s08456 矩形截面

1、第八章 受压构件8.4 design equations for rectangular sectiondesign and checking of rectangular section with non-symmetrically placed bars1、large eccentricity compression failure ( tension failure)2、small eccentricity compression failure (compressive failure)design and checking of rectangular section with sy

2、mmetrically placed bars8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算第八章 受压构件一、一、design of rectangular section with non-symmetrically placed bars1、large eccentricity compressiongiven：sizes (bh)、the strength of the material ( fc、fy，fy )、slenderness of the member(l0/h)and the design value of axial load and moment, if h heieib.

3、min=0.32h0，we can calculate as large eccentricity compression first, fyas fyasnehei sysycuafafbxfnnaheei5 . 0h)()2(00ahafxhbxfensyc8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算第八章 受压构件8.4 8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算矩形截面偏心受压正截面承载力计算一、不对称配筋截面设计一、不对称配筋截面设计1、大偏心受压（受拉破坏）、大偏心受压（受拉破坏）已知已知：截面尺寸：截面尺寸(bh)、材料强度、材料强度( fc、fy，fy )、构件长细比、构件长细比 (

4、l0/h)以及以及轴力轴力n和和弯矩弯矩m设计值，设计值，若若h heieib.min=0.32h0，一般可先按大偏心受压情况计算一般可先按大偏心受压情况计算 fyas fyasnehei sysycuafafbxfnnaheei5 . 0h)()2(00ahafxhbxfensyc8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算 both as and as are to be determined.)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsysycuin this case, three unknowns as、as and x are to be determined fro

5、m two available formulae, so that there are no unique solution.similar to doubly reinforcement rectangular beams, to make the area（as+as）minimum?ie. x=x xbh0第八章 受压构件)()5 . 01 (020ahfbhfneaybbcsxxif as0.002bh?take as=0.002bh，and consider as is givenysybcsfnafbhfax0if asr rminbh ?take as=r rminbh.8.4

6、矩形截面偏心受压正截面承载力计算as和和as均未知时均未知时)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsysycu两个基本方程中有三个未知数，两个基本方程中有三个未知数，as、as和和 x，故无唯一解，故无唯一解。与双筋梁类似，为使总配筋面积与双筋梁类似，为使总配筋面积（as+as）最小最小?可取可取x=x xbh0得得)()5 . 01 (020ahfbhfneaybbcsxx若若as0.002bh?则取则取as=0.002bh，然后，然后按按as为已知情况计算。为已知情况计算。ysybcsfnafbhfax0若若asr rminbh ?应取应取as=r rminbh.第八

7、章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算 when as is given)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsysycuwhen as is given，two unknown( as and x) can be solved from the two available equations uniquely。 x can be solved from the second formula firstly，if x 2a，thenysycsfnafbxfaif x x xbh0？if as r rminbh？ take as=r rminbh.第八章 受压

8、构件as must be calculated as the first case againthat we can assume x=2a，decided as as bellowif x2a ？8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算as为已知时为已知时)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsysycu当当as已知时，两个基本方程有二个已知时，两个基本方程有二个未知数未知数as 和和 x，有唯一解有唯一解。先由第二式求解先由第二式求解x，若若x 2a，则可将代入第一式得，则可将代入第一式得ysycsfnafbxfa若若x x xbh0？若若as若小于若小于r rmin

9、bh？应取应取as=r rminbh。第八章 受压构件则应按则应按as为未知情况重新计算确定为未知情况重新计算确定as则可偏于安全的近似取则可偏于安全的近似取x=2a，按下式确定，按下式确定as若若x2a ？8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算as为已知时为已知时)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsysycu当当as已知时，两个基本方程有二个已知时，两个基本方程有二个未知数未知数as 和和 x，有唯一解有唯一解。先由第二式求解先由第二式求解x，若若x 2a，则可将代入第一式得则可将代入第一式得ysycsfnafbxfa若若x x xbh0？若若as若小于若小于r

