高一数学期中考试试题(必修1)及答案

1、高一数学期中考试试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列各组函数是同一函数的是（） f (x)2x3与g( x)x2 x ； f ( x)x 与 g(x)x2； f ( x)x0与g( x)1； f ( x)x22x1与 g (t )t22t10xA.B. C. D. 2设集合 A=1 ，2,B=0， 1 ，定义运算 A B=z|z=x , xA, yB , 则集合 A B 的子集y个数为（）A.1B.2C.3D.43已知 m0.95.1 ， n5.10.9 ， plog 0.9 5.1，则 m、 n、 p

2、的大小关系（）A. m n p .B. m p nC. p m nD p n m4下列函数中，在(0,1) 上为单调递减的偶函数是（）y x 2y x411A.B.C.y x 2D yx35如果奇函数 f (x) 在 3,7 上是增函数且最小值是5，那么 f ( x) 在 7,3 上是（）A.减函数且最小值是5B.减函数且最大值是5C.增函数且最小值是5D.增函数且最大值是56已知集合 M y | yx21, xR,N xR | y3 x2 ，则 M N（）A. (2,1), (2,1)B. 1,3C.0, 3D.7若 f ( x)x 22ax 与 g (x)(a1)1 x(a1且 a0) 在

3、区间 1,2 上都是减函数 ,则a 的取值范围是（）A.( 1,0)B. (0,1C.(0,1)D. (1,0)(0,1)8若 AxZ 222x8，BxRlog 2 x1 ，则 A (eR B) 的元素个数为 （）A.0B.1C.2D.39函数 f ( x) 与的图像与 g(x) (1) x 图像关于直线 yx 对称，则的 f (4x2 ) 的单调增区2间是（）A. ( ,0B. 0,)C. ( 2,0D. 0, 2)10已知函数f ( x) loga (2xb 1)(a 0，a1)的图象如图所示，则a， b 满足的关系是（）yA 0 a1b 1B 0 b a11OxC. 0 b1a 1D 0

4、 a1b111二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分11计算 (16)91( 1 lg9lg 2)4 e33 3 =_ 2100 2lnlog9 8 log412已知集合 M1, a ,b ， N0, a b, b2， MN ，则 a2010b2011_b13 函数 y log a2x2P , P 在幂函数 fx 的图象上，则3的图象恒过定点2f9_11x1 , xA14A= 0, B=,1 ,函数f (x) =2若x0A,且f f ( x0 ) A,设集合222 1x , xB,则 x0的取值范围是 _15已知偶函数 f ( x) 满足 f ( x)x38 x 0 ，则 f

5、 (x2) 0 的解集为 _三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x16（本小题满分12 分）已知函数f ( x)3x 1 .31（ 1）证明 f（ x）为奇函数；（ 2）判断 f（ x）的单调性，并用定义加以证明；17（本小题满分 12 分）已知全集 UR ，A= x| x1|1，为函数x3f ( x)21x的定义域， C 为 g( x)lg( x a1)(2 a x) （ a1 ）的定义域；（1） AB ； U(AB) ；e（ 2）若C B ，求实数 a 的取值范围；18（本小题满分12 分）已知二次函数f (x) 满足条件f (0)1，及 f (

6、 x1)f (x)2 x .（ 1）求函数f ( x) 的解析式；（ 2）在区间 -1 ，1 上， yf ( x) 的图像恒在y2xm 的图像上方，试确定实数m 的取值范围；.19 （ 本 小 题 满 分12分 ） 已 知 a,bR 且 a2 ， 定 义 在 区 间b, b 内 的 函 数f ( x)lg 1ax 是奇函数1 2x（ 1）求函数 f ( x) 的解析式及 b 的取值范围；（ 2）讨论 f ( x) 的单调性；20（本小题满分13 分）设 f ( x )是定义在R上的函数，对任意实数m 、 n ，都有f (m) f (n) （ 1）证明：f (mn) ，且当f (0) = 1 ；

