曲面与曲线方程

1、e-mail: 5 5 曲面及其方程曲面及其方程在前面，我们已知，空间平面对应于一在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三个三元一次方程元一次方程.0dczbyax 反之，任意一个三元一次方程也对应于空间反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面中的一个平面.如果平面如果平面 的方程是的方程是(1)，其含义是平面，其含义是平面 上任意动点上任意动点(x, y, z)都是都是(1)的解的解. 而而(1)的每一组解的每一组解也对应于也对应于 上某一点上某一点.(1)e-mail: 定义定义1 设空间曲面设空间曲面s,及三元方程及三元方程 f(x, y, z)=0有如有如下关系：下关系：（1

2、）曲面）曲面 s 上任一点上任一点 m(x, y, z)，其坐标其坐标 x, y, z 都满足都满足f(x, y, z)=0； （2）不在曲面）不在曲面s 上任一点上任一点 m(x, y, z) 的坐标不满的坐标不满 足方程足方程f(x, y, z)=0；则说明方程则说明方程f(x, y, z)=0为为曲面曲面s的方程的方程. 而而曲面曲面 s 为为 f(x, y, z)=0的的图形图形.一一 曲面方程曲面方程1、曲面方程的概念、曲面方程的概念e-mail: f(x，y，z )0oxyzsm(x，y，z )研究曲面的两个基本问题：研究曲面的两个基本问题： （1）已知曲面，如何求曲面的方程？）已

3、知曲面，如何求曲面的方程？ （2）已知方程，如何描绘其曲面？）已知方程，如何描绘其曲面？e-mail: ozx ym0rm 例例1 求以在求以在m 0(x 0,y 0,z 0)球心球心, r为半径的球面的方程为半径的球面的方程 解解 设设m(x，y，z)是球面上的任一点，是球面上的任一点， 那么那么|m 0m| r由于由于| m 0m|所以所以 r，或或 (x x 0) 2 (y y 0) 2 (z z 0) 2 r 2这就是建立球心在点这就是建立球心在点m 0(x 0，y 0，z 0)半径为半径为r的球面的方程的球面的方程特殊地，球心在原点特殊地，球心在原点o(0，0，0)、半径为半径为r的

4、球面的方程为的球面的方程为x 2 y 2 z 2 r 2202020)()()(zzyyxx，202020)()()(zzyyxxe-mail: 例例2 设有点设有点a(1,2,3)和和b(2, 1,4)，求线段，求线段ab的垂直平的垂直平 分面的方程分面的方程 解解 由题意知道，所求的平面就是与由题意知道，所求的平面就是与a和和b等距离的等距离的 点的几何轨迹点的几何轨迹设设m(x，y，z)为所求平面上的任一点，为所求平面上的任一点， 由于由于| am|bm|，所以所以等式两边平方，然后化简得等式两边平方，然后化简得2x 6y 2z 7 0这就是线段这就是线段ab的垂直平分面的的垂直平分面的

5、方程方程ozx yabm222)3()2() 1(zyx222)4() 1()2(zyx222)3()2() 1(zyx222)4() 1()2(zyxe-mail: 解解 通过配方，原方程可以改写成通过配方，原方程可以改写成 (x 1) 2 (y 2) 2 z 2 5例例3 方程方程x 2 y 2 z 2 2x 4y 0表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？这是一个球面方程，球心在点这是一个球面方程，球心在点m 0(1， 2，0)、比较：比较：球心在点球心在点m 0(x 0，y 0，z 0)、半径为、半径为r的球面的球面 的方程的方程 (x x 0) 2 (y y 0) 2 (z z 0) 2 r

6、 25半径为r e-mail: 一般地，设有三元二次方程一般地，设有三元二次方程a x 2 a y 2 a z 2 d x e y f z g 0，这个方程的特点是缺这个方程的特点是缺x y ，y z ，z x 各项，而且平方各项，而且平方项系数相同，项系数相同， 只要将方程经过配方就可以化成方程只要将方程经过配方就可以化成方程(x x 0) 2 (y y 0) 2 (z z 0) 2 r 2的形式，的形式， 它的图形就是一个球面它的图形就是一个球面e-mail: 空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的方程分别为：方程分别为：( , , )0( , ,

