最优控制中的变分法

1、第1章 最优控制中的变分法第1章 最优控制中的变分法本章主要内容：q 1.1 变分的基本概念q 1.2 无约束条件的最优化问题q 1.3 具有等式约束条件的最优化问题q1.4 应用变分法求解最优控制问题第1章 最优控制中的变分法1.1 变分的基本概念例1-1 最速降线问题 最速降线问题对变分学的创立产生过重大影响。 确立一条连结定点a(0，0)和定点b(xf，yf)的曲线。使质点在重力作用下从点a滑动到点b所需的时间最短(忽略摩擦和阻力的影响)。 解：最速降线问题的示意图如下ftdtxyj0) 11 ()()21 (2212gydtdsvmgymv)31 (212)()(2222dxgyygy

2、dydxgydsdt)41 (21)(02dxgyyxyjfx第1章 最优控制中的变分法(1)泛函的概念函数：对于变量x的某一变域中的每一个值，y都有一个值与之相对应，那么变量y称作变量x的函数。记为： y=f (x)x称为函数的自变量自变量的微分：dx=x-x0 （增量足够小时）泛函：对于某一类函数y()中的每一个函数y(x)，变量j都有一个值与之相对应，那么变量j称作依赖于函数y(x)的泛函。记为： j=j y(x)y(x)称为泛函的宗量宗量的变分：)()(0 xyxyy例1-1问题的本质：泛函极值第1章 最优控制中的变分法泛函的连续性： 对任意给定的正数，总存在另一个正数，当 则称泛函j

3、y(x)在点y0(x)处是连续的。两个函数接近度的概念：k阶接近度时,.)()(,.,)()(,)()()(0)(00 xyxyxyxyxyxykk)()(0 xyjxyj零阶接近度一阶接近度第1章 最优控制中的变分法线性泛函： 泛函jy(x)如果满足下列两个条件： )()()()() 12121xyjxyjxyxyj)()()2xycjxcyj 则称为线性泛函。 第1章 最优控制中的变分法(2)泛函的变分设泛函jy(x)为连续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分：记为： j。 可以证明，泛函的变分是唯一的。如何求解泛函的变分？ 借鉴函数f(x)微分的求解：)51 ()()()()(00

4、xdfdxxfdxdxxfdxxfx 与（1-5）类似，可得出泛函jy(x) 的求解： )61 ()()()(0 xyxyjxyj第1章 最优控制中的变分法例：求下列泛函的变分例：求下列泛函的变分 fttdttxj0)(2dttxtxdttxtxtxdttxtxtxtxjjffftttttt)()(2|)()()( 2|)()(|)()(0000020第1章 最优控制中的变分法(3)泛函的极值泛函极值的定义： 对于与y0(x)接近的曲线y(x)，泛函jy(x) 的增量 则泛函jy(x) 在曲线y0(x)上达到极值。0)()(0)()(00 xyjxyjjxyjxyjj或泛函极值定理： 若可微泛

5、函jy(x)在y0(x)上达到极值，则在y= y0(x)上的变分为零。即)71 (0j第1章 最优控制中的变分法证明如下：根据函数极值的条件，函数()在=0时达到极值的必要条件为：)91 ()()()()(0000ddxyxyjxyj)81 ()()()(00 xyxyj)101 (0)(0dd比较（1-9）和（1-10），可见：)111 (0)(0 xyj第1章 最优控制中的变分法1.2 无约束条件的最优化问题1端点固定的情况 了解泛函极值的概念后，再来研究最速降线问题。其目标函数为： 不失一般性，可写为：)121 ()(),(,0fxdxxyxyxlj)131 ()(),(,0fttdtt

