第十一章曲面积分

1、1对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分3对面积的曲面积分对面积的曲面积分4对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分5基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式一、本章要点一、本章要点1对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分积分形式积分形式积分方法积分方法(1)平面曲线积分平面曲线积分(1)平面曲线积分平面曲线积分lsyxfd),(2)空间曲线积分空间曲线积分szyxfd),(直角坐标系：设曲线直角坐标系：设曲线 ，其中，其中,)(baxxyyl，： 具有连续导数，则具有连续导数，则 )(xybalxyxyxfsyxfd1)(,d),(2

2、参数方程：设曲线参数方程：设曲线 ，其中，其中,)()(ttyytxxl，： 具有连续导数，则具有连续导数，则)(),(tytxtyxtytxfsyxfld)(),(d),(22极坐标：设曲线极坐标：设曲线 ，其中，其中 ,)(，：l 具有连续导数，则具有连续导数，则)(lsyxfd),(dsin)(,cos)(22f(2)空间曲线积分空间曲线积分具有连续导数，则具有连续导数，则szyxfd),(tzyxtztytxfd)(),(),(222设曲线设曲线 ，其中，其中,)()()(ttzztyytxx，：)(),(),(tztytx2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分积分形式积分形式 lyyxq

3、xyxpd),(d),(1)平面曲线平面曲线 设有向曲线设有向曲线 ，则曲线积分为，则曲线积分为l(2)空间曲线空间曲线 设有向曲线设有向曲线 ，则，则曲线积分为曲线积分为zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),(积分方法积分方法(1)平面曲线平面曲线具有连续导数，则具有连续导数，则lyyxqxyxpd),(d),(ttytytxqtxtytxpd)()(),()()(),(设曲线为设曲线为 ，其中，其中)(),(tytx：ttyytxxl，)()(2)空间曲线空间曲线设曲线设曲线 ，：ttzztyytxx，)()()(其中其中 具有连续导数，则具有连续导数，则)(),(),(tz

4、tytxzzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),()()(),(),()()(),(),(tytztytxqtxtztytxpttztztytxrd)()(),(),(3对面积的曲面积分对面积的曲面积分dyxyxzzyxzyxfdd1),(,22积分形式积分形式szyxfd),(szyxfd),(积分方法积分方法 设曲面设曲面 的方程为的方程为 在在 面上面上),(yxzz xoy投影区域为投影区域为 ，则，则d4对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分其中：上侧取正，下侧取负其中：上侧取正，下侧取负积分形式积分形式yxrzyqyxpdddddd积分方法积分方法 设曲面设曲面 的方程为的方

5、程为 在在 面上面上),(yxzz xoy投影区域为投影区域为 ，则，则dyxrzyqyxpdddddddyxyxrzqzpdd)()(5基本公式基本公式1)格林公式格林公式曲线积分与路径无关条件：曲线积分曲线积分与路径无关条件：曲线积分ddyxypxqyyxqxyxpdd)(d),(d),(设设 是平面上的有界闭区域，函数是平面上的有界闭区域，函数d),(),(yxqyxp在在 上有连续偏导，则上有连续偏导，则d与路径无关与路径无关lyyxqxyxpd),(d),(ypxq此时此时全微分求积全微分求积满足满足1010d),(d),(10yyxxyyxqxyxp),(),(1100d),(d)

6、,(yxyxyyxqxyxp 为全微分为全微分yyxqxyxpd),(d),(，ypxq此时此时，),(),(00d),(d),(),(yxyxyyxqxyxpyxuyyxqxyxpud),(d),(d2)高斯公式高斯公式vrqpzyxd)(yxrxzqzypdddddd设设 是空间的有界闭区域，函数是空间的有界闭区域，函数 在在 上有连上有连rqp,续偏导，则续偏导，则向量场向量场 的散度的散度),(rqpa zyxrqpadiv3)斯托克斯公式斯托克斯公式设设 为分片光滑曲面，函数为分片光滑曲面，函数 在在 上有连续偏上有连续偏rqp,导，则导，则zryqxpdddsrqpzyxrqpzy

