曲面及其方程1

1、2009.2.6北京工商大学7-3-17.3 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面旋转曲面柱面柱面二次曲面二次曲面小结小结 思考题思考题 作业作业2009.2.6北京工商大学7-3-2一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念定义定义(1) 曲面曲面s上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程;(2)不不在曲面在曲面s上的点的坐标都上的点的坐标都不不满足方程满足方程;如果曲面如果曲面s0),( zyxf有下述关系有下述关系:那么那么,0),( zyxf方程方程就叫做曲面就叫做曲面s的方程的方程,而曲面而曲面s就叫做方程的图形就叫做方程的图形.曲面及其方程曲面及其方程与三

2、元方程与三元方程xyzos0),( zyxf2009.2.6北京工商大学7-3-3解解rmm |0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(rzzyyxx 所求方程为所求方程为球心在原点的球面方程球心在原点的球面方程2222rzyx 的的、半径为、半径为建立球心在点建立球心在点rzyxm),(0000.球球面面方方程程特殊特殊),(zyxm设设是球面上任一点是球面上任一点,r21221221221)()()(zzyyxxmm 曲面及其方程曲面及其方程例例2009.2.6北京工商大学7-3-4例例解解 |0mmmo 222222432zyxzyx 911634132222

3、zyx所求方程所求方程),(zyxm设设是曲面上任一点是曲面上任一点,的全体所组成的曲面方程的全体所组成的曲面方程.的的点点：的的距距离离之之比比为为及及求求与与原原点点21)4 , 3 , 2(0mo2121曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-5二、旋转曲面二、旋转曲面1.定义定义曲面及其方程曲面及其方程此定直线叫旋转曲面的轴此定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称此曲线称称此曲面为称此曲面为旋转曲面旋转曲面. .一周所成的曲面一周所成的曲面, ,母线母线. . 为方便为方便,取作坐标面取作坐标面, 常把曲线所在平面常把曲线所在平面以一条平面曲线以一条平面曲线绕绕其平面上的

4、一条直线旋转其平面上的一条直线旋转母线母线轴轴旋转轴取作坐标轴旋转轴取作坐标轴.定义定义2009.2.6北京工商大学7-3-62. 旋转曲面方程旋转曲面方程d),z , y,x(m任取曲面上的点任取曲面上的点zz 1)1(22yxd 将将,1zz 0),(11 zyf), 0(111zym0),(22 zyxf得方程得方程轴的距离轴的距离到到点点zm)2(|1y 221yxy 代入代入曲面及其方程曲面及其方程0),(11 zyfxyzo), 0(111zym ),(zyxm0),(: zyfc0 )z , y(fyoz坐坐标标面面上上设设有有曲曲线线：在在2009.2.6北京工商大学7-3-7

5、0),( yf22zx 旋转曲面方程为旋转曲面方程为旋转一周的旋转一周的由上面的分析得：由上面的分析得：0),( zyfyoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线同理同理,0),( zyfyoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线旋转曲面方程旋转曲面方程为为旋转一周的旋转一周的0),(22 zyxf绕绕z轴轴绕绕y轴轴曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-8 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程.122 cz旋转双曲面旋转双曲面例例双曲线双曲线(1)12222 czax分别绕分别绕x轴和轴和z轴轴;绕绕

6、x轴轴旋转旋转绕绕z轴轴旋转旋转2c22zy 22ax1 22yx 2a曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-9绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面(2)12222 czayyoz坐标面上的椭圆坐标面上的椭圆绕绕y轴和轴和z轴轴;(3)pzyyoz22 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线绕绕z轴轴.曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-10 选择题选择题 b方程方程222)(yxaz (a) xoz平面平面上曲线上曲线 绕绕y轴旋转所得曲面轴旋转所得

7、曲面; 22)(xaz (b) xoz平面平面上直线上直线 绕绕z轴旋转所得曲面；轴旋转所得曲面；xaz (c) yoz平面平面上直线上直线 绕绕y轴旋转所得曲面；轴旋转所得曲面；yaz (d) yoz平面平面上曲线上曲线 绕绕x轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面.22)(yaz 表示表示( ).曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-11定义定义三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线c这条定曲线这条定曲线c 称为柱面的称为柱面的动直线动直线l称为柱面的称为柱面的准线准线,母线母线.曲面及其方程曲面及其方程所形成的曲面称为所形成的曲面称为移动的直线移动的直线