10、rminbh？应取应取as=r rminbh.第八章 受压构件则应按则应按as为未知情况重新计算确定为未知情况重新计算确定as则可偏于安全的近似取则可偏于安全的近似取x=2a，按下式确定，按下式确定as若若x2a ？)()5 . 0(0ahfahenayish8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算as为已知时为已知时)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsysycu当当as已知时，两个基本方程有二个未知数已知时，两个基本方程有二个未知数as 和和 x，有唯一解有唯一解。先由第二式求解先由第二式求解x，若若x 2a，则可将代入第一式得，则可将代入第一式得ysycsfnaf

11、bxfa若若x x xbh0？)()5 . 0(0ahfahenayish若若as若小于若小于r rminbh？应取应取as=r rminbh。若若as若小于若小于r rminbh？应取应取as=r rminbh。第八章 受压构件则应按则应按as为未知情况重新计算确定为未知情况重新计算确定as则可偏于安全的近似取则可偏于安全的近似取x=2a，按下式确定，按下式确定as若若xx xb， s fy，and as not yield。further ,if x x - - fy ，and as not reach yield strength.so，when x xb x x x xb， s fy，

12、as未达到受拉屈服。未达到受拉屈服。进一步考虑，如果进一步考虑，如果x x - - fy ，则，则as未达到受压屈服未达到受压屈服因此，因此，当当x xb x x (2 x xb)，as 无论怎样配筋，都不能达到屈服无论怎样配筋，都不能达到屈服，为使用钢量最小，故可取为使用钢量最小，故可取as =max(0.45ft/fy， 0.002bh)。第八章 受压构件)()2(00ahafxhbxfensyc8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算besides，if the eccentricity is very small and the additional eccentricity is i

13、n the opposite direction of load eccentricity. the concrete in the side of as will be failure first according the distribution of stress in the fig, take the moment about the point of as. fyasne0 - eae fyas)()5 . 0(00ahfhhbhfenaycse=0.5h-a-(e0-ea), h0=h-a)()5 . 0(002. 045. 0max00ahfhhbhfenbhffaycyts

14、第八章 受压构件另一方面，当偏心距很小时，另一方面，当偏心距很小时，如果如果附附加偏心距加偏心距ea与与荷载偏心距荷载偏心距e0方向相反方向相反，则可能发生则可能发生as一侧混凝土首先达到受一侧混凝土首先达到受压破坏的情况。压破坏的情况。此时通常为全截面受压，由图示截面此时通常为全截面受压，由图示截面应力分布，对应力分布，对as取矩，可得，取矩，可得， fyasne0 - eae fyas)()5 . 0(00ahfhhbhfenaycse=0.5h-a-(e0-ea), h0=h-a)()5 . 0(002. 045. 0max00ahfhhbhfenbhffaycyts第八章 受压构件wh

15、en as is determined，there are only two unknown x x and as ，then the answer is unique according x x ，there are three case.)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsbysycuxxif x x (2 x xb)， s= - -fy，the basic equation is changed to the one bellow，)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsysycuif x x h0h，take x=h，and =1，usi

16、ng the basic eq. solve as)()5 . 0(00ahfhhbhfneaycs第八章 受压构件 x x and as must be determined again8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算确定确定as后，就只有后，就只有x x 和和as两个未两个未知数，故可得唯一解。知数，故可得唯一解。根据求得的根据求得的x x ，可分为三种情况，可分为三种情况)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsbysycuxx若若x x (2 x xb)， s= - -fy，基本公式转化为下式，基本公式转化为下式，)()2(00ahafxhbxfenafaf

17、bxfnnsycsysycu若若x x h0h，应取，应取x=h，同时应取，同时应取 =1，代入基本公式直接解得，代入基本公式直接解得as)()5 . 0(00ahfhhbhfneaycs第八章 受压构件重新求解重新求解x x 和和as8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算 the way to solve x x and as is complicated.using the relative compression depth x x ，)()5 . 01 (020ahafbhfensycxx when in the range x x =x xb1.1，第八章 受压构件00.20.40

