高一数学必修一函数及其表示-函数的概念_4383

1、1.2 函数及其表示§ 函数的概念【教学目的】1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、复习引入提问 初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？回答 设在一个变化过程中有两个变量x 和 y ，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数，

2、并将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量 x 的值对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。讲述 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。提问 问题 1： y =1（ x R ）是函数吗？问题 2： y = x 与 y = x 2 是同一函数吗？x投影 观察对应：分析 观察分析集合A 与 B 之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课函数的概念（一）函数与映射投影函数： 设 A ， B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f ( x

3、) 和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A 。其中 x 叫自变量， x 的取值范围A 叫做函数 y = f ( x) 的定义域；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 f ( x) | x A ，叫做函数 y = f ( x) 的值域。函数符号 y = f ( x) 表示“ y 是 x 的函数”，有时简记作函数f (x) 。函数的三要素： 对应法则 f 、定义域 A 、值域 f (x) | x A注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射： 设 A, B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关

4、系f使对于集合 A 中的任意一个元素x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 , 那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.如果集合A 中的元素 x 对应集合 B 中元素 y ,那么集合A 中的元素 x 叫集合 B 中元素 y 的原象 ,集合 B 中元素 y 叫合 A 中的元素 x 的象 .映射概念的理解(1)映射 f : AB 包含三个要素 :原像集合 A,像集合 B( 或 B 的子集 )以及从集合A 到集合 B 的对应法则 f .两个集合A,B 可以是数集 ,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述 ,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具

5、有 :(1)方向性 :映射是有次序的 ,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的 ;(2)任意性 :集合 A 中的任意一个元素都有像 ,但不要求 B 中的每一个元素都有原像;(3)唯一性 :集合 A 中元素的像是唯一的 ,即不允许 “一对多 ”,但可以 “多对一 ”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射 f : A B函数 y f ( x), x A, yB集合 A,B 可为任何集合 ,其元素可以是物 ,函数的定义域和值域均为非空的数集人 ,数等对于集合 A 中任一元素 a ,在集合 B 中都对函数的定义域中每一个x ,值域中都有有

6、唯一确定的像唯一确定的值与之对应对集合 B 中任一元素 b ,在集合 A 中不一对值域中每一个函数值 ,在定义域中都有定有原像确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.注意（ 1）函数实际上就是集合A 到集合 B 的一个特殊对应f ： A B 。这里 A ，B 为非空的数集。（2）A ：定义域，原象的集合； f ( x) | x A ：值域，象的集合，其中 f ( x) | x AB； f ：对应法则，x A ， y B（3）函数符号 ： y = f ( x) ， y 是 x 的函数，简记f (x)回顾（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数f (x) = ax b ( a

7、 0)：定义域 R ，值域 R2、反比例函数f ( x) = k ( k 0)：定义域 x | x 0 ，值域 y | y 0x2c ( a 0)：定义域 R ，值域：当 a0 时， y | y 4 acb 23、二次函数 f (x) = ax bx 4 a；b 2当 a 0 时， y | y 4 ac。4 a（三）函数的值：关于函数值f (a)例析：若 f (x) = x 2 3 x 1，求 f (2) 。解： f ( 2) =22 3× 2 1=11注意（ 1）在 y = f (x) 中 f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样；（ 2） f ( x) 不一定是解析式，有时可能是

8、“列表”、“图象”；（ 3） f ( x) 与 f ( a) 是不同的，前者为变数，后者为常数，f (a) 是 f ( x) 的一个特殊值。（四）区间的概念投影 设 a 、 b 是两个实数，而且a b ，我们规定：（ 1）满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 a , b ；（ 2）满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（a , b ）；（ 3）满足不等式a x b 或者 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，表示为a,b) 、(a,b ；（ 4）实数集 R 可以用区间表示为（,）；满足不等式x a ， x a ， x b ， x b 的实

9、数 x 的集合可以分别表示为 a , ) ，（ a ,），（ , b ，（ , b ）。注意 注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如a x a 。三、实例提升y例析 例 、设集合 ，N= ，从M到N有4种对应如下图所示：1M= x |0 x2y |02其中能表示为M 到N的函数关系的有 。解析根据对应的含义和函数的概念，可以看出能表示M 到 N 的函数关系。例析 例 2、求下列函数的定义域： f ( x)1 f ( x) = 3x 2 ； f (x) = x11；x22 x解析函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给

