高一数学第一章集合总复习第二章部分知识讲解

1、高一数学必修 1 第一章集合 总复习一、集合及其基本概念1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合。集合常用大写字母 A,B,C,D, 标记。集合中的每个对象叫作这个集合的元素。集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。注意：集合 0与空集的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。2、元素与集合的关系一个集合 A 与一个对象 a ，要么 a 是 A 中的元素，记作 aA （读作 a 属于 A ）；要么 a 不是 A 中的元素，记作 aA（读作 a 不属于 A ）。这个性质即为集合中元素的确定性。在元素与集合之间，只能用或表示，它们之间只存在这两种关系。3、集合的表示方法我们用列

2、举法与描述法表示一个集合。列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。描述法就是通过描述集合中 所有元素 的共同特性来表示 集合，一般写作x | x具有某种特性。我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用 N 表示；正整数集可以用N + 表示；整数集可以用 Z 表示；有理数集可以用 Q 表示；实数集可以用R 表示。二、集合与集合的关系1、子集对于两个集合 A 和 B ，如果集合 A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 AB 。任何集合都是自己的子集； 空集是任何集合的子集。2、真子集对于两个集合 A 和 B ，如果集合 AB ，并且 B 中至

3、少有一个元素不属于A ，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A B 。含有 n(n N* ) 个元素的有限集合的子集个数为2n 个，真子集个数为 2n1 个，非空子集个数为 2n1个，非空真子集个数为 2n2个。3、相等的集合对于两个集合 A和B，若AB且 BA则称集合 A与集合 B相等，记作 A B。也就是说，集合A 和集合 B 含有完全相同的元素。由定义可知，要证集合A 与 B 相等，只需证明 AB 且 BA 。三、集合的运算集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。1、交集(1) 定义由集合 A 与集合 B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与 B 的交集，记作

4、“ AB ”。即 A Bx | x A且 x B 。(2) 交集的性质A B B A；A A A；A； ABA, ABB；若 A BA，则 AB ；反之亦然。2、并集（ 1）定义由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合A 与B 的并集，记作“ AB”。即 A Bx | x A或 xB 。（ 2）并集的性质A B B A；A A A；AA ； AAB, BAB；若 A BB，则 AB ；反之亦然。2、并集（ 1）定义由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合A 与B 的并集，记作“ AB”。即 A Bx | x A或 xB 。（ 2）并集的性质A B B

5、 A；A A A；AA ； AAB, BAB；若 A BB，则 AB ；反之亦然。高一数学必修 1 第二章函数1、函数的定义（ 1） 古典定义：如果在某个变化过程中有两个变量x ，y ，对于 x 在某个范围 D内的每一个确定的值按照某种对应法则f ， y 都有唯一的值与它对应， 那么 y 就是 x 的函数，记作yfx ， x 叫做自变量， x 的取值范围 D 叫做函数的定义域，和 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（ 2） 现代定义：非空数集 A 到非空数集 B 的一个映射 f： AB（即 A 中每一个元素在 B 中都有唯一的元素和它对应）叫做A 到 B 的函数，

6、记作y f x ，其中 x A， yB ，原象集 A 叫做函数的定义域，象集 C 叫做函数的值域（一般有 CB ）注意点： 函数定义中要求对定义域中的任何一个x ，在值域中有且只有一个 y 值和它对应；但并不要求对于值域中的每一个y 也只能有一个 x 和它相对应，即函数的对应法则可以是1 对 1，也可以多对 1，但不可以 1 对多（即定义域中一个 x 对应值域中一个以上的y ） 定义域与值域都必须是非空数集定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法（注意区间端点必须是实数） 函数的表示法有： 1 解析法； 2 图像法； 3 列表法其中，列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观

7、。但是，它只能表示有限个元素间的函数关系。 图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势。 解析法将函数的对应关系用自变量的解析表达式表示出来， 是表示函数的一种主要方法， 当函数解析式是用两个或两个以上的数学式子给出时， 就成为分段函数， 分段函数的定义域为它在各段上定义域的并集2、函数的三要素函数的三要素为：定义域、值域、对应法则其中对应法则是核心注意点：两函数相同的充要条件是函数的三要素相同， 但因为当函数的定义域和对应法则一旦确定， 函数值域也就随之确定， 因此判断两函数相同， 则只需看定义域和对应法则是否一致 （值域对应法则相同，不一定有定义域相同）3.映射：设A

8、, B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 ,那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 .如果集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中元素 y ,那么集合 A 中的元素 x 叫集合B 中元素 y 的原象 ,集合 B 中元素 y 叫合 A 中的元素 x 的象 .映射概念的理解(1)映射 f : A B 包含三个要素 :原像集合 A, 像集合 B(或 B 的子集 )以及从集合 A 到集合 B 的对应法则 f .两个集合 A,B 可以是数集 ,也可以是点集或其他集合 . 对应法则 f

