第六节定积分在几何上的应用

1、定积分有着广泛的用途定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种简便方法先介绍建立定积分的一种简便方法-元素法元素法(微元法微元法)下面介绍它在几何下面介绍它在几何, 物理和经济等问题上的简单应用物理和经济等问题上的简单应用.什么量可以用定积分表示出来什么量可以用定积分表示出来?5.6 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用(1) u是与一个变量是与一个变量x 的变化区间的变化区间a, b有关的量有关的量;则可以考虑用定积分来表达这个量则可以考虑用定积分来表达这个量u.(2) u对于区间对于区间a, b具有可加性具有可加性.就是说就是说, 如果把区间如果把区间a, b分成许多部分区间分成许多

2、部分区间,;)(iixf (3) 部分量部分量 的近似值可表示为的近似值可表示为iu 当所求量当所求量u 符合下列条件：符合下列条件：则则u 相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量, 而而u 等于所有部等于所有部分量之和分量之和.元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常称为这个方法通常称为元素法元素法(微元法微元法). (1) 根据问题的具体情况根据问题的具体情况, 选取一个变量例如选取一个变量例如 x,d,baxxx (2) 任取一小区间并记为任取一小区间并记为求出相应于这小区间的部分量求出相应于这小区间的部分量 的近似值的近似值du,u xxfud)(d 并将其表示为并将其表示为

3、(3) 以所求量以所求量u 的元素的元素 为被积表达式为被积表达式，dxxf)( baxxfud)(在区间在区间a, b上作定积分上作定积分, 得得即为所求量即为所求量u 的积分表达式的积分表达式.为积分变量为积分变量, 并确定它的变化区间并确定它的变化区间a, b;oxy,上上设在区间设在区间ba,)(的上方的上方xgy ),()(xgxf 求这两条曲线求这两条曲线及直线及直线bxax ,所围成的区域的面积所围成的区域的面积 a.)(xgy )(xfy ab,d,xxx 它对应的它对应的面积元素面积元素da为为 ad baxxgxfad)()(xxgxfd)()( 位位于于曲曲线线曲曲线线)

4、(xfy 即即axxxd 1. 直角坐标系下平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积6.1.1 平面图形的面积平面图形的面积 在在a, b上任取一区间上任取一区间求由曲线求由曲线)()(ygyf 和直线和直线dycy ,所围成的区域的面积所围成的区域的面积 a.上上任任取取一一个个在在,dc,d,yyy 的面积元素的面积元素da为为它对应它对应yygyfad)()(d dcyygyfad)()(cd)(ygx )(yfx yyyd )(),(ygxyfx a小区间小区间oxy解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1(),0 , 0(选选 x 为积分变量为积分变量1 , 0 xxxxad)(21

5、0 10323332 xx31 2xy 例例1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 和和xy 2所围成所围成的图形的面积的图形的面积.xyo2xy 2yx )1 , 1( 面积元素面积元素,d)d2xxxa （4 xyxy22 解解 两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 选选 y 为积分变量为积分变量4, 2 y 422d2)4(yyya4 xy例例2 计算由曲线计算由曲线 和直线和直线的图形的面积的图形的面积.xy22 18 所围成所围成所求面积所求面积如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baxyad2.

6、参数方程情形参数方程情形下求平面图形的面积下求平面图形的面积在在 (或或 )上上,21tt,12ttaboxy )()(tytx 与终点的参数值与终点的参数值.设设 和和 对应曲线起点对应曲线起点1t2t)(tx 具有连续导数具有连续导数, 连续连续.)(ty .d)()(21 ttttt 解解1曲线的参数方程为曲线的参数方程为 tbytaxsincos由对称性由对称性, 总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积.,d40 axya 4attabdsin4202 ab 作变量代作变量代换换,costax ,时时当当ax ,0时时当当 xttaxdsind ;2 t. 0 t)

7、cos(dta02 abtbsinoxy例例3 求椭圆求椭圆 的面积的面积.12222 byaxttabd )2cos1(220 解解2,d40 axyaab 其中其中22xaaby 由对称性由对称性,总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积aboxy例例3 求椭圆求椭圆 的面积的面积.12222 byax axxaaba022d4 axxaab022d4442aab d 面积元素面积元素 ad曲边扇形的面积曲边扇形的面积 d)(212ra )( rr 由极坐标方程由极坐标方程)( rr 给出的平面曲线和射线给出的平面曲线和射线)(, 所围成的面积所围成的面积a. d)(21