7、x 0 时， f (x ) 1.当 x 0 时， 0 f (x ) 1； f ( x ) 是 R 上的减函数；（ 2）设 a R ，试解关于 x 的不等式 f (x2 3ax 1) f ( 3x 6a 1) 1 ；21（本小题满分 14 分）已知 yf (x)（ x D ， D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：函数f ( x) 在 D 内单调递增或单调递减；如果存在区间 a,bD ，使函数f ( x) 在区间 a,b 上的值域为 a,b ，那么称 yf ( x) ， x D 为闭函数；请解答以下问题(1)求闭函数 yx3 符合条件的区间 a,b ；(2)判断函数 f (x)3 x1 (

8、 x(0,) 是否为闭函数？并说明理由；4x(3) 若 y kx (k0) 是闭函数 , 求实数 k 的取值范围；2010 年秋季高一数学期中考试参考答案一、选择题：1 C解析：中 f ( x)0, g ( x)0，两个函数的值域不同；中g ( x)x 与 f (x) 解析式不同；中函数的定义域、对应关系都相同；2 D解析： A B=，子集个数为224；1,23 C解析： p 0 m 1 n4 A解析： B, C 在 (0,1) 上是递增函数，而D 是奇函数，均不符合；5 D解析：当 x7,3，x3,7，设x03,7且 f (x ) 5 ；由题知：0f ( x)f (x0 )5 ；又 由 f

9、(x) 为 奇函 数 ， 可 得 ：f (x)f ( x0 ) 5， 所 以f ( x)f (x0 )5 ；由奇函数图象特征，易知f (x) 在 7, 3上为增函数；6B解析： 集合 M表示yx21的值域，y1,；集合 N 表示yx21的定义域， 3 x20， x3, 3；7 B解析：二次函数f (x) 的对称轴为 xa ，图象开口向下； 由 f (x) 与 g (x) 在区间 1,2上都是减函数，则应满足：a1,且 a11 ，解得： 0a 18 C解析： 2122 x23 ，得12x 3，解得：1x1;又 xZ，所以A0,1 ；log 2 x1，得 log2 x1或 log2x1，且 x0

10、，解得： x2 或 0x1，所2以B0,12,， eR B(,01， A(eR B) =0,12,229 D解 析 ： 由 题 可 得 ： f (x)log1x， f (4x2 )log 1 (4x2 ) ， 令22u4x2 , y l o 1gu2在定义域上是减函数， 由复合函数单调性可知：f (4x2 ) 的单调增区间应为u4 x2的单调减区间，且在该区间上u0 ；故 x0, 2)10 A 解析：设t2xb1, 则 f (x)loga t ，因为 t2xb1在 R 上单调递增，由图象可知函数f (x) 也是单调递增，由复合函数的单调性可知yloga t 在定义域上递增，故 a1；又 f (

11、0)log a(2 0b1)log a b ，由图象可知：1f (0)0 ，则1log a b0，解得0a 1b1二、填空题：11 412 -1解析：由 MN ， M1, a , b知 b0，所以只能 a0 ，所以 a0，此时bbM1,0, b ， N0,b, b2，所以 b21 ，又 b2b ，所以 b1；代入即可得；131解析：令 x2, y2，即 P(2,2) ；设 f ( x)x，则 22，1；3222211所以 f ( x)x 2 ， f9311解 析 ： x0A,即0x01x011x011, 即14, 所 以 f (x0 ),2242221f ( x0 ) 1, 即 f ( x0

12、) B， 所 以 f f ( 0x ) 2 1 f 0 x() 1x02，A即201x201，解得：1x01,又由 0x01,，所以1x012424215 (,0)(4,) 解析：因为 f ( x) 为偶函数， 且当 x0 时f ( x)x38 为增函数，则 x0 时， f (x) 为减函数； f ( x2)0f (2) ，所以可得：x22，解得： x 0,或 x 4三、解答题：16证明：（ 1）由题知f ( x) 的定义域为 Rf (x)3 x1(33 x1(3x1) 3x13xf ( x) 所以 f (x) 为奇函数；x1) 3x13x（ 2）在定义域上是单调增函数；任取x1 , x2R

13、，且 x1x2x2x12 (3x23)f ( x2 )f ( x1 )3131(12) (12)x11)(3x 21)3x213x113x213x11(3x1x1x2 3x23x10,3 x110,3x210 f ( x2 )f ( x1 )f ( x) 为 R上的单调增函数；17解：（ 1）解 | x1|1得： x0 或 x2Ax x0, 或 x 2；函数 f ( x) 的自变量 x 应满足 2x3( x1)(x1)0x10 ，即10xx1 或 x1 Bx x1, 或 x1 ；A Bx x1,或x 2，A Bx x 0,或x 1，CU (A B)x0 x1（2）函数g(x)的自变量 x 应满