7、xyxxzzydcoscoscosdddddd向量场向量场 的旋度的旋度),(rqpa rqpzyxkjiarot课内练习课内练习: 计算计算,d22syxl 其中其中l为圆周为圆周.22xayx 提示提示: 利用极坐标利用极坐标 ,)22(cos: arl dd22rrs 原式原式 =sxald 22dcos22 aa22a 说明说明: 若用参数方程计算若用参数方程计算,:l)20( txaoyr da )cos1(2txa tyasin2 t则则tyxsdd22 tad2 p246 题题3(1)ttad)cos1( 计算计算,dd)2( lyxxya其中其中l为摆线为摆线, )sin(tt

8、ax )cos1(tay 上对应上对应 t 从从 0 到到 2 的一段弧的一段弧.提示提示: 202dsinttta原式原式 202sincosttta 22 a )cos1(ta ttattadsin)sin( yxxyadd)2( tttadsin2 p246 题题3(3)zoyx1计算计算其中其中 由平面由平面 y = z 截球面截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222 yx故故: 原式原式 = tttdsincos2022221 tttd)cos1(cos42022221 221432212 162 txcos tysin21 sin21tz )20( t,d zzyx

9、从从 z 轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向.,12所得所得 zp246 题题3(6) sin)cos1(:taytaxldyalxo计算计算,d)2cos(d)2sin( lxxyyexyyei其中其中l为上半圆周为上半圆周, 0,)(222 yayax提示提示: : lxxyyexyeid)2cos(dsin lxyd2 lxyd2bayxddd0 ax20d0 022dsin2tta 0:t2a 沿逆时针方向沿逆时针方向. ababl(也可直接用也可直接用green公式公式. )p246 题题3(5)求力求力沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的所作的功功, 其中其中 为平面为平面 x

10、+ y + z = 1 被三个坐标面所截成三被三个坐标面所截成三提示提示: bazyxco zxyzxywddd abzxyzxyddd3 abzxd3 10d)1(3zz23 方法方法1从从 z 轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向.利用对称性利用对称性角形的整个边界角形的整个边界,),(xzyf p247 题题11设三角形区域为设三角形区域为 , 方向方向向上向上, 则则 zxyzxywddd zyx sd313131yzx1: zyx sd)3(31)1,1,1(31 n方法方法2nbazyxco23 yxdyxdd33利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式(三三) 对面积的曲面积分的

11、计算对面积的曲面积分的计算: 1. 化成二重积分化成二重积分: 一投、二代、三变换一投、二代、三变换 (1) 确定曲面的单值函数的表达式确定曲面的单值函数的表达式; (2) 将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标平面投影平面投影,得投影区域得投影区域; (3) 将曲面方程代入被积函数和曲面将曲面方程代入被积函数和曲面 面积元素面积元素ds中中, 得二重积分的被积表达式得二重积分的被积表达式,曲面在坐标面上的投曲面在坐标面上的投影区域为二重积分的积分区域影区域为二重积分的积分区域 ; (4) 计算二重积分计算二重积分.0, 2, 1,d22面面所围成的空间立

12、体的表所围成的空间立体的表平面平面是圆柱面是圆柱面其中其中计算计算 zxzyxsx. 1:, 2:, 0:22321 yxxzz积积分分曲曲面面. 1:2221 yxdxoyxy均为均为面上的投影区域面上的投影区域在在和和 xydxsx d001d221例例1解解, d 1中中在在 sx xydyxxsxddd1,dddyxs , 0 sxsxdd321 )(轴轴对对称称积积分分区区域域关关于于 y, d 2中中在在 sx,dd11dyxs xydyxxsxdd2d2, 0 ,3向向其其它它坐坐标标面面投投影影面面上上的的投投影影不不是是区区域域在在xoy .,投投影影相相同同分分成成前前后后

13、两两片片坐坐标标平平面面选选择择 zox.11222xyyx 可得可得由由,1:231xy 前片前片.1:232xy 后片后片. 20, 11: xzxdzx投影区域投影区域xzyysxzdd1d22 xzxxdd01122 .d 相相同同前前后后两两片片s.dd112xzx 32313dddsxsxsx zxdxzxzyyxdd1222 zxdxzxxdd122 11202dd12xzxxx, .00dd 321 所以所以sxsx例例2 .,d)(22222rzyxsdczbyaxi 球球面面：是是其其中中计计算算曲曲面面积积分分,ddd222 szsysxsdczbyaxid)(2 2.