7、 )0f x y zg x y z和则空间曲线则空间曲线l的一般方程：的一般方程：( , , )0( , , )0f x y zg x y z（*）有如下关系：有如下关系：（1）曲线）曲线l上所有点的坐标都满足（上所有点的坐标都满足（*）（2）坐标满足（）坐标满足（*）的所有点都在曲线）的所有点都在曲线l上。上。 则称方程（则称方程（*）为曲面）为曲面l的一般方程，而曲线的一般方程，而曲线l称为方程组（称为方程组（*）对应的曲线。）对应的曲线。例如：例如：22220 xyzrxyz方程组表示空间中的一个圆表示空间中的一个圆e-mail: xyz222xyr引例.分析方程是怎样的曲面 沿曲线沿曲

8、线c c平行于平行于z z轴的一切直线所形成的曲面称轴的一切直线所形成的曲面称为为圆柱面圆柱面，其上所有点的坐标都满足此方程，其上所有点的坐标都满足此方程, ,故在空故在空间上：间上：222xyr表示圆柱面oclm1m222,xoyxyrc解 在面上，表示圆1( , ,0),cmx yzl在圆 上任取一点过此点作平行与 轴的直线222,( , , )zm x y zxyr对任意 点的坐标也满足方程1 1、柱面、柱面二、常见曲面方程二、常见曲面方程e-mail: 类似圆柱面给出一般柱面的定义类似圆柱面给出一般柱面的定义:l一条直线 在空间平行于固定方向运动，xy母线平行与z轴，柱面在平面( ,

9、)0f x y 容易验证此时该柱面的方程为（如右图所示）但总和某一条固定的曲线 相交，这样所产生的曲面叫做柱面，l直线 称为，曲线 叫做柱面母线的准线.( , )0,0,f x yz的准线方程,( , )0y zh z xxy同理,方程g()=0和分别表示母线平行 和 轴的柱面.oxyzcl母线准线e-mail: 例例4 设设( , )00 x yz：，求以 作为准线，母线平行于z轴的柱面方程。解：在柱面上任意取一点解：在柱面上任意取一点m(x,y,z),则则m必在某条母必在某条母 线上，它与线上，它与的交点为的交点为m1(x,y,0),从而有从而有( , )0 x y另一方面：若另一方面：若

10、m(x,y,z)满足满足( , )0 x y，则，则m必在经过必在经过m(x,y,0)的母线上，且的母线上，且z=0，故所求，故所求柱面方程为柱面方程为，故曲面上任一点都满足，故曲面上任一点都满足( , )0 x y( , )0 x ye-mail: 【注】此表达式中，缺【注】此表达式中，缺z。同理：同理： 以以( , )0( , )0,00 x zy zyx为准线，母线分别平行为准线，母线分别平行于于y，z轴的柱面方程分别为：轴的柱面方程分别为：( , )0, ( , )0 x zy z其中：其中：222yz代表母线平行于代表母线平行于x轴的圆柱面；轴的圆柱面；220 xz代表母线平行于代表

11、母线平行于y轴的圆柱面；轴的圆柱面；e-mail: 下面介绍一般锥面定义：下面介绍一般锥面定义：00.pp一直线通过一定点 与一条不经过 的定曲线相交而移动所产生曲面为锥面的其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线，构成线，构成准线准线的直线称为锥面的的直线称为锥面的母线母线.(见下图见下图)2.2.锥面锥面p0pe-mail: 特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面.0 xyzle-mail: 5 求以坐标原例点为顶点，222( )1,txtytzcab2代入 的方程得( )及22221.(0)xyabzc

12、c椭圆：,为准线的锥面方程( , , )p x y z设是该锥面上任解意一点，1111( ,),pp x y z过 的母线交准线 于点1111,.optopxtx yty ztz 则有即e-mail: , t消去参数 得到锥面方程.ab称上述锥面为二次锥面，时为圆锥面22()1,.cxcyzzab2()2222220 xyzabc即e-mail: l 一条曲线 绕一条直线 旋转所产生的曲面称为旋转曲面.曲线 称为母线，l直线 称为轴.l过 的半平面与旋转曲面的交线称为经线.圆柱面、圆锥面都是旋转曲面.母线上的点旋转所得的圆称为纬圆，3.3.旋转曲面旋转曲面le-mail: 总结：总结：2222

13、l( , )0( ,)0(, )0yozf y zyf yxzzfxyz（1） 与 在平面，其方程为则 绕 旋转得方程为：绕 旋转得方程为：2222l( , )0( ,)0(, )0 xoyx yxxyzyxzy（2）设 与 在平面，其方程为则 绕 旋转一周所得方程为：绕 旋转一周所得方程为：2222l( , )0( ,)0(, )0 xozx zxxyzzxyz（3）设 与 在平面，其方程为则 绕 旋转一周所得方程为：绕 旋转一周所得方程为：e-mail: 例例6 把椭圆把椭圆绕绕x轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：222210 xzacy222221xyzac

