第十二章习题课

1、2基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容3

2、1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 4通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通

3、解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题5dxxfdyyg)()( 形如形如(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换6)(111cybxacbyaxfdxdy

4、形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc，令令kyyhxx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程7)()(xqyxpdxdy 形如形如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xq当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xq当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法8非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxpdxxpecdxexqy)()()(（常

5、数变易法）（常数变易法）(5) 伯努利伯努利(bernoulli)方程方程nyxqyxpdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时时，当当1 , 0 n9解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxqezydxxpndxxpnn0),(),( dyyxqdxyxp其中其中dyyxqdxyxpyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程10 xqyp 全微分方程全微分方程注意：

6、注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. yyxxdyyxqxdyxpyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxpdyyxqxxyy .),(cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为11(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程).(xqyp 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxqdxyxp形如形如 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxqyxdxyxpyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.8观察法观察法:

7、:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子12常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 133 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xpy 令令特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型)()

8、1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xpxfp ,py 14,py 令令特点特点.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(pyfdydpp ,dydppy 、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxqyxpy形如形如15定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211ycycy 也也是是( (1 1) )的的解

9、解. .（21,cc是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211ycycy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxqyxpy 形如形如16定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yyy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通

10、解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .17、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfypypypynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶

11、常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.1802 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 特征方程为特征方程为1901)1(1)( ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是

12、是rxkkexcxcc)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n20、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xpexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k21型型sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxrxxr

13、exymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk22二、典型例题二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy 23,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离变量分离变量两边积分两边积

14、分,lnln)cosln(2cxuu ,cos2xcuu 即即,cos2xcxyxy 带入带入所求通解为所求通解为.coscxyxy 24.32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy .3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即对应齐方通解为对应齐方通解为,32cxz 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程25,)(32xxcz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxc ,73)(37cxxc 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xcxy 利用常数变

15、易法利用常数变易法26.cos32的通解的通解求求yyxydxdy 例例解解 将原方程写成将原方程写成 yyxydydxcos1 cdyeyyexdyydyy11)cos(,1)cos( cdyyyyyx).sin(ycyx 27. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解例例4 4解解)2(3yxyyp ,64yx )3(422yxyxxq ,64yx )0( y,xqyp 方程为全微分方程方程为全微分方程.28(1) 利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通

16、解为故方程的通解为.132cyyx 29(2) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:,32422),() 1 , 0(3cdyyxydxyxyx ,312142203cdyyxydxxyx 即即.113212cyxyxyy 故方程的通解为故方程的通解为.132cyyx 30. 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例5 5解解, 22 yyp, 22 xxq,xqyp 非全微分方程非全微分方程, 利用积分因子法利用积分因子法.原方程重新组合为原方程重新组合为),(2)(22xdyydxdydxyx 31222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11ln

17、cxyxyyx 故方程的通解为故方程的通解为.yxyxceyx 32.212yyy 求通解求通解例例6 6解解.x方程不显含方程不显含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,212ypdydpp ,112ycp 解得，解得，, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211cxycc 33例例7 已知方程已知方程 有三个有三个解解 ，求此方程满足初始求此方程满足初始条件条件 的特解。的特解。 )()()(xfyxqyxpy xxeyeyxy2321,3010)(,)(yy解解 由线性微分方程解的结构理论知，由线性微分方程解的结构理论知， 及及 是对应齐

18、次方程是对应齐次方程 12yy 13yy 0)()( yxqyxpy的解且它们线性无关，的解且它们线性无关， 所以对应齐次方程的通解所以对应齐次方程的通解)()(xecxecyxx221故原方程的通解为故原方程的通解为 xxecxecyxx )()(2213010)(,)(yy由由2121cc,所求特解为所求特解为 .22xxeey 34. 1) 1 () 1 (,) 1(2 yyexyyyx求特解求特解例例8 8解解 特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexccy 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xe

19、baxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 35代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexccy , 1) 1 ( y由由, 1)31(21 ecc得得,6) 1()(3221xexxcccy 36, 1) 1 ( y又又, 1)652(21 ecc得得,31121 ecc,651221 ecc由由解得解得 ,121,61221ecec所以原方程满足初

20、始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 37).2cos(214xxyy 求解方程求解方程例例9 9解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xcxcy 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 38由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos

21、)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 ,2cos212sin42cos4xxcxd 39故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxcxcy 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 40例例10 设设),()(2 cxf, 且满足方程且满足方程 xtdtftxxxf0)()(sin)(求求. )(xf解解 xxtdtfttdtfxxxf00)()(sin)(上式两边对上式两边对 x 求导两次求导两次 xxfcos)( ).(si

