曲面及其方程26085

1、第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程一一 、曲面方程的概念、曲面方程的概念二二 、旋转曲面、旋转曲面三三 、柱面、柱面曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如果曲面如果曲面 与三元方程与三元方程 有如下关系：有如下关系：s0),( zyxf(2)(2)不在曲面不在曲面 上的任一点的坐标都不满足方程上的任一点的坐标都不满足方程 . .s(1)(1)曲面曲面 上的任一点的坐标都满足方程上的任一点的坐标都满足方程 ; ;s那么，方程那么，方程 就叫做曲面就叫做曲面 的方程，而的方程，而曲面曲面 就叫做方程的图形就叫做方程的图

2、形0),( zyxfss一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. .解解rmm |0根据题意有根据题意有rzzyyxx 202020)()()(所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时特殊地：球心在原点时, , 方程为方程为. 2222rzyx 例例1 1 建立球心在建立球心在 , ,半径为半径为r r 的球面的球面的方程的方程. .),(0000zyxm是球面上的任一点，是球面上的任一点，设设 ),( zyxm2202020)()()(rzzyyxx 解解,21|0 mmmo根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634

3、132222 zyx所求方程为所求方程为 例例2 2 求与原点求与原点o o 及及 的距离之比为的距离之比为的点的全体所组成的曲面的方程的点的全体所组成的曲面的方程 . .)4,3,2(0m2:1即即 ),( ，是所求曲面上的任一点是所求曲面上的任一点设设zyxm根据题意有根据题意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程为化简得所求方程为. 07262 zyx解解 . )4 , 1, 2( , )3 , 2 , 1( 3 垂直平分面的方程垂直平分面的方程的的，求线段，求线段已知已知例例abba ),( ，是所求平面上的任一点是所求平面上的任一点设设zyxm以

4、上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 由一条平面曲线绕其平面上的一条直由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. .这条定直这条定直线叫做旋转曲面的轴线叫做旋转曲面的轴. .设在设在 平面上有一已知曲线平面上有一已知曲线c ,c ,它的方程

5、为它的方程为yoz, 0),( zyf把这条曲线绕把这条曲线绕z z 轴旋转一周，就得到一个以轴旋转一周，就得到一个以z z 轴为轴为轴的旋转曲面轴的旋转曲面. .它的方程可以求得如下：它的方程可以求得如下：. 0),(11 zyf ), 0( 111上的任意点，则有上的任意点，则有为曲线为曲线设设czym当曲线当曲线c c 绕绕z z 轴旋转时，轴旋转时， 也绕也绕z z 轴轴1m),( zyxm旋转到另一点旋转到另一点保持不变，保持不变，这时这时 1zz xozy0),( zyf), 0(111zym mxozy0),( zyf), 0(111zym m|122yyxd 0),(11 zy

6、fd且点且点m m 到到z z 轴的距离为轴的距离为代入代入将将 , 2211yxyzz , 0),(22 zyxf得方程得方程yoz yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线f f ( ( y , z y , z ) = 0) = 0绕绕 z z 轴轴旋转一周的旋转曲面的方程旋转一周的旋转曲面的方程. . 0),(22 zxyf同理，同理，yoz yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线f f ( ( y , z y , z ) ) = = 0 0 绕绕y y 轴旋转一周的旋转曲面的方程为轴旋转一周的旋转曲面的方程为解解 yoz面上直线方程为面上直线方程为 yctgz 圆锥面方程圆锥

7、面方程.22 ctgyxz xozy), 0(111zym ),(zyxmoz 例例4 4 直线直线l l绕另一条与绕另一条与l l相交的直线旋转一周，所得相交的直线旋转一周，所得得旋转曲面叫做圆锥面得旋转曲面叫做圆锥面 . . 两直线的交点叫做圆锥面的两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角顶点，两直线的夹角 叫做圆锥面的半顶角叫做圆锥面的半顶角. .试建立顶点在原点试建立顶点在原点o o ，旋转轴为，旋转轴为z z 轴，半顶角为轴，半顶角为 的的圆锥面的方程圆锥面的方程. .)20( 例例5 5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程

8、的旋转曲面的方程122222 czyax122222 czayx 012222yczax(1) (1) 双曲线双曲线 分别绕分别绕 轴和轴和 轴：轴：xz绕绕 轴旋转轴旋转 x绕绕 轴旋转轴旋转 z这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. . 122222 czxay122222 czayxpzyx222 旋转抛物面旋转抛物面 012222xczay(2) (2) 椭圆椭圆绕绕 轴和轴和 轴：轴：yz(3)(3)抛物线抛物线绕绕 轴：轴：z 022xpzy这两种曲面都叫做旋转椭球面这两种曲面都叫做旋转椭球面. . 轴旋转轴旋转绕绕 y轴旋转轴旋转绕绕 z三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的移动的直线直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面的叫柱面的母线母线. .cl柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：12222 czby椭圆柱面椭圆柱面/ / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面/ / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