14、绕绕z轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：222221xyzac这两种曲面均称为这两种曲面均称为旋转椭球面旋转椭球面。 e-mail: 例例7 把曲线把曲线绕绕x轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：222210 xyabz222221xyzac绕绕z轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：222221xyzac这两种曲面均称为这两种曲面均称为旋转双曲面旋转双曲面。 e-mail: 例例8 把抛物线把抛物线绕绕x轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：220yxz222yzx绕绕y轴旋转，所形

15、成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：4224()yxz这两种曲面均称为这两种曲面均称为旋转抛物面旋转抛物面。 e-mail: 2222221( , ,)xyza b cabc方程为正的常数所表示的曲面称为椭球面.abc特别地，时为球面当下面讨论椭球面地性质下面讨论椭球面地性质(1)对称性：椭球面关于三个坐标平面、三个坐标轴、及原点都是对称.(2)有界性:,xa yb zcxa yb zc 因此椭球面在六个面所围的长方体内.4.4.椭球面椭球面e-mail: (3)与坐标轴的交点(4)平截线,0,0,0abc显然椭球面与三坐标轴的交点分别为()、(0,),(0,0,).xyzh用

16、平行与坐标平面的截椭球面，所得截线2222221,xyhabczh 方程为e-mail: 22221,ii00,xyhxyabz（ ）当时截线为在平面的椭圆iiihc（）当时椭圆缩成两点(0,0, c)ihchh（ ）当时，截线是平面 上的一个中心在(0,0, )的一个椭圆，h显然椭圆随着的增大而不断减小；此时交线椭圆最大.zxy0e-mail: (1)单叶双曲面xyz2222221 ( , ,)xyza b cabc方程为正数所确单定叶的曲面称为双曲面.5 5、双曲面、双曲面e-mail: 显然由类似的讨论可知单叶双曲面对于三个显然由类似的讨论可知单叶双曲面对于三个坐标轴、三个坐标平面和原点

17、都是对称的坐标轴、三个坐标平面和原点都是对称的.xyzk平截线：用一组平行与平面的平面去截单叶双曲面，可得一族半轴各不相同的椭圆平面222211,.abackbckcc显然该椭圆的半轴为2222221,.xyzabczk 和曲面的交线为e-mail: yzxz用平行与平面以及平行于平面的平面去截单叶双曲面其交线都是双曲线，方程为222222221,(1)(1),xzkkacbbyk和222222221,(1)(1),yzkkbcaaxk ,0,0,0ab与坐标的交点：(),(0,)为单叶双曲面与坐标轴的交点，称为其顶点，对称中心称为中心。e-mail: (2)双叶双曲面双叶双曲面2222221

18、( , ,)xyza b cabc 方程为正常数所确定的曲面，称为双叶双曲面. 显然双叶双曲面是关于三个坐标平面、三个显然双叶双曲面是关于三个坐标平面、三个坐标轴及原点对称坐标轴及原点对称.2222221,.yzxzyzkbcaxk 平截线：曲面与平行于平面，平心于平面的交线为e-mail: zxyo2222221,.xzkacbyk 和显然他们都是双曲线xykkc用平行于平面的平面z去截曲面当时和曲面没有交点；kc当 时和曲面的交点为(0,0, c).kc当时和曲面的交线为椭圆e-mail: (1)椭圆抛物面0zxy由上式可知，所以抛物面与平面的交点仅为坐标原点.,xz yz与平面的交线以次

19、为：22222 ( ,)xyz a bab方程为正常数所确定的曲面为椭圆抛物面.2222 ,2 ,20,0,yxzzbaxy和6.6.抛物面抛物面e-mail: yxzo(0)xyzk k平行与平面的平面与该抛物面的截线为22222 ,xykabzk是一椭圆，则该抛物面的图像为右图所示e-mail: (2)双曲抛物面,xz yzz显然曲面关于平面和 轴都是对称的.0,0,.0ha h b hhah bhh时，半轴分别为；时半轴分别为时为两条直线.2222 ( ,)2xyz a bab方程为正常数所确定的曲面称为双曲抛物面.xyzh用平行与线平面的平面截该曲面，截线为22222 ,.xyhabzh双曲面，方程为e-mail: ,xh yh用平面截曲面，截线为抛物线，方程为xyzo22222222(),(),.hhybzxazabxhyh 和 图像为下图所示：e-mail: 在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影求空间直线在某平面上