第十一章总结

1、1例例 题题习习 题题 课课教学要求教学要求第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分场论初步场论初步2一、教学要求一、教学要求曲线积分的性质及两类曲线积分的关系曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2. 会计算两类曲线积分会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件.1. 理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念,了解两类了解两类3. 掌握格林掌握格林(green)公式公式, 会使用平面会使用平面第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课3gauss) 、4. 了解两类曲面积分的概念及高斯了解两类曲面积分的概念及高斯并会并会计算两类曲面

2、积分计算两类曲面积分.斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式,5.了解散度、旋度的概念及其计算了解散度、旋度的概念及其计算6. 会用曲线积分、会用曲线积分、方法方法.曲面积分求一些曲面积分求一些几何量与物理量几何量与物理量.第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课4（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 主要内容主要内容第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课5曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧

3、长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算联系联系定义定义计算计算联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课6 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdypdxll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),()( dtqpqdypdxl),(),(与方向有关)第十章

4、第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课7与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课8 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对

5、坐标的曲面积分定定义义 niiiiis,fdsz , y, xf10)(lim)( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 联联系系 rdxdyqdzdxpdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定号 (与侧有关) dsrqp)coscoscos( dsz , y, xf)( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课9定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算green公式公式s

6、tokes公式公式guass公式公式（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课10点函数)()()(10mf,mflimdmfniii .)()(,1 badxxfdmfbar 时时上区间上区间当当.),()(,2 ddyxfdmfdr 时时上区域上区域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课11 dvzyxfdmfr),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdmfr 时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 sd

7、szyxfdmfsr 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 ldsyxfdmflr 时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课12计算上的联系计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyd)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),

8、(投影投影线元素线元素第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课13 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyddxdyyxzyxfdxdyzyxr),(,),(dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( dsqpqdypdxll)coscos( )(曲面元素ds)(投影面元素dxdy第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课14理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲

9、线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课153.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课16 dldxdy)narot(sda dldxdyadivdsna)( gr

10、een green公式公式, ,guassguass公式公式, ,stokesstokes公式之间的关系公式之间的关系 dsnarotsda)( rqpzyxdxdydzdxdydzrdzqdypdx dvadivdsna)(dvzryqxprdxdyqdzdxpdydz)( dldxdyypxqqdypdx)( dldxdyyqxppdyqdx)(或推广推广为平面向量场为平面向量场)(ma为空间向量场为空间向量场)(ma第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课17梯度梯度kzujyuixuu grad通量通量旋度旋度环流量环流量zryqxpa div yxrxzqzy

11、pddddddkypxqjxrzpizqyra)()()(rot 散度散度二、场论初步二、场论初步 zryqxpsdaddd第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课18例例 1 1 计算计算 ldyyxdxxyxi)()2(422, ,其中其中l为由点为由点)0 , 0(o到点到点)1 , 1(a的曲线的曲线xy2sin . .思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi非闭非闭 ddxdyypxqi)(补充曲线或用公式补充曲线或用公式闭合闭合非闭非闭闭合闭合第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积

12、分 习题课习题课19解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课20解解myemyyeyypxx cos)sin(yemyexxqxxcos)cos( xqyp 即即第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课21xyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am 0)(00 medxxaao, 0 082 am.82am amoaaoaoaol

13、i amoaaoi第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课22曲面面积的计算法曲面面积的计算法sdxy),(yxfz xyoz dss xydyxdxdyzz221dsyxfsbal ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz slabab第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课23曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 ldyxdsyxfdffs),()11(22 xzyo),(yxfz ld第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课24例例3 3 求柱面求柱面13232 yx在球面在球面1222 zyx 内

14、的侧面积内的侧面积. . 解解由对称性由对称性 lldsyxzdss22188, 1:3232 yxl)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课25,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttscossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课26对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法1. 利用高斯公式利用高斯公式vzryqxpd)(

