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文档简介

1、1主要内容主要内容1、拉氏变换的概念和存在定理、拉氏变换的概念和存在定理 2 2、拉氏变换的性质、拉氏变换的性质 3 3、卷积和卷积定理、卷积和卷积定理4 4、拉氏逆变换及其应用、拉氏逆变换及其应用21 1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念1、问题的提出、问题的提出 傅傅氏氏变换变换具有广泛的应用具有广泛的应用,但但有前提条件有前提条件,除了满足狄氏条件之外,还要求函数绝对可积除了满足狄氏条件之外,还要求函数绝对可积:即即.)( dttf 实际上这个条件非常强,对函数的要求较高,实际上这个条件非常强,对函数的要求较高,因而一些常见的函数都不满足这一点因而一些常见的函数都不满足这一点. .这

2、就限制了这就限制了傅氏变换的应用傅氏变换的应用. .3 另外,通常在实际应用中的许多以时间另外,通常在实际应用中的许多以时间t t为自为自变量的函数往往在变量的函数往往在t0t0时收敛时收敛, 且有且有,1|100sestdestst 7).0)(re(1)( sstul所以所以例例2 2 求指数函数求指数函数).()(rketftk 的的拉拉氏氏变变换换.)(0)(0 tdetdeesftsktstk解:解:根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有这个积分在这个积分在re(s)k时收敛时收敛, 且有且有,1|10)(0ksesktdeetskt stk ).)(re(1ksksetk l

3、所以所以 k为为复数复数时上式也成立时上式也成立, , 只是只是收敛区间收敛区间为为re(s)re(k).83 3、拉氏变换存在定理、拉氏变换存在定理f( (t t) )满足什么条件时它的拉氏变换存在满足什么条件时它的拉氏变换存在? ? 有下面有下面的定理:的定理:拉氏变换的存在定理拉氏变换的存在定理 若函数若函数f( (t t) )满足满足: :(1 1) 在在t t 0 0的任一有限区间上分段连续;的任一有限区间上分段连续;(2 2) 当当t t时时, , f( (t t) )的增长速度不超过某一指的增长速度不超过某一指数函数数函数, , 即存在常数即存在常数m 00及及c c 0, 0,

4、 使得使得| |f(t t)|)| m ect, 0, 0 t t c上一定存在上一定存在, 并且在并且在re(s)c的的半平面内半平面内, f(s)为为解析函数解析函数.9注注 定理的条件是定理的条件是充分充分的的. .例例3 3 求求 f(t)=sin kt (k为实数为实数) 的拉氏变换的拉氏变换. 00)(21sinsintdeeeitdktektstiktiktstl解:解:根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有,1121122220)(0)(0)(0)(kskiksiksieikseiksitdetdeitikstikstikstiks 10: 0dtettlstmm 01s

5、tmdets.sin22kskkt l所以所以.cos22ksskt l同理可得同理可得例例4 4 求幂函数求幂函数 f(t)=tm (m为正整数为正整数)的拉氏变换的拉氏变换. .tdetmsetsstmstm 0101|1. )0)(re(101 stlsmtdetsmmstm.11s l注意到注意到.!1 mmsmtl所以所以11例例5 5 求周期性三角波求周期性三角波 btbtbbtttf2,2,0,)( 且且 f(t+2b)= f(t)的拉氏变换的拉氏变换.bob2b3b4btf(t)12.)()()(0)1(220 kbkkbststtdetftdetfsf解:解:根据定义,得根据

6、定义,得.)()2()(,220220)2()1(22 bskbsbkbsbkkbstdefedekbftdetfkbt则则令令 bbt sbt sbbt sbt sbt sedtbsedtstdetbtdtetdetf202020)2(11)2()(而而1322)1(1bses ,11,0)re(.)()(2020202bskkbskbstkbseestdetfesf 时时当当注意到注意到.111)1(111)(11)(2222202bsbsbsbsbstbseesesetdetfesf 则则14若若 f( (t t) )是周期为是周期为t t的函数,则的函数,则必须指出必须指出,当,当 f

7、( (t t) )在在t t= =0 0有界时,积分有界时,积分.)(11)(0 tststtdetfesf.)()()()(000 tdetftdetftdetftfstststl这是因为这是因为.0)(00 tdetfts但是,但是,当当 f(t)在在t=0处包含脉冲函数时处包含脉冲函数时,则,则.0)(00 tdetft s15 为了考虑这一情况为了考虑这一情况, , 需将进行拉氏变换的函数需将进行拉氏变换的函数f( (t t) )在在t t 0 0时有定义扩大为当时有定义扩大为当t t 00及及t t=0=0的任意一个邻域的任意一个邻域内有定义内有定义. . 这样这样, , 原来的拉氏

