人教版高中数学选修11：2.2 双 曲 线 课堂10分钟达标 2.2.2.2 Word版含解析

1、起课堂10分钟达标1.若直线x=a与双曲线x24-y2=1有两个交点,则a的值可以是()a.4b.2c.1d.-2【解析】选a.因为双曲线x24-y2=1中,x2或x-2,所以若x=a与双曲线有两个交点,则a>2或a<-2,故只有a选项符合题意.2.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()a.y=±2xb.y=±22xc.y=±2xd.y=±12x【解析】选b.由题意知:2b=2,2c=23,则可求得a=2,则双曲线方程为x22-y2=1,故其渐近线方程为y=±

2、22x.3.已知双曲线x2a2-y2b2=1和椭圆x2m2+y2b2=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形一定是()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.等腰三角形【解析】选b.由题意知a2+b2a2·m2-b2m2=1,化简得a2+b2=m2,所以以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.4.双曲线x216-y29=1上一点p到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则p点到左焦点的距离为_.【解析】由a=4,b=3,得c=5,设左焦点为f1,右焦点为f2,则|pf2|=12(a+c+c-a)=c=5,由双曲线的定

3、义得|pf1|=2a+|pf2|=8+5=13.答案:135.已知双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为2,且双曲线两支上的点的最近距离为4,则双曲线的标准方程为_.【解析】因为双曲线的实轴在y轴上,所以焦点在y轴上.因为双曲线两支上的点的最近距离为4,即两顶点之间的距离为4,所以a=2.又因为离心率为2,所以c=4,所以b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为y24-x212=1.答案:y24-x212=16.求经过点12,2且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.【解析】当直线斜率存在时,设所求直线方程为y-2=kx-12,代入双曲线方程4x2-y2=1,得(4-

4、k2)x2-2k2-12kx-14k2-2k+5=0.(1)当k=2时,直线方程为y=2x+1,与双曲线只有一个公共点.(2)当k=-2时,直线方程为y=-2x+3,与双曲线只有一个公共点.(3)当直线和双曲线相切时,仅有一个公共点,此时由4-k20,=0得k=52,可得直线方程为y=52x+34.当k不存在时,直线x=12也满足题意.故经过点12,2且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线有四条,它们的方程分别为y=2x+1,y=-2x+3,y=52x+34,x=12.7.【能力挑战题】设双曲线x2-y22=1上有两点a,b,ab中点m(1,2),求直线ab的方程.【解析】方法一(用根

5、与系数的关系解决)显然直线ab的斜率存在.设直线ab的方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,由y=kx+2-k,x2-y22=1,得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0,当>0时,设a(x1,y1),b(x2,y2),则1=x1+x22=k(2-k)2-k2,所以k=1,满足>0,所以直线ab的方程为y=x+1.方法二(用点差法解决)设a(x1,y1),b(x2,y2),则x12-y122=1,x22-y222=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=12(y1-y2)(y1+y2).因为x1x2,所以y1-y2x1-x2=2(x1+x2)y1+y2,所以kab=2×1&#