15、 yxrxzqzypdddddd取取其中其中 外侧外侧. .)1( 闭曲面闭曲面具有具有在在若若rqp,中中所围成的空间域所围成的空间域 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课)2(,比较复杂比较复杂非闭而非闭而若若rqp 在在rqp,后后加面加面 )(为闭为闭 中中所构成的空间域所构成的空间域 具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , i 272. 通过投影化为二重积分通过投影化为二重积分yxzyxrxzzyxqzyzyxpidd),(dd),(dd),( yzdzyzyzyxpdd),),( zxdxzzxzyxqdd),(,(

16、 xydyxyxzyxrdd),(,(注意注意 的确定的确定!第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课3. 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系28在第一卦限部分的上侧为平面为连续函数其中例1)()()(2)(4 zyx,z , y,xf,dxdyzz , y,xfdzdxyz , y,xfdydzxz , y,xfixyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的法向量为的法向量为.,31cos31cos31cos dszyxi)(31 xyddxdy3131.21 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积

17、分与曲面积分 习题课习题课29所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzi例例解解,yxyf,yxxfyx2222 d 21220 dd.215 dxdyz2 xyddxdyyx)(22 dxdy,yxy,yxxz ,x, yi 12222241:22 yxdxy第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课30, 确确定定常常数数,),(的的梯梯度度为为某某二二元元函函数数yxu例例6上上的的向向量量使使在在右右半半平平面面0 x).,(yxu并并求求分析分析jyxxiyxxyyxa )()

18、(2),(24224 如果存在二元函数如果存在二元函数),(yxu ),(gradyxujyxqiyxp),(),( ,ypxq 用线积分或不定积分求用线积分或不定积分求).,(yxu第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课,yxxyy,xp )(2)(24 解： )(),(242yxxyxq ypxq1 31xyo,224yxxyp 242yxxq ),(yxuyyxxxyxxyyxdd2242),()0, 1(24 xyxxxd02124 yxyxy0222d112arctanxy ),(yx (1,0) (x,0)yyxxyd0242 法一法一在右半平面内任取一点

19、在右半平面内任取一点作为积分路径的起点作为积分路径的起点,)0 , 1(用曲线积分用曲线积分,arctan2cxy )(y,xuc为任意常数为任意常数.第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课32法二法二 用不定积分用不定积分dyyxxdxyxxydu242242 ),(yxu )(dxfyyu)(d242xfyyxx )(d11222xfxyxy )(arctan2xfxy )(y,xpxu )(arctan2xfxyx242yxxy 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课,xf0)( ,cxf )(.cxyarctany,xu 2)(33,

20、122222的上半部分的上半部分为椭球面为椭球面设设 zyxs,),(处的切平面处的切平面在点在点为为点点psszyxp ,)0 , 0 , 0(的距离的距离到平面到平面为点为点o解解,),(上上任任意意一一点点为为设设 zyx的方程：切平面 122 zzyyxx例例7),(zyx .d),(szyxzs 求求222441)(zyxz ,y,x 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课原点到平面原点到平面 的距离公式的距离公式: 34,zyxs122:222 yxyzxzsdd1d22 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课szyxzsd),(

21、 xydyxyxd)d(44122. 23 122:22 yxdxy222441)(zyxz ,y,x 20202d)4(d41,zyyz,zxxz22 35一、一、 选择题选择题: :1 1、 设设l为为230,0 yxx, ,则则 lds4的值为的值为( ).( ). (a) (a)04x， (b) (b),6 (c) (c)06x. .2 2、 设设l为直线为直线0yy 上从点上从点),0(0ya到点到点),3(0yb的的有向直线段有向直线段, ,则则 ldy2=( ).=( ). (a (a)6; (b) )6; (b) 06y; (c)0.; (c)0.3 3、 若若l是上半椭圆是上半椭圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向, ,则则 lxdyydx的值为的值为( ).( ). (a (a) )0 0; (b); (b)ab2 ; (c); (c)ab . .测验题测验题3637388 8、曲面积分、曲面积分 dxdyz2在数值上等于在数值上等于( ).( ).(a)(a) 向量向量iz2穿过曲面穿过曲面 的流量；的流量；(b)(b) 面密度为面密度为2z的曲面的曲面 的质量；的质量；(c)(c) 向量向量kz2穿过曲面穿过曲面 的流量的流量 . .391010、若、若 是空间区域是空