高一数学数列部分经典习题及答案

1、. 数列一数列的概念：（ 1）已知 ann(n N * ) ，则在数列 an 的最大项为 _（答：1 ）；n215625（ 2）数列 an 的通项为 anan，其中 a,b 均为正数，则 an 与 an 1 的大小关系为 _（答： anan 1 ）；bn1（ 3）已知数列 an 中， ann2n ，且 an 是递增数列，求实数的取值范围（答：3 ）；二等差数列的有关概念：1等差数列的判断方法：定义法an 1and( d为常数或(n 2)。）an 1 an an an 1设 an 是等差数列，求证：以bn= a1a2nannN * 为通项公式的数列 bn 为等差数列。2等差数列的通项： ana1

2、(n1)d 或 an am (nm)d 。(1) 等差数列 an 中， a1030， a2050 ，则通项 an（答： 2n10 ）；（ 2）首项为 -24 的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答： 8d3）33等差数列的前 n 和： Snn( a1an ) ， Sn na1n( n1) d 。22（ 1）数列 an 中， anan 11 ( n2, nN * ) ，an3，前 n 项和 Sn15，求 a1 ，n（答： a13，n10 ）；222（ 2）已知数列 an 的前 n 项和 Sn12nn2 ，求数列 | an | 的前 n 项和 Tn（答：Tn12n n2 (

3、n6, nN * )）.n2 12n72(n6, nN * )三等差数列的性质：1当公差 d0 时，等差数列的通项公式an a1 ( n1)ddn a1 d 是关于 n 的一次函数，且率为公差d ；前 n 和Sn na1n(n 1) dd n2(a1d ) n 是关于 n 的二次函数且常数项为0.2222若公差 d0 ，则为递增等差数列，若公差d0 ，则为递减等差数列，若公差d0 ，则为常数列。3当 mnpq 时 , 则有 amana paq ，特别地，当mn2p 时，则有 aman2ap .（ 1）等差数列 an 中， Sn18,anan 1an 23,S31 ，则 n _（答： 27）（

4、2）在等差数列an 中， a100, a110 ，且 a11| a10 | ， Sn 是其前 n 项和，则A、 S1, S2S10 都小于0， S11, S12都大于 0B、 S1, S2S19 都小于0， S20 ,S21都大于 0C、 S1,S2S5 都小于0， S6, S7都大于 0D、 S1, S2S20 都小于0， S21, S22都大于 0（答： B）4 若 an、 bn 是 等 差 数 列 ， 则 kan 、 kan pbn ( k、 p 是 非 零 常 数 ) 、 ap nq( p, qN*) 、S , SS , SS，也成等差数列，而 aan 成等比数列；若 an 是等比数列

5、，且a 0 ，则 lg an 是等n2nn3 n2 nn差数列 .等差数列的前n 项和为 25，前 2n 项和为100，则它的前 3n 和为。（答： 225）5在等差数列 an 中，当项数为偶数2n 时，S偶S奇nd ；项数为奇数2n1时，S奇S偶a中 ，S2 n 1 (2 n1) a中（这里 a中 即 an ）； S奇 : S偶 (k1) : k 。如（ 1）在等差数列中，S11 22，则 a6 _（答： 2）；（ 2）项数为奇数的等差数列 an 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5； 31）.Anf (n) ，则an(2 n 1)anA2n1f (2n 1)

6、.6若等差数列 an 、 bn 的前 n 和分别为 An 、 Bn ，且bn(2n1)bnB2nBn1如设 an 与 bn 是两个等差数列，它们的前n 项和分别为 Sn 和 Tn ，若 Sn3n1 ，求 an （答：6 n2 ）T n4n3bn8 n77“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组a n0an0确定出前多少项为非负（或非正）；a n 1或an100法二：因等差数列前n 项是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN * 。（ 1）等差数列 an 中，

7、 a125 ， S9S17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13 项和最大，（ 2）若 an 是等差数列，首项a10, a2003a20040 ， a2003 a20040 ，则使前n 项和 Sn0 成立的最大正整数n 是（答： 4006）8如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 .注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm .四等比数列的有关概念：1等比数列的判断方法：定义法an 1，其中q 0,an0 或an 1an( n2) 。anq( q为常数 ）anan 1（ 1）一个等

8、比数列 an 共有 2n1 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则 an 1 为 _（答：5 ）；6（ 2）数列 an 中， Sn =4 an 1+1 (n2 ) 且 a1 =1，若 bnan 12an ，求证：数列bn 是等比数列。2等比数列的通项：ana1qn 1 或 an am qn m 。设等比数列 an 中， a1an 66 ， a2 an 1 128，前 n 项和 Sn 126，求 n 和公比 q . （答： n6 ， q1或 2）23等比数列的前 n 和：当 q1 时， Sn na1 ；当 q1时， Sna1 (1 qn )a1an q 。如1 q1q（ 1）等比数列中，

9、q 2， S99=77，求a3a6a99（答：）44特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q 是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1时，要对q分q 1和q 1两种情形讨论求解。4提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、q 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，aa2（公比为 q ）；但偶数q2 ,q, a,aq,

