第十一章幂级数

1、1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是定义在是定义在ri 上的函上的函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn 称为定义在区间称为定义在区间i上的上的( (函数项函数项) )无穷级数无穷级数. . ,120 xxxnn例例如如级级数数幂幂 级级 数数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如如果果ix 0, ,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛, , 则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, , 函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称

2、称为为收收敛敛域域, , 所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. . 3.3.和函数和函数: :在在收收敛敛域域上上, ,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs, , 称称)(xs为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数. . )()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?)函数项级数的部分和函数项级数的部分和),(xsn余项余项)()(limxsxsnn )()()(xsxsxrnn 0)(lim xrnn注意注意(x在收敛域上在收敛域上)函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.

3、例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域. 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 111)1( x当当, 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散., 1|1|)3( x当当, 20 xx或或,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数,2时时当当 x 11nn级数级数)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为收敛收敛;发散发散;二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa

4、)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其中其中na为为幂级数系数幂级数系数. 2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例例如如级级数数;,1收敛收敛时时当当 x;,1发散发散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发散域发散域定定理理1 1 ( (a ab be el l 定定理理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式

5、0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .证明证明,)1(00收敛收敛 nnnxa, 0lim0 nnnxa,m ), 2 , 1 , 0(0 nmxann使使得得nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxm0 ,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxm ,10时时当当 xx,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛, ,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,几何说明几何说明发散区域发散区域发散区域发散区域收敛区域收敛

6、区域r rox这是幂级数收敛的特性这是幂级数收敛的特性推论推论如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数r存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当rxrx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .定义定义: : 正数正数r称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.),(rr 称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间，收敛域收敛域

7、 = 收敛区间收敛区间 + 收敛的端点收敛的端点可能是可能是),(rr ),rr ,(rr .,rr 规定规定(1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛, , 0 r收收敛敛区区间间0 x; ( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, , , r收收敛敛区区间间),( . 问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnn

8、alim)(1) 则则当当0 时时, 1r;(3) 当当 时时,0 r.(2) 当当0 时时, r;,)0(lim)1(1存存在在如如果果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数, 0)2( 如果如果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; r收敛半

9、径收敛半径,)3( 如果如果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理 nnnxax. 0 r收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕. 若若 1nnnxa在在 x0 处收敛处收敛 则则|0 xr 1nnnxa在在 x0 处发散处发散 若若 则则|0 xr 若若 1nnnxa在在 x0 处条件收敛处条件收敛 则则|0 xr 这是幂级数收敛的特性这是幂级数收敛的特性注注利用该定理求收敛半径要求所有的利用该定理求收敛半径要求所有的 0 na或只有有限个或只有有限个0 na例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:;)1()1(

10、1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 r,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为该级数收敛该级数收敛,1时时当当 x,11 nn级级数数为为该级数发散该级数发散故故收收敛敛区区间间是是 1 , 1( .;)()2(1 nnnxnnna limnn lim, or 级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 11lim nn, 0 , r收收敛敛区区间间),( ., .)21(2) 1()4(1nnnnxn nnnaa1lim 12lim n

11、nn2 ,21 r,2121收收敛敛即即 x,) 1 , 0(收收敛敛 x,0时时当当 x,11 nn级数为级数为发散发散,1时时当当 x,) 1(1 nnn级级数数为为收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.如缺项，如缺项， 则则nnnaa1lim 必不存在，必不存在，但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径半径例例3已知幂级数已知幂级数 nnnxa 1的收敛半径的收敛半径r=1求求nnnxna 1!的收敛半径的收敛半径解解 任取任取) 1 , 0(0 x由由nnnxa0

12、1 收敛知收敛知0lim0 nnnxamxann |0注：注：nnnnnxxnxaxna)(!1!00 nxxnm0!1 由检比法易得由检比法易得 nnxxnm01!1 收敛收敛),( x故由比较审敛法知故由比较审敛法知 nnnxna 1!在在),( 故收敛半径故收敛半径内绝对收敛内绝对收敛 r注意注意收敛半径为收敛半径为1，并不意味着，并不意味着1lim1 nnnaa三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :,2100rrxbxannnnnn和和的的收收敛敛半半径径各各为为和和设设 21,minrrr (1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc

13、 rrx, (其中其中)nnnbac (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (其中其中)0110bababacnnnn (3) 除法除法)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :(1) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间 ),(rr 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. (2) 幂级数幂级数 0nnnxa的

14、和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(rr 内可积内可积,且对且对),(rrx 可逐项积分可逐项积分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)(3) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间 ),(rr 内内可可导导, 并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)例例 4 4 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显然显然

15、21)(xxxs,11x ) 11( x两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx )1ln()0()(xsxs 即即),1ln()(xxs ,1时时又又 x.1) 1(11收收敛敛 nnn).1ln() 1(11xnxnnn ) 11( x例例5 求和函数求和函数 1)1(nnxnn解解收敛域为收敛域为11 x记记 111) 1() 1(nnnnxnnxxnn 11) 1()(nnxnnxs11 x则则 xdxxsxs01)()( 1)1(nnxn xdxxs01)( 11nnxxx 1211 x并求并求 12)1(nnnn的和的和)()(1xsxs 3)1(2x 故故31)1(2)

16、1(xxxnnnn 2)1(11x 11 x故故111111)(21 xxxxxs82)1(1 nnnn常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;11)3(202xxnn ;!)4(0 xnnenx ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn );1ln(1)1()6(01xnxnnn 记住几个常见级数的和记住几个常见级数的和 01) 1 (nnqaaq) 1|(| q2ln)1()2(11 nnn61)3(212 nn12) 1()4(2121 nnn常数项级数求和的一种重要方法常数项级数求和的一种重要方法幂级数法或幂

17、级数法或abel法法四、小结四、小结1.函数项级数的概念函数项级数的概念:2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径r3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 练练 习习 题题一、一、 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: :1 1、 )2(424222nxxxn；2