18、.60.8100.20.40.6 for the concrete c50 and the reinforcement ， s is between 0.40.5，take 0.45the change of s=x x(1- -0.5x x) is small。)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsbysycuxx8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算由基本公式求解由基本公式求解x x 和和as的具体运的具体运算是很麻烦的。算是很麻烦的。迭代计算方法迭代计算方法用相对受压区高度用相对受压区高度x x ，)()5 . 01 (020ahafbhfensycxx在小偏压

19、范围在小偏压范围x x =x xb1.1，第八章 受压构件00.20.40.60.8100.20.40.6对于对于级钢筋和级钢筋和nb that is the small eccentricity compression column section)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsysycwe can solve x and h h from eq.(a) then according them and (b) can obtain e0，m=n e0。)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsbysycxx第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压

20、正截面承载力计算1、由于给定截面尺寸、配筋和材料强度均已知，未知数由于给定截面尺寸、配筋和材料强度均已知，未知数？只有只有x和和m两个。两个。若若n nb，为大偏心受压，为大偏心受压，sysybcbafafhbfn0 x若若n nb，为小偏心受压，为小偏心受压，)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsysyc由由(a)式求式求x以及偏心距增大以及偏心距增大系数系数h h，代入，代入(b)式求式求e0，弯矩，弯矩设计值为设计值为m=n e0。)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsbysycxx第八章 受压构件2、to find the ultimate

21、axial force n for a given eccentricity e0，00000000)()()( 5 . 0hafafhbfahafafhhhbfhnmhesysybcsysybbcbbbxxxif h heie0b，that is the large eccentricity compression column)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsysycx and n can obtain from the above eq. 。第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算2、给定轴力作用的偏心距给定轴力作用的偏心距e0，求轴力设计值，求

22、轴力设计值n00000000)()()( 5 . 0hafafhbfahafafhhhbfhnmhesysybcsysybbcbbbxxx若若h heie0b，为大偏心受压为大偏心受压)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsysyc未知数为未知数为x和和n两个，联立求解得两个，联立求解得x和和n。第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算if h heie0b，that is the small eccentricity compression column sectionx and n can obtain from the above eq. 。)()2(

23、00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsbysycuxxeahfahhbhfnysc)()5 . 0(00 fyasne0 - eae fyase=0.5h-a-(e0-ea)，h0=h-abesides,when the slenderness l0/b is large，we must accord the coefficient j j，and the axially loaded member to check the carrying capacity .take the smaller n .第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算若若h heie0b，

24、为小偏心受压为小偏心受压联立求解得联立求解得x和和n)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsbysycuxx尚应考虑尚应考虑as一侧混凝土可能先压坏的情况一侧混凝土可能先压坏的情况eahfahhbhfnysc)()5 . 0(00 fyasne0 - eae fyase=0.5h-a-(e0-ea)，h0=h-a另一方面，当构件在垂直于弯矩作用另一方面，当构件在垂直于弯矩作用平面内的长细比平面内的长细比l0/b较大时，较大时，尚应根据尚应根据l0/b确定的稳定系数确定的稳定系数j j，按轴心受压情，按轴心受压情况验算垂直于弯矩作用平面的受压承况验算垂直于弯矩作用平面的受压

25、承载力载力上面求得的上面求得的n 比较后，取较小值比较后，取较小值。第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算第八章 受压构件作业作业p.177 8-38-108.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算三、三、rectangular section with symmetrically placed barsin practice, the member under compressive may be subjected a reversal moment, if the change of moment is small that we use symmetrically pl

26、aced bars。the error will not appear if we usesymmetrically placed bars.rectangular section with symmetrically placed bars that as=as，fy = fy，a = a，the axial load is nb= fcbx xbh0 when balanced failure appear.。)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsysyc第八章 受压构件so，besides consider the eccentricity we should co

