第四章第三四讲

1、上一页上一页下一页下一页返回返回 一、第二换元法二、分部积分法上一页上一页下一页下一页返回返回例例1 1 求求2sectan.xxdx :tantanxdx 解解 原原式式21(tan )2xc 3sectan.xxdx 求求2:secsecxdx 解解 原原式式例例2 2 31sec3xc 上一页上一页下一页下一页返回返回例例3 3 求求.csc xdx解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121cuu 11ln21.cos1cos1ln21cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec

2、cxxxdx上一页上一页下一页下一页返回返回例例4 4 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1cexx 上一页上一页下一页下一页返回返回例例5 5 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlncx 上一页上一页下一页下一页返回返回例例6 6 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .12121

3、3212133cxx 上一页上一页下一页下一页返回返回例例7 7 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx 上一页上一页下一页下一页返回返回解解例例8 8 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212cuu .21)(2cxxxf 上一页上一页下一页下一页返回返回问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.

4、过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）第二类换元法上一页上一页下一页下一页返回返回其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxf 则则dxdtdtdxf )()()(ttf ,)(1t )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 2 )()()()(xtdtttfdxxf

5、)(tf ).(xf 说明说明)(xf为为)(xf的原函数的原函数,上一页上一页下一页下一页返回返回tdtadxtaxcossin ，则，则解：令解：令tdta22cos 原式原式ctta 2sin2122cttata cossin2222caxaaxaaxa 22222arcsin2 dtta 2cos122txa22xa dxxa 221：求：求例例caxaxaxdxxa arcsin2222222即即上一页上一页下一页下一页返回返回例例2 2 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt )tan

6、ln(sectax22ax .ln22caaxax 2,2t上一页上一页下一页下一页返回返回例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecctt )tanln(sectax22ax .ln22caaxax 上一页上一页下一页下一页返回返回说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa

7、 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 上一页上一页下一页下一页返回返回 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例4 4 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224cttt 353251.1)348(151242cxxx 解解上一页上一页下一页下一页返回返回例例5 5 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 t

8、ex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111ctt 11ln .11ln2cxex ,1ln2 tx上一页上一页下一页下一页返回返回说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417cxx 解解上一页上一页下一页下一页返回返回例例6 6 求求dxxx )2(17dxxx )2xxx .|ln21|2|ln1417cxx

9、解解法法2：677(2)xdxxx 上一页上一页下一页下一页返回返回例例7 7 求求解解.1122dxxx dxxx 1122令令tx1 ,12dttdx dxttt 22211111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 21)1(112122tdt ct 21cxx 21上一页上一页下一页下一页返回返回说明说明(4)(4) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例8 8 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(1

10、3 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116ctt arctan 6.arctan 666cxx 上一页上一页下一页下一页返回返回 tdt2t5t22原式原式tdt2dx5txt5x2 ，则，则，即，即解：令解：令 dxxx5.2求求练习练习 dt25t10t224ct25t310t51235 c255x3105x515x22 上一页上一页下一页下一页返回返回基基本本积积分分表表;coslntan)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx

11、;arctan11)20(22caxadxxa 上一页上一页下一页下一页返回返回;ln211)22(22cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22caxdxxa .)ln(1)24(2222caxxdxax ;ln211)21(22caxaxadxax 上一页上一页下一页下一页返回返回问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式2.分部积分法上一页上一页下一页下一页返回返

12、回例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossincxxx 上一页上一页下一页下一页返回返回例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结

13、总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u上一页上一页下一页下一页返回返回例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22cxxxx 上一页上一页下一页下一页返回返回例例4

14、4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u上一页上一页下一页下一页返回返回例例5 5 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexx

15、exxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2cxxex 注意循环形式注意循环形式上一页上一页下一页下一页返回返回例例6 6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2cxxx 上一页上一页下一页下一页返回返回例例7 7 求不定积分求不定积分.sec3 xdx解解 xdx3sec xxd tansec xdxxxxsectantansec2 xdxxxxsec)1(sectansec2 xdxxxxx3sec|tansec|lntanseccxxxxxdx |)tansec|lntan(sec21sec3注意循环形式注意循环形式上一页上一页下一页下一页返回返回例例8 8 求积分求积分 .dxex解解 dxex tdtetxt22 ttde2tdetett 22cetett 22cxex )1(2上一页上一页下一页下一页返回返回解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, 得