8、l 柱面柱面. .lc准线准线母线母线2009.2.6北京工商大学7-3-12因此因此,该方程的图形是以该方程的图形是以xoy面上圆为准线面上圆为准线, 例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形.222ryx 在在xoy面上面上, 222ryx 解解母线平行于母线平行于z轴的轴的柱面柱面.曲面及其方程曲面及其方程表一个表一个圆圆c.过点过点作平行作平行z轴的直线轴的直线l,)0 ,(1yxm设点设点 在圆在圆c上上, 对任意对任意z,点点的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线c, 平行于平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标的坐标都满足此方程都满足此方程,

9、 ,在在空间空间, ,222ryx 就是就是圆柱面方程圆柱面方程. .此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面. .),(zyxmlxyzoc 1m m )0 ,(1yxm,222ryx 2009.2.6北京工商大学7-3-13xyzoxyzoxy 平面平面表示母线平行于表示母线平行于zxy22 .22xy xy 表示母线平行于表示母线平行于z轴轴.xy 曲面及其方程曲面及其方程xy22 抛物柱面抛物柱面柱面举例柱面举例 其准线是其准线是xoy面面上的抛物线上的抛物线轴的柱面轴的柱面, 的柱面的柱面,其准线是其准线是xoy面上面上的直线的直线2009.2.6北京工商大学7-3-14总结：总结：柱面的特

10、征柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆椭圆柱面柱面12222 byax双曲双曲柱面柱面 pzx22 抛物抛物柱面柱面 , 0),(, yxfzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐标系中表示平行于直角坐标系中表示平行于z轴的柱面轴的柱面,在空间在空间为为xoy面上的曲线面上的曲线c.其准线其准线曲面及其方程曲面及其方程母线平行于母线平行于x轴轴母线平行于母线平行于z轴轴母线平行于母线平行于y轴轴2009.2.6北京工商大学7-3-15二次曲面的定义二次曲面的定义四、二次曲面四、二次曲面曲面及其方程曲面及其方程具体形式为：具体形式为：三元二次方程三元二次方程所表

11、示的曲面称为所表示的曲面称为0222 qnzmyhxgzxfyzexyczbyaxqnmlgfecba,其中其中均为常数均为常数.球面、球面、二次曲面二次曲面.如如某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等)都是二次曲面都是二次曲面.2009.2.6北京工商大学7-3-16 研究二次曲面的方法是采用研究二次曲面的方法是采用截痕法截痕法.下面用下面用截痕法截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面讨论上面几种特殊的二次曲面.即用即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线考察其交线(即截痕即截痕)的形状的形状, 然后加以综合然后加

12、以综合,从而了解曲面的全貌从而了解曲面的全貌.曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-171. 椭球面椭球面(椭圆面椭圆面)1222222 czbyax曲面及其方程曲面及其方程)0, 0, 0( cba由方程可知：由方程可知：, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,|,|czbyax 说明椭球面包含在由平面说明椭球面包含在由平面围成的长方体内围成的长方体内.czbyax ,2009.2.6北京工商大学7-3-18曲面及其方程曲面及其方程先考虑椭球面与坐标面的截痕：先考虑椭球面与坐标面的截痕： 012222yczax 012222zbyax去截这个曲面去截这个曲

13、面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是)|0(11czzz 012222xczby1222222 czbyax1z000这些截痕都是这些截痕都是椭圆椭圆.再用平行于再用平行于xoy面的平面面的平面 122122221zzczbyax这些截痕也都是这些截痕也都是椭圆椭圆.2009.2.6北京工商大学7-3-19椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.曲面及其方程曲面及其方程与平面与平面 ,1xx 1yy 椭圆椭圆.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222 czbyax1x1yzxyoxyzo2009.2.6北京工商大学7-3-20椭球面的几种特殊情况椭球面的几

14、种特殊情况:)1(1222222 czayax旋转旋转椭球面椭球面12222 czax由椭圆由椭圆旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面1zz )| (1cz ba 1222222 czbyaxa绕绕z轴旋转而成轴旋转而成.的交线为的交线为圆圆.曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-21cba )2(1222222 azayax球面球面2222azyx 方程可写为方程可写为曲面及其方程曲面及其方程xyzo2009.2.6北京工商大学7-3-222. 抛物面抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）p

