曲边梯形面积与定积分PPT

1、1.4定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理n 第一节第一节 曲边梯形面积与定积分曲边梯形面积与定积分n 第二节第二节 定积分的计算定积分的计算n 第三节第三节 定积分的应用定积分的应用n习题课习题课引例引例1.求曲线求曲线y=x2与直线与直线x=1,y=0所围成的区所围成的区域的面积域的面积.xyo11解解:将区间将区间0,1等分为等分为n个小区间个小区间:11 2110,.,.,.iinnnn nnnnn 每个小区间的长度为：每个小区间的长度为：11iixnnn 矩形的高：底：矩形的高：底：21in1xn xyo11解解:将区间将区间0,1等分为等分为n个小区间个小区间:11 211

2、0,.,.,.iinnnn nnnnn 11iixnnn 矩形的高：底：矩形的高：底：21in1xn 矩形的面积：矩形的面积：222211121110,.,.nnnnnnnnxyo11解解:矩形的面积和：矩形的面积和：222211121110.nnsnnnnnnn222231012.(1) nn31(1)(21)6n nnn111(1)(2)6nn1xn ,0nx 00111limlim (1)(2)6nxxssnn 13引例引例2.弹簧在拉伸过程中弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比力与伸长量成正比,即力即力 f(x)=kx (k是常数是常数,x是伸长量是伸长量).求弹簧从求弹簧从平衡位置拉长

3、平衡位置拉长b所做的功所做的功.w=fxf(x)=kx将区间将区间0,b n等分等分:解：解：bxn 分点依次为：分点依次为：01212(1)0,.,.nnbbnbxxxxxbnnn,nii+1i在分段x ,x所用的力约为kx，所做的功:iiibwkxxkxn则从则从0到到b所做的功所做的功w近似等于近似等于:111000nnniiiiiibbwkxxknn,n当得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为111000nnniiiiiibbwkxxknn222220 12.(1)(1)1(1)22kbnnkb n nkbnn 210lim2ninikbww 10lim()ninisf xx 引例引例2.

4、弹簧在拉伸过程中弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比力与伸长量成正比,即力即力 f(x)=kx (k是常数是常数,x是伸长量是伸长量).求弹簧从求弹簧从平衡位置拉长平衡位置拉长b所做的功所做的功.引例引例1.求曲线求曲线y=x2与直线与直线x=1,y=0所围成的区所围成的区域的面积域的面积.10lim()niniwf xx 第一节定积分的概念第一节定积分的概念n一、引例引例 曲边梯形的面积曲边梯形的面积n二、定积分的定义二、定积分的定义n三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义n四、定积分的性质四、定积分的性质 一、曲边梯形的面积曲边梯形的面积abxyo)(xfy ? a图图4-1abxyoab

5、xyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）abxyoix1x1 ix1 nx求解曲边梯形面积的步骤：求解曲边梯形面积的步骤：abxyoi ix1x1 ix1 nx（4-1） 步骤：分割，近似，求和，取极限步骤：分割，近似，求和，取极限仿照上面方法：仿照上面方法：tot1t2 t0t1ti1 tn1 tn=i iiitvsni, 2 , 1 第第i段路程值段路程值第第i段某时刻的速度段某时刻的速度步骤：分割，近似，求和，取极限步骤：分割，近似，求和，取极限 二、定积分的定义二、定积分的定义被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba其中其中 积分上限积分上限积分下限积分下限三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义1a2a3a4a4321)(aaaadxxfba 四、定积分的性质四