14、特殊计算法特殊计算法:解解 . 0ddd syzsxzsxy, 0ddd szsysx由对称性，由对称性， sxcbasdd)(d22222 szyxcbardd)()(31422222222 .)(344422222rcbadr szcybxasdd )(d2222222 srcbadrd)(314222222 sdcdzbdyadxacxzbcyzabxyzcybxad)222222(2222222 解解 依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐坐标标面面对对称称轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 有有 14成立成立，xyz例例3yxzzs

15、yxdd1d22 yxyxdd)2()2(122 sxyzd41 yxyxyxxyxyddd)2()2(1)(42222 其其中中1| ),(22 yxyxdxy, 0, 0 yxrrrrttrtd41sincosd41022220 rrrttd41d2sin2210502 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 .2.d )(222222xzyxszyxi 为为：其其中中求求sxszyxid2d )(222 . 1001 x），故故，又又球球面面的的重重心心在在（.84122d2 sxsxi例例4解解,d_ssxx 而而练习练习 计算曲面积分计算曲面积分 其其,d2)

16、(22szyzyxi 中中 是球面是球面.22222zxzyx 解解 szxd)22( 32 szyxid )(222 zyyx22 syzxd)(2 szxd)(20 利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式利用轮换对称性简化第一类曲面积分利用轮换对称性简化第一类曲面积分 对对称称，面面关关于于直直线线所所谓谓轮轮换换对对称称性性是是指指曲曲zyx . ,323 仍与原曲面重合仍与原曲面重合弧度后弧度后或或旋转旋转即将曲面绕直线即将曲面绕直线 zyx. , 1 2222rzyxzyx 例如例如:0),( ,具具有有如如下下特特征征则则其其方方程程若若曲曲面面具具有有轮轮换换对对称称性性 zy

17、xf. , , ),( 的的表表达达式式不不会会改改变变的的位位置置任任意意互互换换中中变变量量将将fzyxzyxf. , ),( ,积积分分值值不不会会改改变变无无论论怎怎样样互互换换变变量量中中的的则则被被积积函函数数若若曲曲面面具具有有轮轮换换对对称称性性zyxzyxf轮换不变性轮换不变性 若曲面若曲面有轮换对称性有轮换对称性, , 则则上的第一类曲上的第一类曲面积分有轮换不变性面积分有轮换不变性. . sxzyfsyxzfszyxfd),(d),(d),(.dd)( )0, 0, 0( 1 sxsyxzyxzyx与与求求设曲面设曲面例例5解解 , 1 有有轮轮换换对对称称性性曲曲面面

18、zyx由积分的轮换不变性知由积分的轮换不变性知,ddd szsysx syxd, 0dd sysx szyxsx)d(31d sd31.612131 (四四).对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算: 1. 化为二重积分化为二重积分: 一投、二代、三定号一投、二代、三定号 (1) 选准曲面的投影方向选准曲面的投影方向; (2) 将曲面的方程表示成相应变量的单值函数将曲面的方程表示成相应变量的单值函数,代入代入 被积函数中去被积函数中去; (3) 根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号.在在第第一一卦卦限限部部分分的的上上侧侧为为平平面面为为连连续续函函数

19、数其其中中计计算算1,),(,dd),(dd),(2dd),( zyxzyxfyxzzyxfxzyzyxfzyxzyxfi例例6xyoz111 解解 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的法向量为的法向量为.31cos,31cos,31cos 2. 利用两类曲面积分之间的联系利用两类曲面积分之间的联系:szzyxfyzyxfxzyxfd33),(),(2),( szyxd)(33 sd3321 s 333. 利用利用gauss公式公式:的的内内表表面面。所所围围立立体体及及锥锥面面为为：球球面面其其中中求求 2222222222224,.ddddddyxzrzyxrzyxyxyxzxzyzzyxzi vyxzzid)(22例例7解解 由由gauss公式，公式，rrrrrrd)sincos2(dsind220402 .)2(16154r .)()()(.dddddd2222222的外侧的外侧：是是其中其中求求rczbyaxyxzxzyzyxi vzyxid)(2例例8解解由由gauss公式，公式，vzyx)(2 334)(2rcba 3)(38rcba zyxo练习练习: ,ddddddy