第十二章第1节微分方程的基本概念56997

1、1第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 引例引例1: 一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点在该曲线上任意点处的切线斜率为处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程求该曲线的方程 . 解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系则有如下关系式式:xxdyd2xdxy2cx 2(c为任意常数为任意常数)由由 得得 c = 1 ,.12 xy因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为21xy由由 得得2引例引例2. 列车在平直线路上以列车在平直线路上以sm20的速度行驶的速度行驶,制动时制动时获得加速度获得加速度,4 . 02sma求制动后列车

2、的运动规律求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 , 即求即求 s = s (t) .已知已知4 . 022tdsd,00ts200ttdds由前一式两次积分由前一式两次积分,可得可得2122 . 0ctcts( 为任意常数为任意常数 )21, cc利用后两式可得利用后两式可得,0,2021cc因此所求运动规律为因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住停住 , 以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程 . 34 . 022tdsd,00ts

3、200ttdsd1、含未知函数及其导数或微分的方程叫做、含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程微分方程 ,3 3、方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方、方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的程的阶阶. .引例引例1引例引例2xxdyd221xy:几个基本概念几个基本概念,2xyy 如如0 ydxxdy。分分方方程程称称为为常常微微分分方方程程、只只有有一一个个自自变变量量的的微微2022 yyxyx)(二阶二阶04 xyyy)(三阶三阶44、若函数代入方程能使方程成为恒等式、若函数代入方程能使方程成为恒等式 , 则称此函数则称此函数为为微分方程的微分方程的解。解。(1) 解中

4、所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程特解的条件称为特解的条件称为初始条件初始条件;cxy22122 . 0ctctstts202 . 02的阶数相同的阶数相同 , 这样的解称为微分方程的这样的解称为微分方程的通解通解 ;5、用来确定、用来确定4 . 022tdsd,00ts200ttdsd引例引例1引例引例2xxdyd221xy12 xy.)2(特特解解不不含含任任意意常常数数的的解解称称为为.如上两例中如上两例中.如上两例中如上两例中56、微分方程解的图形称为方程的、微分方程解的图形称为方程的积分曲线积分曲线 .) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyx

5、yyxyyxy对对 n 阶方程有阶方程有n个初始条件个初始条件,线线族族通通解解的的图图形形就就是是积积分分曲曲,的的曲曲线线线线族族中中的的一一条条确确定定特特解解的的图图形形就就是是积积分分曲曲6例例1. 验证函数验证函数是微分方程是微分方程t kct kcxsincos2122tdxd的解的解 , 并求满足初始条件并求满足初始条件,0axttdxd的特解的特解 . 解解: tdxdtkkccos222tdxdt kkcsin22)cossin(212t kct kckxk2这说明这说明tkctkcxsincos21是方程的解是方程的解 .显然显然 是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数

6、 , 故它是方程的通解故它是方程的通解21,cc21,(cc为常数为常数)tkkcsin1t kkccos2102xk0t07例例1. 验证函数验证函数是微分方程是微分方程t kct kcxsincos2122tdxd的解的解 , 并求满足初始条件并求满足初始条件,0axttdxd的特解的特解 . tkctkcxsincos2121,(cc为常数为常数)02xk0t0是方程的通解是方程的通解 .利用初始条件易得利用初始条件易得 ,1ac 故所求特解为故所求特解为tkaxcos,02c8求该曲线满足的微分方程求该曲线满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点已知曲线上点 p(x,y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为q , 且线段且线段pq 被被 y 轴平分轴平分,pqxyox解解: 如图