自动控制理论第十章

1、2021-11-14第十章 非线性控制系统1作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 2021-11-14第十章 非线性控制系统2（1） xxx; y xx kx; ym00sgn 2021-11-14第十章 非线性控制系统3齿轮间隙b ; ; bk; bkmii0sgn020200 xxx-kxysgn02021-11-14第十章 非线性控制系统4 0 x , max ; b- 0 x , max ; b , max ; sgnx 0 x , axma- ; 0 0 x , maxa- ; 0y2021-11-14第十章 非线性控制系统501xxx 2021-11-14第十章 非线性控制系统6tbta

2、tbtaay2cos2sincossin221102021-11-14第十章 非线性控制系统71111sincossintytbtayttdybttdysiaaabbaycos11arctan,20120111121211 efef112021-11-14第十章 非线性控制系统8 11212111arctanabxbaxyxn ttdyatatyty20111sin4sinsin 式中ttdksttdtkxsinsinsin4 202021-11-14第十章 非线性控制系统9 21211arcsin21arcsin2arcsinsinsinxsxsxskxax n xsxsxskx axsxs

3、sx ,代入上式故由于cossin2 kx2021-11-14第十章 非线性控制系统10 xmxaxntmymttdmaba4sin44sin2, 0, 0, 01101110于是得2021-11-14第十章 非线性控制系统11 ttdtxkttdtyttdtyatatybattttttxktttytsinsin4 sin4 sin1 sin 0, 0, 0 0sin002202011111011111式中2021-11-14第十章 非线性控制系统12 2121111arcsin2 1arcsin22 arcsin,sinxxxkkxaxnxxxkxaxttx得代入上式,其中2021-11-1

4、4第十章 非线性控制系统13 自振荡的条件则得 如果xnjgxnjgyytyxnjgy1 01 , sin112021-11-14第十章 非线性控制系统14 xn1jg xn1jg1y jgxn被1 xn1jg2021-11-14第十章 非线性控制系统15 2212902arctanarctan180arctan2arctan90 1jkg - xn求交点的频率令 11111arcsin21112xxxxxxn2021-11-14第十章 非线性控制系统1623k 132321k 1jkg ,0, 121 21对应的k值应满足下式状态即系统处于稳定的临界点,曲线通过当 解得jjkg 56910,

5、166. 035 . 0kxn ,21xn 23231111arcsin21 211321.xxxxxnsxnjkgk查得由图即而振幅x由下式求得,其振荡频率为产生稳定的自持振荡,系统在相交点处,轨迹相交于负实轴,曲线与时,当2021-11-14第十章 非线性控制系统170,xxxbxxxax x xx ,xx ,xx ,x21222212 , xxxxxxxxxnn则有,为系统的两个状态变量 令0kxx fxm 02 2xxxnn 2021-11-14第十章 非线性控制系统182021-11-14第十章 非线性控制系统19相轨迹的斜率方程 则上式改写为若令 则得,上式等号两边同除以 令221

6、12210 x,xxf-dxdx , xx,xxxxx,f-dtxd dtdxxxx,-fdtxd xx,fx 它表示系统的平衡状态的点称为奇点,具有002122,xxfx ,x2021-11-14第十章 非线性控制系统2022222 0 ,axxxdxxdxdxxdxx 积分 则上式变为因为0 2xx 22222112axx , xx,xx 则得若令2021-11-14第十章 非线性控制系统21 tatxtatxtxxasin cos 2121的下列关系式后求得对和分别解出上述结果也可以由方程数是由初始条件确定的常式中,2121222112, , xxfxdxdxxxxfdxdx则上式改写为

7、常量,令10022其中的相轨迹图,xxxnn 2021-11-14第十章 非线性控制系统22轴值时的等倾线求得不同据此,则例为当线,就得到不同斜率的等倾取不同值时,当 或写作则得令121212121212121212222121221222121, 0 x , ;504. 0 x, 5 . 3- ; 344. 1 x, 2- ;1 .12 x, 2 . 1- ; 1 .12x , 1- ;576. 0 x 1, ; 1 . 1x 0, :1 . 121. 1 x, 1 . 1, 5 . 022 2 ,xxxxxxxxx xxxxdxdxxxxxxxxxxnnnnnnn2021-11-14第十章

8、 非线性控制系统23cxxdxxxdx,sxxdxxxx,txx,txxtxxxxtxxxxxtxxftxxxtxxfxxdef21212121212222222 1 0 , , , , :于是得考虑到 :这样上式又可改写为表示,并用近似地视为一个常量,则变化都很小,和如果变量 则有 定义 先把上式改写为在应用法作图时,0, txxfx 2021-11-14第十章 非线性控制系统24.0 ,0 ,229 , ,111120102221111212121222212121rabrxxaxxrxtxxfrxxxxxxrc和径分别为圆弧的圆心位置和半来表示,为半径所作的小圆弧为圆心,似地用以迹可近则