10、aq个数成等比时，不能设为a,a3，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且q3q, aq, aq公比为 q2 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9 ，3,1 或 0,4 ， 8,16 ）5. 等比数列的性质：（ 1）当 mnpq 时，则有 am ana p aq ，特别地，当mn2 p 时，则有 am anap2 .（ 1）在等比数列 an 中， a3a8124, a4 a7512 ，公比 q 是整数，则 a10 =_（答： 512）；（ 2）各项均为正数的等比数列 an 中

11、，若 a5 a69 ，则 log 3 a1log 3 a2log 3 a10（答： 10）。(2) 若 an 是等比数列，则| an | 、 ap nq( p, qN* ) 、 kan 成等比数列；若 an、bn 成等比数列，则 anbn 、 an 成等比数列； 若 an 是等比数列， 且公比 q1，则数列 Sn , S2nSn , S3nS2n，也是等比数列。 当 q1 ，bn且 n 为偶数时，数列Sn , S2 nSn , S3nS2 n ，是常数数列0，它不是等比数列 .（ 1 ） 已 知 a0且 a1 ， 设 数 列 xn 满 足 log a xn 11log a xn( n N*)，

12、 且 x1 x2x100 100， 则x101 x102x200答： 100a100 ）；（ 2）在等比数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，若 S3013S10 , S10S30140 ，求 S20的值（答： 40）(3) 若 a10, q1，则 an 为递增数列；若 a10, q1, 则 an 为递减数列；若a10,0 q 1，则 an 为递减数列；若 a10,0q1 ,则 an 为递增数列；若 q0 ，则 an 为摆动数列；若q1，则 an 为常数列 .(4) 当 q1时， Sn1a1q na1aq nb ，这里 ab0 ，但 a0,b0，这是等比数列前n 项和公式的一q1 q个特征

13、，据此很容易根据Sn ，判断数列 an 是否为等比数列。n 是等比数列，且Sn 3nr，则r（答：1若 a）(5) Sm n Sm qm Sn Sn qn Sm . 如设等比数列 an 的公比为 q ，前 n 项和为 Sn ，若 Sn 1 , Sn , Sn 2 成等差数列，则 q 的值为 _（答： 2）(6)在等比数列 an 中，当项数为偶数2n 时， S偶qS奇 ；项数为奇数2n1时， S奇a1qS偶 .(7) 如果数列 an 既成等差数列又成等比数列，那么数列 an 是非零常数数列， 故常数数列 an 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。设数列an 的前 n 项和为 Sn

14、 （ nN ）， 关于数列an 有下列三个命题：若anan 1( nN ) ，则an 既是等差数列又是等比数列；若Sna n 2b n a、bR，则an是等差数列；若Sn11 n ，则an是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：）五 . 数列的通项的求法：公式法：已知 Sn （即 a1 a2anf (n) ）求 an ，用作差法： anS1,( n 1)。SnSn 1,( n2)已知 an 的前 n 项和满足 log 2 ( Sn1) n 1，求 an （答： an3, n1）；2n, n2数列 an 满足11a21an2n5 ，求 an （答： an14, n1a1222nn 1, n）

15、222f (1),(n1)已知 a1a2anf (n) 求 an ，用作商法：anf ( n)。如数列 an 中， a11, 对所有的 n2都有f (n 1),( n2)a1 a2 a3ann2，则 a3a5_（答：61 ）16若 an1anf (n) 求 an 用累加法： an ( anan1)(an 1an 2 )(a2a1)a1 (n2)。如已知数列 a 满足 a 1，an 11( n2) ，则（答：ann 12）n1ann 1nan =_1已知 an1f (n) 求 an ，用累乘法： ananan1a2a1 (n2) 。如已知数列 an 中，a12 ，前 n 项和 Sn ，anan

16、1an2a1若 Snn2 an，求 an （答： an4）n(n 1)已知递推关系求an ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（ 1）形如 ankan 1b 、 akabn （ k ,b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的nn 1等比数列后，再求an 。 已知 a 1, a3a2 ，求 a（答： a2 3n 1 1 ）；1nn 1nn已知 a11, an3an 12n ，求 an （答： an5 3n 12n 1 ）；（ 2）形如 anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1ban11）；已知 a1 1,an1，求 an （答： an3an 13n2已知数列满

17、足 a1 =1， an 1ananan 1 ，求 an1（答： an2 ）n注意：（ 1）用 an SnSn 1 求数列的通项公式时， 你注意到此等式成立的条件了吗？（ n 2，当 n1 时，a1S1 ）；（ 2）一般地当已知条件中含有an 与 Sn 的混合关系时， 常需运用关系式an Sn Sn 1 ，先将已知条件转化为只含an 或Sn 的关系式，然后再求解。如数列 an 满足 a1 4, SnSn 151，求 an （答： an4, n1）ann1, n33 42六 . 数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关

18、系，必要时需分类讨论. ；常用公式：12221123n2n2 n(n 1) ， 16 n(n 1)(2n 1) ，1323 33n3 n(n1)2 . 如2na12a22a32an2 _（答：41 ）；（ 1）等比数列 an 的前 n 项和 S 2，则32分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求： Sn1357( 1)n (2 n1)（答： ( 1)n n ）3倒序相加法： 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.已知 f ( x)x2，则 f (1) f (2