10、出解析式y = f (x) ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合。解： x 2=0 ，即 x=2 时，分式1无意义，1x2而 x 2 时，分式有意义x2这个函数的定义域是 3 x 2<0，即 x 而 3 x 2 0，即 x 这个函数的定义域是 x | x 2 。2时，根式3x2 无意义32时，根式3x2 才有意义3 x | x 2 。3当 x 1 0 且 2 x 0，即 x 1 且 x 2 时，根式x 1 和分式1同时有意义2x这个函数的定义域是 x | x 1 且 x 2另解：要使函数有意义，必须：x 1 0 且 2 x 0x 1 且 x 2

11、这个函数的定义域是： x| x 1 且 x 2强调 解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知， 求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件， 布列自变量应满足的不等式或不等式组， 解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型：（ 1）当 f ( x) 为整式时，定义域为 R ；（ 2）当 f ( x) 为分式时，定义域为使分母不为0 的 x 的集合；（ 3）当 f ( x) 为 n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x 的集合；（ 4）当 f ( x) 是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 的取值的集合。例析 例 3、已知函数

12、f ( x) =3 x 2 5 x 2，求 f (3)， f ( 2)， f (a1) 。解析解：f (3)=3 × 32 5× 32=14 ；f (2) =3×(2 )2 5×( 2)2=852 ；f (a1) =3( a 1)2 5( a 1)+2=3a 2 a 。例析 例 4、下列函数中哪个与函数y = x 是同一个函数？（ 1） y (x) 2 ；（ 2） y3 x3 ；（ 3） yx2解析解：（ 1） y = x ， x 0， y 0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（ 2） y = x ， x R ， y R ，定义域值域都相同，是同一

13、个函数；（ 3） y =| x |=x( x0)， y 0；值域不同，不是同一个函数。x( x0)例析 例 5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（ 1） y1(x3)( x5)y2x 5（定义域不同）x3（ 2） y1x1x1y2( x 1)( x 1)（定义域不同）（ 3） f1 ( x)(2x5)2f 2 ( x)2x 5（定义域、值域都不同）注意 两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练反馈1、函数 f ( x)3x21) 的定义域是（）1lg(3xxA( 1,)B (1 ,1)C (1 ,1)D( , 1)333332、下列各组，函数f ( x) 与 g(x) 表示

14、同一个函数的是（）A f ( x) =1， g( x) = x 0B f ( x) = x 0 ， g( x) = x 2xC f ( x) = x 2， g (x) = ( x) 4D f (x) = x 3， g (x) = (3x) 93、已知函数f ( x) =2 x 3，求：（1） f (0) ， f (2)， f (5) ；（ 2） f f ( x) ；（ 3）若 x 0 ， 1，2， 3 ，求函数的值域。4、若 A 1,2,3,4， B a, b, c ， a, b, cR，则 A到 B的映射有个， B到 A的映射有个，A到 B的函数有个演练反馈答案：1、 B2、 D3、（ 1）

15、f (0) =3，f (2)=1，f (5) =7； （ 2）f f ( x) =4 x 9；（ 3）值域为 3， 1， 1，34、 81,64,81五、课堂小结本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f：A B，其中集合A ，B 必须是非空的数集；y f ( x) 表示 y 是 x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；f (a) 表示 f ( x) 在 x = a 时的函数值，是常量；而【教后札记】f ( x) 是x 的函数，通常是变量。本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的

16、概念，主要包括函数的概念、三要素的理解，难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重新定义函数时，学生并不陌生，重要的是让学生认识到它的优越性，从根本上揭示了函数的本质由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，通过例题解析让学生充分理解函数的概念。板书 函数的概念（一）函数与映射函数的三要素：对应法则f 、定义域 A 、值域 f ( x) | x A注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数f (x) = ax b ( a 0)：定义域 R ，值域 R2、反比例函数f ( x) =k ( k 0)：定义域 x | x 0 ，值域 y | y 0xb 23、二次函数2c ( a 0)：定义域 R ，值域：当a0 时， y | y 4 acf (x) = ax bx 4 a；b 2当 a 0 时， y | y 4 ac。4 a板书（三）函数的值：关于函数值 f (a)例析：若f (x) = x 2 3 x 1，求 f (2) 。解： f ( 2)=22