27、nsider the axial load （n nb）to judge it belongs to whitch.8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算三、对称配筋截面三、对称配筋截面实际工程中，受压构件常承受变号弯矩作用，当弯矩数值相实际工程中，受压构件常承受变号弯矩作用，当弯矩数值相差不大，可采用对称配筋。差不大，可采用对称配筋。采用对称配筋不会在施工中产生差错，故有时为方便施工或采用对称配筋不会在施工中产生差错，故有时为方便施工或对于装配式构件，也采用对称配筋。对于装配式构件，也采用对称配筋。对称配筋截面，即对称配筋截面，即as=as，fy = fy，a = a，其界限破坏状态，其界

28、限破坏状态时的轴力为时的轴力为nb= fcbx xbh0。)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnsycsysyc第八章 受压构件因此，除要考虑偏心距大小外，还要根据轴力大小（因此，除要考虑偏心距大小外，还要根据轴力大小（n nb）的情况判别属于哪一种偏心受力情况。）的情况判别属于哪一种偏心受力情况。8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算1、when h heieib.min=0.32h0，and n nb，that is the big eccentricity compression column)()2(00ahafxhbxfenbxfnsycc)()5 . 0(00ahf

29、xhbxfneaaycssif x=n / fcbeib.min=0.32h0，且，且n nb时，为大偏心受压时，为大偏心受压)()2(00ahafxhbxfenbxfnsycc)()5 . 0(00ahfxhbxfneaaycss若若x=n / fcbeib.min=0.32h0，but n nb，that is the big eccentricity compression column section)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsbysycuxxxxxxbbcsysyhbfnafaf)(0solved from formula 1)()5 . 01 (0

30、020ahhbfnbhfnecbbcbbxxxxxxxxxsolved from formula 2to simplify the calculate we can take the average of s=x x(1-0.5x x)2/ 5 . 0)5 . 01 (bbsxx第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算2、当、当h heieib.min=0.32h0，为小偏心受压为小偏心受压 或或h heieib.min=0.32h0，但，但n nb时，时，为小偏心受压为小偏心受压)()2(00ahafxhbxfenafafbxfnnsycsbysycuxxxxxxbbcsys

31、yhbfnafaf)(0由第一式解得由第一式解得)()5 . 01 (0020ahhbfnbhfnecbbcbbxxxxxxxxx代入第二式得代入第二式得这是一个这是一个x x 的三次方程，设计中计算很麻烦。的三次方程，设计中计算很麻烦。为简化计算，可近似取为简化计算，可近似取 s=x x(1-0.5x x)在小偏压范围的平均值，在小偏压范围的平均值，2/ 5 . 0)5 . 01 (bbsxx代入上式代入上式第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算bcbcscbbhfahbhfnebhfnxxxx00200)()()5 . 01 (020ahfbhfneaaycssxxfro

32、m the way above，the result is near the exact answer. checking of rectangular section with symmetrically placed bars is the same as the rectangular section with un-symmetrically placed bars 由前述迭代法可知，上式配筋实为第二次迭代的近似值，与精确解的误差由前述迭代法可知，上式配筋实为第二次迭代的近似值，与精确解的误差已很小，满足一般设计精度要求。已很小，满足一般设计精度要求。对称配筋截面复核的计算与非对称配筋

33、情况相同。对称配筋截面复核的计算与非对称配筋情况相同。 8.5 工形截面正截面承载力计算（自学）第八章 受压构件8.4 矩形截面偏心受压正截面承载力计算第八章 受压构件8.6 双向偏心受压构件的正截面承载力计算8.6the design of biaxial eccentrically loaded members (双向偏心受压构件的正截面承载力计算)一、正截面承载力的一般公式一、正截面承载力的一般公式同时承受轴向压力同时承受轴向压力n和两个主轴方向弯矩和两个主轴方向弯矩mx、my的双向偏心受的双向偏心受压构件，同样可根据压构件，同样可根据正截面承载力计算的正截面承载力计算的基本假定，进行正