8、变换的定义原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见但为了书写方便起见, , 仍写成仍写成(1)(1)式的形式式的形式. .)()()1()()(00 tdetftftdetftfststll应应为为例如:例如:. 1)()()(000 tstststetdettdettl16实际应用中,有拉氏变换表可以查用实际应用中,有拉氏变换表可以查用.本讲小结本讲小结1、理解拉氏变换的定义;、理解拉氏变换的定义;2、掌握拉氏变换存在定理、掌握拉氏变换存在定理.17 说明:凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏说明:凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理的条件,并且把这些函数的增长指变换存在定理的条件,并且把

9、这些函数的增长指数都统一地取为数都统一地取为c.证明:根据定义和积分的性质即可证明证明:根据定义和积分的性质即可证明. .1、线性性质、线性性质为为常常数数,则则若若,).()()()(2121tftftftflll 拉氏逆变换也有类似的性质,请自己写出来拉氏逆变换也有类似的性质,请自己写出来. .182、微分性质、微分性质则则若若),()(sftf l).0()()( fssftf l证明证明:根据定义,有:根据定义,有)()( )( 00tfdetdetftft st s l.)re(),0()()(|)(00csfssftdetfsetft st s 推论推论则则若若),()(sftf

10、l).0()0( )0()()()1(21)( nnnnnffsfssfstfl19 此性质可以将此性质可以将f( (t) )的微分方程转化为的微分方程转化为f( (s) )的代的代数方程数方程. .因此,它对微分方程求解有着重要的作用因此,它对微分方程求解有着重要的作用. .特别地,若特别地,若则则, 0)0()0( )0()1( nfff).()()(sfstfnn l例例1 1 已知已知,sin22kskkt l求求.cos ktl解:解:因为因为,cos)(sinktkkt 则则0sinsin1)(sin1cos ktskktkktlll.kss0re(s)22 ,20例例2 2 利用

11、微分性质求利用微分性质求mttf )(的拉氏变换,其中的拉氏变换,其中m为正整数为正整数. .解:解:因为因为,!)()(mtfm 所以所以),()0()0( )0()()()1(21)(sfsffsfssfstfmmmmmm l于是于是,1!1! !)(smmmtfsm lll.!1 mmsmtl21 以上是象原函数的微分公式以上是象原函数的微分公式. . 此外,根据拉氏此外,根据拉氏变换的存在定理,还可以得到变换的存在定理,还可以得到象函数的微分性质象函数的微分性质:则则若若),()(sftf l.)re(),()( cstftsf l一般地,有一般地,有.)re(),()1()()()(

12、)(cstfttftsfnnnn ll例例3 3 求求ktttfsin)( 的拉氏变换的拉氏变换.解:解:因为因为所以所以,sin22kskkt l.)(2sin22222kskskskdsdktt l223 3、积分性质、积分性质则则若若),()(sftf l).(1)(0sfstdtft l证明证明:设:设,)()(0 ttdtfth则则.0)0(),()( htfth于是于是),()0()()( thshthsthlll 即即).(1)(1)(0sfstfstdtft ll23重复应用上式,可以得到重复应用上式,可以得到).(1)(000sfstdtftdtdnttt l另外,关于像函数

13、的积分,有如下公式:另外,关于像函数的积分,有如下公式:则则若若),()(sftf l(*).)()( sdssfttfl特别地,在特别地,在* *式中令式中令s=0s=0,则,则.)()(00 dssftdttf24例例4 4 求求tttfsin)( 的拉氏变换的拉氏变换.解:解:因为因为所以所以,11sin2 stl.arctan2|arctan11sin2ssdssttss l于是于是.2|arctan11sin0020 dsstdtt思考题:思考题:?sin0 tdettt254 4、位移性质、位移性质则则若若),()(sftf l.)re(),()(000cssssftfelts 或

14、者或者).()()(00101tfesflessfltsts 证明:证明:根据定义,得根据定义,得.)re(),()()()(000)(0000cssssftdetftdetfetfetsssttsts l.00sets作作位位移移拉拉氏氏变变换换等等于于其其像像函函数数的的原原函函数数乘乘以以这这个个性性质质表表明明了了一一个个像像26例例5 5 求求ktetfatsin)( 的拉氏变换的拉氏变换.解解:因为因为所以所以,sin22kskkt l.)(sin22kaskkteat l例例6 6 求求)()(为为正正整整数数mtetfmat 的拉氏变换的拉氏变换.解解:因为因为,!1 mmsmtl所以所以.)(!1 mmatasmtel27).()(sfetfls 5 5、延迟性质、延迟性质证明证明:根据定义,得:根据定义,得 0)()(tdetftflst,有有任任一一非非负负实实数数则则对对于于时时又又若若, 0)(0),()( tftsftfl或者或者).()(1 tfsfels28(*).)()()(0 t detft detftflstst由于由于, 0)( tft时时,ut 所以所以* * *式中第一个积分为零;对于第二个积分,式中第一个积分为零;对于第二个积分,令令则则.)re(),()()()

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