高一数学教案高次不等式分式不等式解法

1、学习必备欢迎下载课题： 1.5 一元二次不等式（二）高次不等式、分式不等式解法教学目的：1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点： 简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教学难点 ：正确 串根 （根轴法 的使用）授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具： 多媒体、实物投影仪内容分析 ：1本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的图象，找

2、出一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的关系， 进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法 说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法2本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法 的使用教学过程：一、复习引入 ：1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式 ax 2bxc0或 ax 2bx c 0 a0 的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc 0 a0 的两根为 x1、 x2 且 x1x2 ，b24ac ，则不等式的解的各种

3、情况如下表：(课本第19 页)000二次函数yax2bxcyax 2bxcyax 2bxcyax2bxc（ a0 ）的图象学习必备欢迎下载一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx c0x2 )x1 x2ba0 的根x1, x2 (x1无实根2aax 2bx c0x1或 x x2x xb(a0)的解集x x2aRax 2bx c0xx2( a0)的解集x x1引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法二、讲解新课： 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例 1 解不等式 ( x 4)( x 1) 0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的

4、符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，x10x10原不等式的解集是下面两个不等式组：40与4的解集的并集，xx0x10x10即 x|40 x |40xx式：= x|-4<x<1=x|-4<x<1. 书写时可按下列格解二： (x-1)(x+4)<0x10x10x40或40xx 或 -4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.小结：一元二次不等式ax 2bxc0 ( 或 ax2bxc0 ) (a0 ) 的代数解法： 设一元二学习必备欢迎下载次不等式 ax2bxc0 (a 0) 相应的方程ax2 bxc

5、 0(a0) 的两根为 x1、x2 且 x1x2 ，则 ax2bx c0a(xx1 )( x x2 ) 0 ；若 a 0 , 则得x x10, 或 xx10,xx1 , 或 x x1,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2 时，得 xx1 或 xx2 ；当 x1x2 时，得 xR , 且 x x1 .若 a 0 , 则得 x x10, 或 x x10,xx1 , 或 x x1,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2 时，得 x1xx2 ；当 x1 x2 时，得 x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来

6、即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得 x（从小到大排列）分别为-4， 1，这两根将x 轴分为三部分：（ -，-4）（ -4，1）（ 1， +）；分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（ -， -4）（ -4， 1）（1， +）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例 2：解不等式： (x-1)(x+2)(x-3)>0；解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为： -2，1， 3；列表如下：-213x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为：x|-2<

7、;x<1或 x>3.小结：此法叫列表法，解题步骤是：学习必备欢迎下载将不等式化为(x-x1)(x-x2) (x-xn)>0(<0)形式（各项x 的符号化“ +”），令 (x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n 个分界点把数轴分成n+1 部分；按各根把实数分成的n+1 部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集.练习： 解不等式： x(x-3)(2-x)(x+1)>0.x|-1<

8、;x<0 或 2<x<3.思考： 由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解直接写出解集：x|-2<x<1 或 x>3.x|-1<x<0或2<x<3在没有技术的情况下：可大致画数图形求解，称之为根出函轴法练习图（零点分段法）例2 图将不等式化为(x-x1)(x-x2) (x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化 “ +”；(为了统一方便 )求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；若不等式（ x 的系数化“ +”后）是“ >0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等

9、式是“ <0”,则找“线”在 x 轴下方的区间 .注意：奇过偶不过例 3 解不等式： (x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：检查各因式中x 的符号均正；求得相应方程的根为：-1，2， 3（注意： 2 是二重根， 3 是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：原不等式的解集为：x|-1<x<2 或 2<x<3.说明： 3 是三重根，在C 处过三次， 2 是二重根，在B 处过两次，结果相当于没n轴； n 为偶数时，曲线在x1 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.练习： 解不等式： (x-3)(x+1)(x2+

10、4x+4)0.解：将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20；学习必备欢迎下载求得相应方程的根为：-2（二重）， -1， 3；在数轴上表示各根并穿线，如图：原不等式的解集是x|-1x3 或 x=-2.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过 -2 点，但 x=-2 满足“ =”的条件，不能漏掉.2分式不等式的解法例 4解不等式：x30 .x7错解：去分母得x 3 0原不等式的解集是x | x3 .解法 1：化为两个不等式组来解： x 30x 3 0或 x 30x 或7 x 37 x 3，x7x70x70原不等式的解集是x |7x3.解法 2：化为二

11、次不等式来解： x30( x3)( x7)07x3，x70x7原不等式的解集是x |7x3说明：若本题带“ =”，即 (x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意 x-7 的条件，解集应是 x| -7<x 3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数 x，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂 .因此，解分式不等式，切忌去分母 .解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为f (x) 的形式 .g( x)例 5解不等式： x23x20 .

12、x22x3解法 1：化为不等式组来解较繁 .解法 2： x23x2(x23x2)( x22x 3) 00x2x22x 32 x 3 0(x1)( x 2)( x3)(x1)0，(x3)( x1)0学习必备欢迎下载原不等式的解集为x| -1<x1 或 2x<3.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解：-11 23练习： 1.课本 P21 练习： 3； 2.解不等式 x32 .x5答案： 1. x|-5<x<8 ； x|x<-4, 或 x>-1/2； 2.x|-13<x<-5.24x0 或 1<x<2）2 解不等式：x 1.（答： x|xx

13、 23x 2三、小结 ：1特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解， 注意：左边各因式中 x 的系数化为 “ +”，若有因式为二次的 （不能再分解了）二次项系数也化为“ +”，再按我们总结的规律作；注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“ .”） .f ( x)>0(或f ( x)2分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为<0)的形式，转化g( x)g ( x)f (x) g( x) 0f ( x) g(x)0为：(或) ，即转化g (x) 0g( x) 0为一次、二次或特殊高次不等式形式.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3一次不等

14、式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式 .4注意必要的讨论.5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.四、布置作业五、思考题：1 解关于 x 的不等式： (x-x2 +12)(x+a)<0.解：将二次项系数化“+”为： (x2-x-12)(x+a)>0，相应方程的根为：-3， 4， -a，现 a 的位置不定，应如何解？讨论：当 -a>4，即 a<-4 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-34-ax 原不等式的解集为 x| -3<x<4或 x>-a.当 -3<-a<4，即 -4<a<3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：学习必备欢迎下载-3-a4x原不等式的解集为 x| -3<x<-a 或 x>4.当 -a<-3，即 a>3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-a-34x原不等式的解集为 x| -a