34、截基本假定，进行正截面承载力计算。对于面承载力计算。对于具有两个相互垂直轴具有两个相互垂直轴线的截面，可将截面线的截面，可将截面沿两个主轴方向划分沿两个主轴方向划分为若干个条带，则其为若干个条带，则其正截面承载力计算的正截面承载力计算的一般公式为一般公式为，nisisisicjmjccjxnisisisimjcjccjynisisimjccjyayamxaxamaan111111ncuusisiusicjcjucjxryxryx)cossin()cossin(第八章 受压构件8.6 双向偏心受压构件的正截面承载力计算the formula above is complicated. the s

35、trength of columns with biaxial bending can be illustrated by an interaction surface. each point in the surface stand for one particular combination of an axial load n and the moment about the major axes m（n、mx、my第八章 受压构件8.6 双向偏心受压构件的正截面承载力计算采用上述一般公式计算正采用上述一般公式计算正截面承载力，需借助于计截面承载力，需借助于计算机迭代求解，比较复杂。算机

36、迭代求解，比较复杂。图示为矩形截面双向偏心图示为矩形截面双向偏心受压构件正截面轴力和两受压构件正截面轴力和两个方向受弯承载力相关曲个方向受弯承载力相关曲面。该曲面上的任一点代面。该曲面上的任一点代表一个达到极限状态的内表一个达到极限状态的内力组合（力组合（n、mx、my），），曲面以内的点为安全。对曲面以内的点为安全。对于给定的轴力，承载力在于给定的轴力，承载力在（mx、my）平面上的投影）平面上的投影接近一条椭圆曲线。接近一条椭圆曲线。第八章 受压构件8.6 双向偏心受压构件的正截面承载力计算二、二、simplified formula in the code, the approximat

37、e approach is derived by superposition of stresses in the elastic stage. for a section having two symmetrical axes perpendicular to each other is subjected to an axial load with biaxial eccentricity .suppose the allowed compressive stress is ，that the section under axial loaded ,uni-axial loaded and

38、 bi-axial loaded can expressed as:1110hhhhyiyyxixxuyiyyuyxixxuxuweweanweanweanan01111uuyuxunnnnconfirmed by the text that when n0.1nu0 the eq. above can also used to solve the biaxial eccentrically loaded members. however, we should adjust procedure and decide the reinforcement. 第八章 受压构件8.6 双向偏心受压构件

39、的正截面承载力计算二、二、规范规范简化计算方法简化计算方法 在工程设计中，对于截面具有两个相互垂直对称轴的双向偏在工程设计中，对于截面具有两个相互垂直对称轴的双向偏心受压构件，心受压构件，规范规范采用弹性容许应力方法推导的近似公式，采用弹性容许应力方法推导的近似公式，计算其正截面受压承载力。计算其正截面受压承载力。 设材料在弹性阶段的容许压应力为设材料在弹性阶段的容许压应力为 ，则按材料力学公式，则按材料力学公式，截面在轴心受压、单向偏心受压和双向偏心受压的承载力可分截面在轴心受压、单向偏心受压和双向偏心受压的承载力可分别表示为，别表示为，1110hhhhyiyyxixxuyiyyuyxixx

40、uxuweweanweanweanan01111uuyuxunnnn经计算和试验证实，在经计算和试验证实，在n0.1nu0情况下，情况下，上式也可以适用于钢筋混凝土的双向偏上式也可以适用于钢筋混凝土的双向偏心受压截面承载力的计算。但上式不能心受压截面承载力的计算。但上式不能直接用于截面设计，需通过截面复核方直接用于截面设计，需通过截面复核方法，经多次试算才能确定截面的配筋。法，经多次试算才能确定截面的配筋。第八章 受压构件8.6 双向偏心受压构件的正截面承载力计算第八章 受压构件 小 结brief summary of an eccentricity loaded memberbasic formulasmall eccentricity loaded x x xbh0 x(