14、足不等式 ( xa 1)(2 ax)0。又 由 a1 ，2a x a 1 Cx 2a x a1C Ba 11 或2a1a2或 a11a 的取值范围为 a1a1，又 a2 或2218解：（ 1）令 x0，则 f (1)f (0)0， f (1)f (0)1,二次函数图像的对称轴为x1ya(x1)2h 可令二次函数的解析式为223 ,由 f (0)1，又可知 f (1)3得 a1， h4二次函数的解析式为yf ( x)( x1) 23x2x124（2）x2x12xm 在1,1 上恒成立x23x1m 在1,1 上恒成立令g(x)x23x，则g( x)在1,1上单调递减1g( x) ming(1)1,

15、m11911ax，xb, b是奇函数，等价于对于任意bxb都有f (x) lg解：（ ）12xf (x)f (x )(1)lg 1axlg 1axlg 12x1ax0(2)成立，（ 1）式即为12x12x12x1ax1ax12 x ，即 a2x24x2，此式对于任意 xb,b都成立等价于 a24 ，因为12x1ax2，所以 f (x) lg 12x ；代入（ 2）式得：12x11a2 ，所以 a0 ，即x12x12x22对于任意 xb, b 都成立，相当于1bb1，从而 b 的取值范围为0,1 ；222（ 2 ）对于任意x1 , x2(b, b) ，且 x1x2 ，由 b0,1，得1bb1，所

16、以2220 1 2x21 2 x1，0 1 2x112 x2，从而f (x2 )12x212 x1f ( x1 ) lg2x2lg2x111= lg(12x2 )(12x1 )lg10 ，因此 f ( x) 在b, b是减函数；(12x2 )(12x1 )201f ( m) f (n)f (m n)中，令 mn0解：（ ）证明：在得f (0)f (0)f (00)即f (0) =f (0)gf (0).f (0) = 0或f，(0)=1若 f(0)= 0 ，则当 x 0 时，有 f (x ) = f (x + 0) = f(x )gf (0) = 0 ，与题设矛盾， f (0) = 1.当 x

17、 0 时， - x 0，由已知得 f(- x ) 1，又 f (0) =f x + (- x) = f (x)gf (-x) = 1， f ( - x) > 1 ， 0 f(x ) =f (0) 1，即 x 0 时， 0 f (x ) 1.f (- x )任取 x1 x 2 ，则 f (x1 ) = f(x1 - x 2 + x 2 ) = f (x1 - x 2 ) gf (x 2 ) ， x1 - x 2 0， f (x1 - x 2 ) 1，又由 (1)(2) 及已知条件知 f (x 2 ) 0， f (x1) f ( x 2 ) ， y = f(x ) 在定义域 R 上为减函数

18、.（2） f (x 2 - 3ax + 1)gf (- 3x + 6a + 1)= f (x 2 -3ax + 1- 3x + 6a + 1)= f x 2 -3(a + 1)x + 2(3a + 1)又 f (0)= 1， f (x ) 在 R 上单调递减 .原不等式等价于x 2 - 3(a + 1)x + 2(3a + 1) 0 不等式可化为(x - 2) x - (3a + 1) 0当 2 3a + 1 ，即 a 1 时，不等式的解集为 x | 2 x 3a + 1 ；3当 2= 3a + 1 ，即 a =1 时， (x - 2) 2 0，不等式的解集为2 ；3当 2 3a + 1，即 a 1时，不等式的解集为 x | 3a + 1 x 2 .321解：(1)先 证 yx3符 合 条 件 ： 对 于 任 意 x1 , x2R ， 且 x1x2 ， 有y1 y2x23x13( x2x1 )( x22x1 x2x12 )( x2x1 )( x21 x1 )23 x12 0 ，y1y2 ，24故 yx3 是 R 上 的 减 函 数 。 由 题 可 得 ：ba3则(ab)( a3b3 ) ，ab3( a b) a2ab b210而a2ab b21 (ab )23 b21 0 ，24ab0，又 ba ，a1， b