第十二章无穷级数例题课件

1、第十二章 无穷级数1常数项级数的概念和性质例1无穷级数 叫做等比级数(又称为几何级数),其中 叫做级数的公比,试讨论该级数的收敛性。20nnnaqaaqaqaq0,aq例2.判别下列各级数的收敛性例3证明：调和级数是发散的。 1111, 2ln 1.1nnnnn！11nn1常数项级数的审敛法2定理2（比较审敛法） （1）定理 设 都是正项级数，且 若级数 收敛，则级数 收敛，反之，若级数发散，则级数 发散。11nnnnuv和1,2,nnuvn1nnv1nnu1nnu1nnv例证明正项级数收敛。011111!1!2!nnn 例证明级数是发散的。 111nn n(2)推论：设 都是正项级数，如果级

2、数 收敛，且存在正整数n，使当 成立，则级数 收敛，如果级数 发散，且当 成立，则级数 发散。11nnnnuv和1nnv0nnnnukvk时有1nnu1nnv0nnnnukvk时有1nnu例讨论一级数的收敛性，其中常数 。11111123ppppnnn 0p 3、定理3 （比较审敛法的极限形式）（1）定理 设 都是正项级数，如果 且级数收敛，则级数 收敛。如果 且级数 发散，则级数 发散。11nnnnuv和lim0nnnullv 1nnv1nnulim0lim=+nnnnnnuulvv 或1nnv1nnu例 判定级数的收敛性。11sinnn(2)推论（极限审敛法） 设 为正项级数 如果 则级数

3、 发散。如果则级数 收敛。1nnu1 ,lim0pnnpn ull 而1nnulim0limnnnnnulnu 或1nnu例判定级数的收敛性。211ln 1nn例判定级数的敛散性。例7判别下列正项级数的敛散性11 1 cosnnn31ln21nnn例8判别正项级数的敛散性。1301sin1nnxdxx4定理4（比较审敛法，达朗贝尔判别法） 设 为正项级数，如果时级数收敛； 时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。1nnu1lim,1nnnuu则当11limnnnuu 或=1例9证明级数是收敛的，并估计以级数的部分和 近似代替和s所产生的误差。1111111.21.2.31 !n ns例10判定

4、级数的收敛性。2311.21.2.3!10101010nn5定理5（根值审敛法，柯西判别法） 设 为正项级数，如果 ，则当 时级数收敛， 时级数发散， 时级数可能收敛，也可能发散。1nnulimnnnu11limnnnu 或1例11判定级数的收敛性1212nnn 例1判别下列正项级数的敛散性 ln121,3nnn 12021nnnnnbbn例1判别交错级数的敛散性。11111nnne例1设正项数列 单调减少，且 发散，试问是否收敛，并说明理由。 na11nnna111nnna例1判别级数的收敛性。例6判别级数的敛散性。21sinnnn2111112nnnnn例7判别级数的敛散性。11111nn

5、ne 13 幂级数例求幂级数的收敛半径与收敛域。231123nnxxxxn 例求幂级数的收敛域。21112!nxxxn例求幂级数的收敛半径。例求幂级数的收敛域。0!nnn x2121nnnxn例求幂级数的收敛半径。例6求幂级数的收敛域。2202!nnnxn2112nnnnnx 例7求幂级数的收敛域。例8求幂级数的收敛域。112 .nnnxn111nnxnx四、幂级数的和函数的性质1性质幂级数 的和函数 在其收敛域 上 连续0nnna x s xi性质幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并有逐项积分公式。逐项积分后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径。0nnna x s xi 100000

6、01xxxnnnnnnnnnas x dxa x dxa x dxxx in性质幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导，且有逐项求导公式。逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。0nnna x s x,r r 1001nnnnnnnnnsxa xa xna xxr 由此性质不难得知幂级数的和函数 在其收敛区间内具有任意阶导数。0nnna x s x,r r例9求幂级数的和函数。01nnxn例10求幂级数 的和函数。例11求级数 的和。1212nnn11nnn nx14 函数展开成幂级数例1将函数展开成 的幂级数。例2将函数展开成 的幂级数。 xf xe sinf xxxx例将函数 展

7、开成 的幂 级数 。例将函数 展开成的幂级数。xax0a cosxx例将函数 展开成 的幂级数。例6将函数展开成 的幂级数。211xx ln 1f xxx例7把函数展开成 的幂级数。例8将函数 展开成 的幂级数。 1ln 1f xxxsin x4xx例9将函数展开成 的幂级数。 2143fxxx1x例10将展开为 的幂级数。例11求级数的值。 2arctanln 1f xxxxx0212!nnnn例12设 求 sin010 xxf xxx时时 01,2nfn 17 傅里叶级数(二)三角函数系在区间 上正交。 所谓三角函数系1.在区间 上正交，就是指在上面三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区

8、间 上的积分等于零，即1,cos ,sin ,cos,sinxxnxnx, cos ,sin ,cos2 ,sin2cos,sinxxxxnxnx, , ， ，cos01,2,3nxdxnsin01,2,3nxdxnsincos0.1,2,3kxnxdxk ncoscos0.1,2,3,kxnxdxk nknsinsin0.1,2,3,kxnxdxk nkn 任何两个相同函数的乘积在区间 上的积分不等于零。即 ， 。, 212dx2sin nxdx2cos1,2,3nxdxn （收敛定理 狄利克雷充分条件） 设 是周期为 的周期函数，如果它满足（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。（

9、2）在一个周期内至多只有有限个极值点。 f x2 则 的傅里叶级数收敛，并且当 的连续点时，级数收敛于 ，当 的间断点时，级数收敛于 。 f x xf x是 f x xf x是12f xf x例1设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为将 展开成傅里叶级数。 f x2, ) 1010 xfxx f x例2设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 将 展开成傅里叶级数。 f x2, ) 000 xxfxx f x（三）周期延拓 如果函数 只在 上有定 义，并且满足收敛定理的条件，那么 也可以展开成傅里叶级数，我们 可以在 外补充函数 的定义，使它拓广成周期为 的周期函数 ，按这种方式拓广

10、函数 定义域的过程称为周期延拓， 再 将 展开成傅里叶级数， f x, f x, )(, 或 f x2 f x f x最后限制 内，此时这样便得到 的傅里叶级数展开式，根据收敛定理这个级数在区间端点 处收敛于 。,x 在 f xf x f xx 2ff例 将函数展开成傅里叶级数。 00 xxf xxx例将函数展开成傅里叶级数，其中 是正的常数。 sin2tu tet e例设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅里叶级数。 f x2, f xx f x例6设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅里叶级数。 f x2, ) f xx f x（二）奇延拓与偶延

11、拓 设函数 定义在区间 上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间 内补充函数 的定义，得到定义在 上的函数 使它在 上成为奇函数（偶函数），按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓（偶延拓）， f x0,0 f x(, f x, 然后将奇延拓（偶延拓）后的函数展开成傅里叶级数，这个级数必定是正弦级数（余弦级数），再限制 上，此时 ，这样便得到的正弦级数（余弦级数）展开式。0 x在（ ， f xf x f x例7将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。 cos0202xxf xx18 一般周期函数的傅里叶级数一、周期为 的周期函数的傅里叶级数定理：设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为 其中2l2l f x 01cossin2nnnan xn xf xabxcll 1cos0,1,2,lnln xaf xdxnll 1sin1,2,3,lnln xbfxdxnll 12cx fxfxfx 当 为奇