最大值和最小值

1、 数学数学043 043 杨进杨进创设情境铺垫导入 如图，有一长如图，有一长80cm宽宽60cm的矩形不锈钢薄板，用的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求, , 长长方体的高不小于方体的高不小于10cm且且不大于不大于20cm, ,设长方体的高为设长方体的高为xcm，体积为，体积为vcm3 3问问x为多大时，为多大时，v最大最大? ?并求这个最并求这个最大值大值教学过程创设情境铺垫导入解：由长方体的高为解：由长方体的高为xcm， 可知其底

2、面两边长分别是可知其底面两边长分别是（802x)cm，（602x)cm, (10 x20). v=(802x)(602x)x=4(40 x)(30 x) x教学过程所以体积所以体积v与高与高x有以下函数关系有以下函数关系( )f x 定理定理: :在在闭区间闭区间 a, ,b 上上连续连续的函数的函数 在在 a, ,b 上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值. .【设计意图】 肯定闭区间上的连续函数必有最大值和最小值后,自然地提出问题:最值存在于区间内何处?以问题制造悬念,引领学生来到新知识的生成场景中.教学过程探索新知【设计意图】 教学中引导学生观察不同区间上函数的图象,形成感性认识,进而

3、上升到理性的高度.教学过程设函数f (x)在a ,b上连续，在(a ,b)内可导，求f (x)在a ,b上的最大值与最小值的步骤如下：（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（1）求f (x)在(a ,b)内的极值；教学过程指导应用鼓励创新 用导数法求解函数的最大值与最小值更具一般性,是本节课学习的重点. 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的上的最大值与最小值最大值与最小值4225yxx2 , 2 解解：xxy443 当当x 变化时变化时， 的变化情况如下表的变化情况如下表：0 y令令，有，有0443 xx，解，解得得1 , 0 ,

4、 1 xyy , 13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+00+0 x yy从上表可知，最大值是从上表可知，最大值是1313，最小值是，最小值是4 4教学过程指导应用鼓励创新【设计意图】 通过优化导数法求函数最值的过程,培养学生的探究意识及创新精神. 思考思考: : 求连续函数f (x)在a ,b上最值的解题过程,有没有办法简化它的步骤?分析: (1)(a,b)内不是极值点必不是最值点.(2)a,b内若有极值点,必全含在方程 (x a ,b)的解中.( )0fx求连续函数f (x)在a ,b上的最值的步骤可以改为：（1）求f (x)在(a ,b)内导函数为零

5、的点，并计算出其函数值；（2）将f (x)的各导数值为零的点的函数值与f (a)、 f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值教学过程 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的上的最大值与最小值最大值与最小值4225yxx2 , 2 解解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解，解得得1 , 0 , 1 x(0)5,f(1)4,f所求最大值是13，最小值是4( 1)4,f (2)13.f(2)13,f又又教学过程2:( )1 3,( )033,().3332 3(),(0)0,(2)6,392 36,.9fxxfxxxfff 解令得舍去所求最小值为最大值为2( )3

6、211( )0, 1.315( ), ( 1) 1,327( 2)2, (1) 1,2f xxxf xxffff解：令，得所求最小值为，最大值为1. 练习练习: :求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值. . 3321( ),0,2.(2) ( ), 2,1.f xxxxf xxxx x 教学过程 例例2 2 如图，有一长如图，有一长8080cm宽宽6060cm的矩形不锈钢薄板，的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求个顶点处各挖去一个全等

7、的小正方形，按加工要求, , 长方体的高不小于长方体的高不小于1010cm且且不大于不大于2020cm, ,设长方体的高设长方体的高为为x cm，体积为，体积为vcm3 3问问x为多大时，为多大时，v最大最大? ?并求这并求这个最大值个最大值解：由长方体的高为解：由长方体的高为x cm， 可知其底面两边长分别是可知其底面两边长分别是（802x） cm，（602x)cm, (10 x20). 所以体积所以体积v与高与高x有以下函数关系有以下函数关系v=(802x)(602x) x=4(40 x)(30 x) x.教学过程【设计意图】 与引例前后呼应,继续巩固新知,同时让学生体会到现实生活中蕴含着

8、大量的数学信息,培养他们用数学的意识. 可知其底面两边长分别是可知其底面两边长分别是（802x)cm，(602x)cm, 所以体积所以体积v与高与高x有以下函数关系有以下函数关系解：由长方体的高为解：由长方体的高为x cm， v=f (x)=(802x)(602x)x=4x3280 x24800 x= (10(10 x20).20).教学过程归纳小结反思建构课堂小结：课堂小结：【设计意图】 总结知识和方法，课堂评价并提出希望. 因材施教，及时反馈.教学过程1 1这节课你学到了什么？这节课你学到了什么？ 2 2你还有什么疑问吗？你还有什么疑问吗？ 作业作业必做题：必做题：p134 1.p134 1.（1 1）（）（2 2）（）（3 3）选做题：选做题：已知抛物线已知抛物线 y =y =4 4 x2 x2 的顶点为的顶点为o o，点，点a a