0000zyxm2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxmnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方

2、程为s已知直线上一点),(0000zyxm),(zyxm例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms smm/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21n

3、ns机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 2l1l二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, ll设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回

4、 结束 特别有特别有:21) 1(ll 21/)2(ll0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(参考p332 例2 )13411:1zyxl0202:2zxyxl cos22从而4的方向向量为1l的方向向量为2l) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;l2. 直线与平面的夹

5、角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 l 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222cbapnmpcnbma直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有: :l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间直线方程空间直线方

6、程一般式对称式参数式0022221111dzcybxadzcybxatpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxl：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxl：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21ll 21/ ll021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 0dzcybxacpbnam平面 :l l / 夹角公式：0cpbnamsi

7、n,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 l :),(cban ),(pnms 0 ns0nsnsns l机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业p335 3，4，5，7，9 p335 题2, 10习题课 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习)1 ,2, 1(a,11231:1zyxlil设直线解：解：,2上在因原点lo12:2zyxl相交,求此直线方程 .的方向向量为过 a 点及 的平2l面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以oasn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线备用题备用题noa2l2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与l2 的交点 .即故所求直线方程为 2l),(000zyxb则有2l) 1 , 2 , 1 (anss1333123kji)523(3kji),(000zyxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512