8、2r曲边扇形曲边扇形 d ox3. 极坐标系下求平面图形的面积极坐标系下求平面图形的面积解解 利用利用对称性对称性知知 d)coscos21(202 a 022sin41sin223 a223a a)cos1( ar d)cos1(2122 a 2 0 xyoa2)0(),cos1( aar 例例4 求心形线求心形线图形的面积图形的面积.所围平面所围平面旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内一条圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台6.1.2 体积问题体积问题1. 旋转体的体积旋转体的体积直线旋转一周而成的立体直线旋转一周而成的立体. 这直线称为这直线称为旋转轴旋转轴)(x

9、fy ba,bax vdxxd 旋转体的体积为旋转体的体积为xxfvd)(2 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(xfy 直线直线bxax ,及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋轴旋x转一周而成的立体转一周而成的立体, 求体积求体积.取积分变量为取积分变量为x,上上任任取取小小区区间间在在,ba,d,xxx xd取以取以为底的为底的小曲边梯形绕小曲边梯形绕 x 轴旋转而轴旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素xxfd)(2 aboxyx解解22xaaby xxaabvaad)(2222 234ab 例例5 求由椭圆求由椭圆 围成的图形绕围成的图形绕 x轴

10、旋轴旋这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆转一周所得旋转体的体积转一周所得旋转体的体积.12222 byax与与x 围成的图形绕围成的图形绕 x轴旋旋转而成轴旋旋转而成.所求体积为所求体积为 axxaab02222d)(2 .34,3aaba 的的球球的的体体积积是是可可得得半半径径为为时时当当 yyvdcd)(2 )(yx 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(yx dycy ,及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 y 轴轴旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体, 求体积求体积.直线直线 vd体积元素体积元素yyd)(2 旋转体的体积旋

11、转体的体积oxycd解解 两曲线的交点为两曲线的交点为).1 , 1()0 , 0(和和绕绕 y 轴旋转所得体积轴旋转所得体积 v 1022d)(yy 2xy xy 1yyd)(102 103 )1 , 1( xyoy 轴轴旋转所得旋转体的体积旋转所得旋转体的体积.例例6 求抛物线求抛物线 所围成图形所围成图形绕绕xyxy 和和22. 已知平行截面面积的立体的体积已知平行截面面积的立体的体积xxavd)(d 立体体积立体体积a(x)表示过点表示过点x且且垂直于垂直于x 轴的截面面积轴的截面面积，a(x) 为为x 的已知连续函数的已知连续函数.如果一个立体介于过如果一个立体介于过 而垂直于而垂直

12、于xbxax ,轴的两平面之间轴的两平面之间，dx( )a x体积元素体积元素 baxxavd)(解解取坐标系如图取坐标系如图,底圆方程为底圆方程为222ryx 截面面积截面面积,tan)(21)(22 xrxa 立体体积立体体积xxrvrrdtan)(2122 tan323r 垂直于垂直于x 轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.例例7 一平面经过半径为一平面经过半径为r r的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角并与底面交成角 计算这平面截圆柱体所得立计算这平面截圆柱体所得立体的体积体的体积., x,22xry ,tan22 xrh 底底高高 hrr oxyxoyabxxx

13、d yd弧长元素弧长元素22)d()d(dyxs 弧长为弧长为.d12xysba 6.1.3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1. 直角坐标情形直角坐标情形取积分变量为取积分变量为x, 上任取小区间上任取小区间x, x+dx,),()(bxaxfy 设曲线弧为设曲线弧为)(xf其中其中在在a, b上有一阶连续导数上有一阶连续导数. xy d12 在在a, b设曲线弧的参数方程为设曲线弧的参数方程为)( ,)()( ttytx22)d()d(dyxs 222)d)()(ttt tttd)()(22 弧长为弧长为.d)()(22ttts 2. 参数方程情形参数方程情形其中其中 在上在上 具有连续导数具有连续导数.)(),(tt , 解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为,sincos33 taytax)20( t根据对称性根据对称性14ss tttadcossin3420 a6 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例8 求星