高一数学正弦定理、余弦定理人教实验A版知识精讲

1、高一数学正弦定理、余弦定理人教实验A 版【本讲教育信息 】一 . 教学内容：正弦定理、余弦定理二 . 重点、难点：（ 1）正弦定理abcsin Asin B2Rsin C（ 2）余弦定理a 2b2c 22bc cos Acos Ab2c2a22bc1 ab sin C（ 3）面积公式 S2【典型例题】 例1 ABC 中， A=30 °， b6 a2 ，求边 c a3，求边 c a4 ，求边 c a6 ，求边 c a9，求边 c解：（ 1）（法一）ab31 无解sin Asin B2sin B（法二） a 2b2c22bc cos Ac 26 3c3200 无解（ 2）（法一）sin

2、B1B90c3 3（法二）c263c270(c33) 20 c3 3（ 3）（法一）s i nB34 B锐角c o sB74 sin Csin( AB)sin Acos B337cos A sin B8用心爱心专心acc337sin Asin C B为锐角cos B74sin Csin( AB)1(3 37)ac8 c337sin Asin C（法二）c263c20063287c23 31（ 4）（法一）s i nB2 B为锐角B30C1 2 0 C 6 3 B为钝角B150 舍（法二）c263c0c63（ 5）（法一）1sin B3 B为锐角22c o sB3223c6 233sin C61

3、1 B为钝角sin B23 B (150 ,180 ) 舍（法二） c 263c4506328836 2c23 c3362分析a(0,3)无解a31解a(3,6)两解a6,)1解总结，三角形有三边，三角六个基本量知其三（至少一个为边）可求其余的量（ 1）三边（可用余弦定理）（ 2）两边一夹角（可用余弦定理）（ 3）两边一对角（为例 1情况最复杂）（ 4）一边两角即一边三角（可用正弦定理） 例2 ABC 中，三边长为a,b, c ，且三边上高线长为2cm， 3cm， 4cm，求 S ABC 。用心爱心专心2S， b2S2S解： a， c42S23S24 S229cosB492 SS362 sin

4、 B455S1 SS455362236144455 S455 例3 ABC 中， b3 ， c2 3 ， A 平分线， AD=2 ，求三个角的度数。解： S ACDS ABDS ACB1AC ADsin A1AB ADsin A22221 AB AC sin A23 sin A2 3 sin A3sin A6sin Acos A2222 cosA3A30 A=60 °222a 2312232319 a32 B=30 °C=90 ° 例4 ABC 中， 2bac ， AC，求 sin B,sin C 。2解： 2bac 2sin B sin A sin C 2sin

5、( AC )sin A sin C2sin(C C )sin(C )sin C222 cos2Csin CcosC2(cos2 Csin 2 C )(cosCsin C )cosCsin C12cos2 Csin 2 C1用心爱心专心71c o sC71 sin C44sin B sin( AC ) sin(2C )cos 2C742 例5在 ABC 中，已知 a 2a2(bc) ， a 2b2c 3 ，若 sin C : sin A4: 13，求 a, b, c 。解： sin C : sin A4: 13 c : a4 :13设 c4k， a13k 213k2(b4k)(1)13k ，则1

6、3k2b8k3(2)由（ 1）（ 2）消去2b ，得 13k216k30 ，解得 k3或 k1313 k时 b0，故舍去13 k1，此时 a13， b513， c42 例6在 ABC 中， sin Asin Bsin Ccos B，判断这个三角形的形状。cosCbc解： 应用正弦定理、余弦定理，可得ac 2a2b2a 2b 2c 222 )22 )2ca2ab整理为(ab(ac(c)bcbc b即 (b c)a 2(b3c 3 )bc(b c)所以 a 2b 2bc c 2bc ，即 a 2b 2c2所以 ABC 是直角三角形 例7在 ABC 中， ab10 ， cosC 是方程2x23x20

7、的一个根，求 ABC 周长的最小值。解： 2x23x2 0 x12 ， x2121又cosC 是方程 2x 23x20 的一个根 cosC12由余弦定理可得c2a2b22ab()( ab)2ab25)22则c100(10a)(a75a当 a5时， c 最小且 c7553 ，此时 abc105 3所以， ABC 周长的最小值为 1053 例8 在 ABC 中， b cos Aa cosB ，试判断三角形的形状。解法一： b cos Aa cosB用心爱心专心b2c 2a 2a 2c2b2b2bca2ac b2c 2a2a 2c2b 2 a 2b2 a b故此三角形是等腰三角形解法二： 设abc2