22、n)(xfxxf xtdtf0)()(xfx )(xfx 因此问题化为解下列初值问题因此问题化为解下列初值问题,sin)()(xxfxf ,0) 0( f. 1) 0( f最后求得最后求得.cos2sin21)(xxxxf 4111例例 ldxxyydyxx)(232)(22 已知线积分已知线积分在全平面上与路径无关在全平面上与路径无关, ,其中其中)(x 具有连续的一阶导数，具有连续的一阶导数，当当l是起点在是起点在(0,0), ,终点为终点为(1,1)的有向曲线时的有向曲线时, ,该曲线该曲线积分值等于积分值等于41, ,试求函数试求函数).(x 解解 ,ypxq 由由 所以所以得得),(

23、3)(xyyxx ,)(3)(xxx ,)(,)(3333 cdxxeexcdxxeexxxdxdx 故故42,4121) 1 ()(232)(10) 1 , 1 () 0 , 0(22 ydydxxyydyxx 又又1) 1 ( .9133 ec).31(31913)(33 xexx 故故).31(31)(3 xcexx 43间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例1212oxm8m10,米米链条下滑了

24、链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm . 0) 0 (, 0) 0 (,99 xxgxgx即即44解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 tgtgeetx, 8, x即即整个链条滑过钉子整个链条滑过钉子代入上式得代入上式得).)(809ln(3秒秒 gt45yoy例例 13 从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, ,按探测要按探测要求求, ,需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系. . 设仪器在重力作用下

25、设仪器在重力作用下, ,从海平面由静止开始从海平面由静止开始下沉下沉, ,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, ,设仪器质设仪器质量为量为m,m,体积为体积为b , ,海水比重海水比重为为 ,仪器所受阻力与下沉仪器所受阻力与下沉速度成正速度成正比比, 比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与与 v 所所满足的微分方程满足的微分方程, ,并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图. .质量 m体积 b由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 b 22tdydm, vk 重力重力浮力浮力 阻力阻力mg

26、 dtdvdtyd 22dtdydydv dydvv vkbgmydvdvm 46.ln)(2 bgmvkbgmkbgmmvkmy vkbgmydvdvm 初始条件为初始条件为, 00 yv用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得yoy质量质量 m体积体积 b47一、一、 选择题选择题: :1 1、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy 的通的通解是解是( ).( ). (a) (a) )()()(cdxexqeydxxpdxxp； (b) (b) dxexqeydxxpdxxp)()()(； (c)(c) )()()(cdxexqeydxxpdxx

27、p； (d) (d) dxxpcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (a) (a)齐次方程；齐次方程； (b) (b)一阶线性方程；一阶线性方程； (c) (c)伯努利方程；伯努利方程； (d) (d)可分离变量方程可分离变量方程 . .测测 验验 题题483 3、2)1(,022 yxdxydy的特解是的特解是( ).( ). (a) (a)222 yx； (b) (b)933 yx； (c) (c)133 yx； (d) (d)13333 yx. .4 4、方程、方程xysin 的通解是的通解是( ).( ). (a) (a)322121coscxcxcx

28、y ； (b) (b)322121sincxcxcxy ； (c)(c)1coscxy ； (d) (d)xy2sin2 . .495 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ).(a)(a)1cossincxxy ；(b)(b)321cossincxcxcy ；(c)(c)1cossincxxy ；(d)(d)1sincxy . .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxqyxpy的两个特解的两个特解, ,则则 2211ycycy ( (其中其中21,cc为任意常数为任意常数)( )( )(a)(a)是该方程的通解；是该方程的通解； (b)

29、(b)是该方程的解；是该方程的解； (c) (c)是该方程的特解；是该方程的特解； (d) (d)不一定是该方程的解不一定是该方程的解. .507 7、求方程、求方程0)(2 yyy的通解时的通解时, ,可令可令( ).( ). (a) (a)pypy 则则,； (b) (b)dydppypy 则则,； (c)(c)dxdppypy 则则,； (d) (d)dydppypy 则则,. .8 8、已知方程、已知方程02 yyxyx的一个特解为的一个特解为xy , ,于于 是方程的通解为是方程的通解为( ).( ). (a) (a)221xcxcy ； (b) (b)xcxcy121 ； (c)

30、(c)xecxcy21 ； (d) (d)xecxcy 21. .519 9、 已知方程、 已知方程0)()( yxqyxpy的一个特的一个特1y解为解为, , 则另一个与它线性无关的特解为则另一个与它线性无关的特解为( ).( ). (a) (a) dxeyyydxxp)(21121； (b) (b) dxeyyydxxp)(21121； (c)(c) dxeyyydxxp)(1121； (d) (d) dxeyyydxxp)(1121. .521010、方程、方程xeyyyx2cos23 的一个特解形式是的一个特解形式是 ( ).( ). (a) (a) xeayx2cos1 ； (b) (b) xxebxxeayxx2sin2cos11