15、q椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论用截痕法讨论用平面用平面)0( zxoy设设0, 0 qp原点叫做椭圆抛物面的原点叫做椭圆抛物面的去截这曲面去截这曲面,顶点顶点.0(1)曲面及其方程曲面及其方程截痕为截痕为原点原点.用平面用平面1zz 11212122zzqzypzx)0(1 z去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为椭圆椭圆.,01时时当当z截痕退缩为原点截痕退缩为原点;,01时时当当 z截痕不存在截痕不存在.1z2009.2.6北京工商大学7-3-23用坐标面用坐标面)0( yxoz 022ypzx截痕为截痕为抛物线抛物线.zqypx 2222(2)0曲面及其方程曲面及其方程去截这曲面去截这曲

16、面,用平面用平面1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211去截这曲面去截这曲面, 截痕为截痕为抛物线抛物线.1y2009.2.6北京工商大学7-3-24用坐标面用坐标面)0( xyoz1xx 同理当同理当0, 0 qpzqypx 2222(3)时可类似讨论时可类似讨论.01x曲面及其方程曲面及其方程去截这曲面去截这曲面,及平面及平面截痕为截痕为抛物线抛物线.0, 0 qp0, 0 qp椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：zxyoozxyxyzo2009.2.6北京工商大学7-3-25,时时当当qp zpypx 2222旋转抛物面旋转

17、抛物面)0( p(由由 面上的抛物线面上的抛物线xozpzx22 11222zzpzyx用平面用平面1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz特殊地特殊地方程变为方程变为zqypx 2222而成的而成的)p p1z曲面及其方程曲面及其方程去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为圆圆.绕绕z轴旋转轴旋转2009.2.6北京工商大学7-3-26zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面双曲抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下： 有两个异号的平方项有两个异号的平方项,另一变量另一变量方程方程 z = xy表示

18、表示什么曲面？什么曲面？马鞍面马鞍面特点是特点是:是一次项是一次项, 无常数项无常数项.(马鞍面马鞍面)曲面及其方程曲面及其方程xyzo2009.2.6北京工商大学7-3-273. 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax特点是特点是: 平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号.曲面及其方程曲面及其方程oxyzxyzo2009.2.6北京工商大学7-3-28类似地类似地,1222222 czbyax1222222 czbyax亦表示亦表示单叶双曲面单叶双曲面.方程方程曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-29双叶双曲面双叶双曲面1

19、222222 czbyax1222222 czbyax 或或特点是特点是:平方项有一个取正号平方项有一个取正号,另两个取负号另两个取负号.它分成上、下两个曲面它分成上、下两个曲面.注注曲面及其方程曲面及其方程xyzo 类似地类似地,1222222 czbyax或或1222222 czbyax亦表示亦表示方程方程双叶双曲面双叶双曲面.2009.2.6北京工商大学7-3-30方程方程表示表示( )(a) 双曲柱面双曲柱面;(d) 锥锥面面.(c)双叶双曲面双叶双曲面;(b)旋转旋转双曲面双曲面;b椭圆抛物面椭圆抛物面 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面）马鞍面）填空填空 设有曲面方程设有曲面方程则方程表

20、示的曲面为则方程表示的曲面为,0,222时时当当 pqzqypx方程表示的曲面为方程表示的曲面为,0时时当当 pq14222 zyx曲面及其方程曲面及其方程选择选择2009.2.6北京工商大学7-3-31 上海交大上海交大,填空填空,(90级级)是是0132222 zyx 双叶双双叶双曲面曲面,它的对称轴在它的对称轴在 轴上轴上.y 上海交大上海交大,填空填空,(95级级).43222面面所表示的曲面是所表示的曲面是方程方程yxz 椭圆锥椭圆锥曲面及其方程曲面及其方程2009.2.6北京工商大学7-3-32截痕法截痕法; (熟知这几个常见曲面的特性熟知这几个常见曲面的特性)椭球面、抛物面、双曲面椭球面、抛物面、双曲面.曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念旋转曲面的概念(轴、母线轴、母线)及求法及求法;柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线); 0),( zyxf曲面及其方程曲面及其方程五、