9、可用文字表述 ,也可以用符号表示 .映射是一种特殊的对应关系 ,它具有 :(1)方向性 :映射是有次序的 ,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的 ;(2)任意性 :集合 A 中的任意一个元素都有像 ,但不要求 B 中的每一个元素都有原像 ;(3)唯一性 :集合 A 中元素的像是唯一的 ,即不允许 “一对多 ”,但可以 “多对一 ”. 函数与映射的关系函数是一种特殊的映射 .映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射 f : AB函数 y f ( x), x A, yB集合 A,B可为任何集合 ,其元素可函数的定义域和值域均为非空的数以是物 ,人 ,数等集对于集合 A 中任

10、一元素 a ,在集合 B对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的像中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素 b在集合A中对值域中每一个函数值,在定义域,不一定有原像中都有确定的自变量的值与之对应注：函数是特殊的映射 ,映射是函数的推广 .注意（1）函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应 f：AB。这里 A ，B 为非空的数集。（2）A ：定义域，原象的集合； f (x) | x A ：值域，象的集合，其中 f ( x) | x A B； f：对应法则， x A ， y B（3）函数符号： y = f (x) ， y 是 x 的函数，简记f (x)4、函数的定义域和值域：

11、（1）一次函数 f (x) = ax b ( a 0)：定义域 R ，值域 Rk（2）反比例函数f (x) = x ( k 0)：定义域 x | x 0 ，值域 y | y 0（3）二次函数f (x) = ax 2 bx c ( a 0)：定义域 R ，值域：当 a 0 时，4 acb 24 acb 2 y | y 4 a；当 a 0 时， y | y 4 a。5、函数的值：关于函数值f ( a)例析：若 f ( x) = x 23 x 1，求 f (2) 。解： f (2) =223× 2 1=11注意（1）在 y = f ( x) 中 f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样；（

12、2） f ( x) 不一定是解析式，有时可能是“列表” 、“图象”；（3） f ( x) 与 f (a) 是不同的，前者为变数，后者为常数， f (a) 是 f (x)的一个特殊值。6、区间的概念设 a 、 b 是两个实数，而且 a b ，我们规定：（1）满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 a , b ；（2）满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（a , b ）；（3）满足不等式 a x b 或者 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，表示为 a, b) 、 ( a,b ；（4）实数集 R 可以用区间表示为 （ ,）；满足不等式 x

13、a ， x a ，x b ， x b 的实数 x 的集合可以分别表示为 a , ) ，（ a ,），（ , b ，（ , b ）。注意注意集合与区间之间的关系：区间是数集， 表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如a x a 。三、实例提升例析例 1、设集合 M= x x 2 ，N=y|0y 2 ，从 M 到 N 有 4|0种对应如下图所示：其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 。解析根据对应的含义和函数的概念，可以看出能表示M到N的函数关系。例析例 2、求下列函数的定义域：11f ( x) f (x) = 3x2 ； f ( x) = x 1 2 xx 2

14、 ；解析函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y = f ( x) ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 x 的集合。1解： x 2=0，即 x =2 时，分式 x2 无意义，1而 x 2 时，分式 x 2 有意义这个函数的定义域是 x | x 2 。2 3 x 2<0，即 x 3 时，根式3x2 无意义2而 3 x 2 0，即 x 3 时，根式3x2 才有意义2这个函数的定义域是 x | x 3 。当 x 1 0 且 2 x 0，1即 x 1 且x 2 时，根式x1和分式2x 同时有意义这个函数的定义域是 x | x 1 且 x 2另解

15、：要使函数有意义，必须：x 1 0 且 2 x 0x 1 且 x 2这个函数的定义域是： x | x 1 且 x 2强调解题时要注意书写过程， 注意紧扣函数定义域的含义。 由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型：（1）当 f (x) 为整式时，定义域为 R ；（2）当 f (x) 为分式时，定义域为使分母不为0 的 x 的集合；（3）当 f (x) 为 n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x 的集合；（4）当 f (x) 是由几个式子组成时，定义域是使各个式子

16、都有意义的x 的取值的集合。例析例 3、已知函数 f (x) =3 x 25 x 2，求 f (3) ， f (2) ， f (a 1) 。解析解： f(3)=3×325×32=14；f (2) =3×(2 )25×( 2 )2=852 ；f (a1)=3(a 1)2 5( a 1)+2=3 a2 a 。例析例 4、下列函数中哪个与函数y = x 是同一个函数？（1） y( x )2 ；（2） y3 x 3；（ 3） yx 2解析解：（1） y = x ， x 0， y 0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（2） y = x ， x R ， y R

17、 ，定义域值域都相同，是同一个函数；x( x0)（3） y =| x |=x( x0) ， y 0；值域不同，不是同一个函数。例析例 5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？( x3)( x5)y1x 3y2 x 5（1）（定义域不同）（2）y1x 1 x 1y2(x 1)( x 1)（定义域不同）（3） f1 (x)( 2x 5) 2f2 ( x)2x 5（定义域、值域都不同）注意两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练反馈f (x)3x 21)lg( 3x1、函数1 x的定义域是（）(1 , )(1 ,1)( 1, 1)A3B3C 332、下列各组，函数f ( x) 与 g( x) 表示同一个函数的是（A f ( x) =1， g ( x) = x 0B f ( x) = x 0C f ( x) = x 2， g( x) = ( x) 4D f ( x) = x 3， g( x) = (3(,1)D3）x