9、通过a点附近的相轨,的相平面上任取一点例如在图式中则上式变为令例9-4 已知非线性系统的微分方程为 相轨迹法绘制起始于初始点的试用,00, 100 3xxxxx 解 将微分方程改写为xxxxxxxxxxx232232321 则,令图图9-23 用用法绘制相轨迹法绘制相轨迹2021-11-14第十章 非线性控制系统25方法作出.相轨迹其余圆弧用相同.0 x0.12,x圆心的位置pab从而确定了第一段圆弧求出精确的值,平均值,x和取这段圆弧上的x为了提高作图的精度,据此作一圆弧,1,r0,由初始条件求得1 11图图9-25 x(t)与与t的关系曲线的关系曲线图图9-24 x-x平面上的相轨迹平面上

10、的相轨迹 所示为图据此作出瞬态响应曲线 的时间同理可求出由b到c点的时间到点从相轨迹上点即平均速度,的来代替该区间内的平均值区间内可近似用和对于小增量的所示,设系统的相轨迹如图259, ,249txxxtxxtbaxxtxxxxtxbcbcbcabababavav2021-11-14第十章 非线性控制系统26 为了研究系统在奇点附近的行为，或者说了解系统在奇点附近的相轨迹特征，需要先把系统的微分方程在奇点处作线性化处理。设系统的微分方程式axxxaxaxxaxaxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfffxxfxxxfx 2! 212!

11、 21,. 00 , 0, 00 , 0, , 22212122121111220,02222210,0212210,0212220,02210,0122220,02212210,0211220,0211220,02110,01112122112122112121222111于是得项,略去二次项及以后的各即有数,在原点附近展开泰勒级和将为解析函数和即假设坐标原点为奇点,2021-11-14第十章 非线性控制系统27 平面上的相轨迹方程且和的特征值为为非奇异矩阵,则有,令 z- 00 ,211221211222211121212121210,022220,012210,021120,011112

12、2211211zczzzdzdzzzzzapzzzzpzxxfaxfaxfaxfaaaaaa平面上的稳定节点在平面上的稳定节点在特征值的分布2121, , )xxc)zzb)a图图9-271) 节点2021-11-14第十章 非线性控制系统28 如果系统的两个特征根为相异的负实数，对应的奇点称稳定节点。此时 2211212121121221211212121212121212121212122112121112 1 11 10 ,0 ,00, 0 211zzzzxxxxxxxxpzzppzxxxxxxxxxxxxxxzezzezzzkzczttk 或写作 于是得 其中,若令则上式改写为,记写出

13、系统的微分方程为和由则需进行下列线性变换平面上的相轨迹,若要画出在来确定,和方向要能过考察相平面上相轨迹的运动在 如果系统的两个特征根为相等的正实数，则对应的奇点称不稳定节点。其相轨迹见图9-28。2021-11-14第十章 非线性控制系统29平面上的鞍点在 平面上的鞍点在 特征值的分布2121, , )xxc)zzb)a对应的相轨迹方程为: 0 ,299,0 21212122121122211222xxxxxtzzzbzzkczzzczkk 平面上的相轨迹可画出在经过非线性变换后,不稳定的.鞍点表示的平衡状态是鞍点,这种奇点称为的增长而远离奇点.随着时间其余所有的相轨迹都将外,除了分隔线4个

14、不同的区域.且它们将相平面分隔成本身也是相轨迹,和坐标轴在特定的初始条件下,所示,相平面上相轨迹为图在,或2021-11-14第十章 非线性控制系统30221121212112122121121212121212121 1 11 10 zzzzxxxxxxxxpzzppzxxxxx, xx,xx或写作于是得其中,若令则上式改写为记3) 焦点焦点如果系统的特征根是一对位于如果系统的特征根是一对位于s左半平面的共轭复根，对应的奇点称稳定左半平面的共轭复根，对应的奇点称稳定焦点；反之，为不稳定焦点。焦点；反之，为不稳定焦点。是由初始条件确定.和初相角系数式中,令aeaeeaezzzzjjzzjtjt

15、tjt2121212,1 00 , , 2121平面上的不稳定焦点平面上的不稳定焦点在在平面上的稳定焦点平面上的稳定焦点在在yyb)yya)2021-11-14第十章 非线性控制系统31稳稳定定焦焦点点相相轨轨迹迹均均卷卷离离奇奇点点为为不不如如果果定定焦焦点点相相轨轨迹迹均均卷卷向向奇奇点点为为稳稳如如果果则则其其中中令令0;02 sin2cos211 2212210011 11 2221212111aeyytaetaezzjjpzyyyyjjjjjjypapyjjpypzttt如果系统的特征根为一对共轭虚根，即1,2=j对应的奇点称为中心点。积分常数c为与初始条件有关的式中,即 由于221