8、R ，则 b2Rsin B ， a2Rsin Asin Asin Bsin C b cos Aa cosB 2Rsin B cosA2Rsin AcosB sin A cosBcos Asin B0 sin( AB)0 0A， 0 BAB AB0，即 A=B故此三角形是等腰三角形 例9 在 ABC 中， a, b, c 分别为角 A 、 B 、C的对边，且2a ctan B ，求角 B 的大小。解： 2actan B ，根据正弦定理ctan Cctan C得 2 sin Asin Ctan Bsin B cosCsin Ctan Csin C cos B化简为2 sin A cosBcosB

9、sin Csin B cosC 2sin Acos Bsin( BC )在 ABC 中， sin( BC )sin A cos B120B180 B60 例10在 ABC 中，角 A 、B、C的对边分别为 a,b,c ，C=2A ， a c10， cos A3，（ 1）求 c 的值；（2）求 b 的值。4acsin Csin 2A33解：（ 1）由 C=2A 及正弦定理得2 cos A2asin Asin A42ac10a4（ 2）由c3解得c6a2由余弦定理得 4 2b 26 2263 b化简得 b 29b200 ，解得4b或b54检验：若 b4，则A=B， ABC4A Ac o sA242

10、3与条件 cos A矛盾，所以 b4不合题意，舍去，所以 b54【模拟试题】（答题时间： 50分钟）1. 一个三角形的两个内角分别为30°和 45°，如果 45°角所对的边长为8，那么 30°角所用心爱心专心对边的长是（）A. 4B.42C.43D.4 62. ABC 中， a1 ， b3， A=30 °，则 B等于（）A. 60°B. 60 °或 120°C. 30°或° 150°D. 120 °3. 在 ABC 中， B=45 °， C=60°， c1

11、，则最短边的长等于（）6B.613A.2C.D.3224. ABC 中， A=60 °， a6 ， b4 ，那么满足条件的ABC （）A. 不存在B. 唯一存在C. 有2个D. 不确定5. 在 ABC 中，若 A=60 °， a3 ，则abc等于（）sin Asin Bsin CA. 2B.1C.3D.3226.在 ABC 中，已知 a434， A=30 °，则 sin B。3， b7.在 ABC 中，周长为 7.5cm，且 sin A : sin B : sin C4:5:6，下列结论： a : b : c4:5:6；a : b : c2: 5: 6；a2cm,

12、 b2.5cm, c3cm ；A:B:C4:5:6。其中成立的序号依次是。8. 在 ABC 中， a3 ， b7 ， c2 ，那么 B等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120 °9.若三条线段的长为5、 6、 7，则用这三条线段（）A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形10. 在 ABC 中，若 b2c 2bca 20，则 A（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150 °11. ABC 中，如果 a6 ， b63 ， A=30 °

13、，边 c（）A. 6B. 12C. 6或 12D. 无解12. 在 ABC 中三边之比 a : b : c2:3:19 ，则 ABC 中最大角的大小为（）A.B.2353C.D.24613. 在 ABC 中， a33 ， c 2，B=150 °，则 b。14. 在 ABC 中，若(abc)(bca)3bc ，则 A=。15. 在 ABC 中，已知 c 10 ， A=45 °， C=30 °，求 a, b 和 B 。16.在 ABC 中，已知 a3 ， b2 ， B=45 °，求 A 、 C及 c 。17.在 ABC 中， BCa ， ACb ， a, b

14、是方程 x 22 3x 20 的两个根，且2 cos( AB)1，求：（ 1）角 C的度数；（ 2） AB 的长度。用心爱心专心【试题答案】1. B2. B3. A4. A5. A6.3 / 27. 8. C9. B10. C11. C12. B13. 714. 60°15. 解：c10 ， A=45 °， C=30 ° B180( AC )105由acc sin A10 sin 45sin A，得 asin Csin 3010 2sin C由bcsin B，得sin Cbc sin B10 sin 10520sin 75sin Csin 3020625652416. 解一：根据正弦定理，sin Aa sin B3 sin 453b22 B4590 ，且 baA60或 120当 A=60时， C=75， cb sin C2 sin 7562sin Bsin 452当 A=120 时， C=15， cb sin C2 sin1562sin Bsin 452解二：根据余弦定理，b2a 2c22ac cos B将已知条件代入，整理得c26c10 ，解得 c622当 c62b2c2a