16、2211222112122212121 00 cyydyydyyyydydyyyyyyyyy 平面上的中心点在 平面上的中心点在2121, , xxb)yya)2021-11-14第十章 非线性控制系统32非线性系统的运动除了具有线性系统的发散和收敛两种模式外，还有一种运动模式自持振荡，自持振荡在相平面上表观为一个孤立的封闭轨迹线极限环。下面以范德波尔（van der pol）方程为例说明极限环的稳定性。已知方程 不稳定极限环稳定极限环b)a)时的极限环.相当于最后相轨迹进入值也随之减小,的减小,值x动.随着振幅不断衰减的阻尼运作使方程所描述的系统,若初始值求得相比较,方程把上式与下列线性微分

17、00, 11202 01 22xxxxxxxxxx 2021-11-14第十章 非线性控制系统33一个不稳定的极限环可推出对应该方程的是,用上述相同的分析方法如范德波尔方程改为为不稳定极限环.反之限环;这种极限环称为稳定极迹若均趋向于它,极限环内外两侧的相轨迹都卷向极限环.使极限环内部的相轨来越大,相应系统使x的幅值越,若初始值0 01 0, 12mxxxxx 2021-11-14第十章 非线性控制系统341) 当系统的非线性方程可解析的，可根据其线性化方程式根的性质去确定奇点的类型，然后用图解法式解析法画出奇点附近的相轨迹。例9-5 求下列方程所描述系统的相轨迹图，并分析系统奇点。的稳定性0

18、25 . 02xxxx 2) 当系统的非线性方程非解析的，则通过将非线性元件的特征作分段线性化处理，即把相平面分成若干个区域，每一个区域有一个相应的微分方程和奇点。只要把各个区域内的相轨迹依次连接起来，就可得到系统完整的相轨迹图。解: 奇点为（0，0）和（-2，0）2021-11-14第十章 非线性控制系统35在原点附近，线性化后的方程为该奇点为稳定焦点.由此可知,特征方程39. 125. 0022 . 0 025 . 0 2, 12jxxx 在奇点（-2，0）附近，对方程作如下改写为鞍点点对应的奇点由此可知,特征方程上式近似表示为附近,在则原方程变为,令69. 1,19. 1025 . 00

19、25 . 00, 0025 . 022122yyyyyyyyyxy 图图9-33 例例10-5的相轨迹的相轨迹2021-11-14第十章 非线性控制系统36如果状态的初始点位于图中的阴影区域内，则相轨迹均收敛于坐标原点，相应的系统是稳定的。反之，初始状态若位于阴影区域外，相轨迹均趋向于无穷远，系统不稳定。非线性系统的稳定性与初始状态有关。例9-6 一非线性系统如图9-34所示，试求在阶跃输入r(t)=r0和斜坡输入r(t)=vt(v0)时的相轨迹。 输出特性饱和非线性的输入非线性控制系统b)a) 图图9-342 . 0, 2 . 0, 4,10mekst图中解：由图得35所示的三个区域把相平面

20、分割图9特点,根据饱和非线性特性的所以上式改写为,因为 tkmeetcekmcct 图图9-34 相平面的区域划分相平面的区域划分2021-11-14第十章 非线性控制系统37 0000eeetkeeeteetkmeeteetkeeet eemeemeeem 的方程三区不同的区域所对应得b34由图9 0000eeeeee0kmeetee0kmeettkmetkmeeekeeettee11 20 0, 0,100 或写作系统的方程为在饱和区域和内,饱和区域节点只能为稳定焦点或稳定0,0所以奇点正值,由于方程各项系数均为线性区域当当2021-11-14第十章 非线性控制系统38 时的相轨迹.当图a

21、迹见图区域和部分的相轨则得即率,的斜率等于等倾线的斜轨迹为一簇水平线.若令相它们相轨迹的等倾线都点存在,在区域和内没有奇tbkmekmedeed12369369 000eeee图图9-34 的相轨迹)阶跃信号作用下系统范围内的相轨迹ba)0ee 000000eeeee-evkmeeteevkmeeteetkmvetkmveeeekvkvvkeeetevkmeetvvtt11 20 , 1 00 或写作饱和区还是小于的值是否大于这取决区域外,也可以在本,此奇点可以在本区域内奇点为则原方程改写为常数,其中令2021-11-14第十章 非线性控制系统39 统又一明显不同之处.系这是非线性系统与线性条件有关,它的大小与系统的初始来表示,op系统的稳态误差由线段的相轨迹可知,由图当其值但有稳态误差,输入,系统的输出能跟踪斜坡可知,由图内,位于区域故奇点由于轴的下方,位于渐近线,当误差是无穷大这种情况下系统的稳态由相轨迹图可知,而是落在区域不位于区域内,由,即,当三种情况的渐近线有对于区域渐近线ctetedeedteeetkveekmvkvebkvekvekmveekmvekvkevkmvkmvekmvess3791, 0, 01 01 0 , 0,)3.3790