6、xtxtlj问题为：确定一个函数x(t)，使jx(t) 达到极小（大）值。这条能使泛函jx(t) 达到极值的曲线称为极值曲线（轨线），记作： x*(t)对于端点固定的情况，容许轨线x(t)应满足下列边界条件：)141 ()()(00ffxtxxtx对（1-13）求取泛函极值的思路：求取泛函的变分（通过泰勒展开，求取泛函增量的线性主部，）第1章 最优控制中的变分法容许轨线是由极值曲线微小摄动而成，即)151 ()()()(*ttxtx)161 (0)()(0ftt将（1-15）式代入（1-13）)191 (),()(),()()(0*fttdttttxttxlj)201 ()()()()()()

7、(00*ffttttdtldtrttxlttxlljjj)181 (),(),(0*fttdtttxtxlj)171 ()()(ttx)211 (0fttdtxxlxxlj第1章 最优控制中的变分法)211 (0fttdtxxlxxlj对式（1-21）中被积函数第二项分部积分(消去 ）)221 ()()(0000ffffttttttttxdtxldtdxldtxldtdxxxldtxxlj根据泛函极值的必要条件，可得欧拉方程)231 (00)(xxldtdlxldtdxl或欧拉方程的展开形式：)241 (002222xlxlllxxlxxxlxtlxlxxxxx tx 或x 第1章 最优控制中

8、的变分法欧拉方程的特殊形式（l不显含t时)261 (0)()()(22dtdxxldtdxltxtlxldtdxldtdx)251 (,xxll)271 (0 xlxldtd)281 ( cxlxl第1章 最优控制中的变分法再来回顾最速降线问题，其指标函数为：gyyxyxylldxgyyxyjfx21)(),(21)(202代入（1-28）式：)291 ()1 (22122cygyyygyylyly整理、简化后可得若用参数法求解，令 ，可得这是圆滚线的参数方程。.21,12121gccycyctgy )cos1(2)sin(211cycx第1章 最优控制中的变分法关于欧拉方程的几点说明：q 欧

9、拉方程是泛函极值的必要条件，是否充分还需进一步判断。 （参见p56 “泛函极值的充分条件勒盖特条件）q欧拉方程是二阶微分方程，只有在个别情况下才能得到封闭形式的解。（如最速降线问题） 2端点变动的情况 （例如，拦截问题） 始点x0在曲线x=(x)上变动终点xf在曲线x=(x)上变动第1章 最优控制中的变分法端点变动时泛函极值的必要条件： （推导过程略） （1）欧拉方程 )301 (0)(xldtdxl（2）横截条件 )311 (0)(ftxlxl)321 (0)(0txlxl)()()(00ffttxxtxftfxtxttx)()()(00第1章 最优控制中的变分法x21 0 1 2 t例：确

10、定点例：确定点a(0,1)至给定直线至给定直线 的最短的曲线方程。的最短的曲线方程。tt 2)(解：由解：由a至至 的弧长的弧长 性能指标为性能指标为由欧拉方程：由欧拉方程：积分得，积分得， 再积分，得通解再积分，得通解 dtxdxdtds2221)()(dtxtxjft021)(0)1(2xxdtd,1,122accxcxxbattx)(根据始端条件：根据终端横截条件，得最优轨线方程：1, 1)0(bx101)1(1)(22axxxaxlxlftx1)(*ttx第1章 最优控制中的变分法1.3 具有等式约束条件的最优化问题 在最优控制问题中，泛函jx(t)所依赖的函数往往会受到定约束条件的限

11、制。在动态最优化问题中，由于受控系统的数学模型往往用微分方程来描述，所以等式约束就是系统的状态方程。 解决具有等式约束条件的最优化问题的基本思路，就是应用拉格朗日乘子法，将有约束条件的泛函极值问题转化为无约束条件的泛函极值问题。1.微分约束ftffxtxxtxtttttutxfx)()(,)331 (),(),(000问题：已知受控系统状态方程为目标泛函为：)341 (),(),(0fttdtttutxlj求最优控制u*(t)，使系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)， 其目标函数j取极值。（两点边值问题）第1章 最优控制中的变分法 这里，为了将有约束条件的泛函极值问题转化为无约束条

12、件的泛函极值问题，可应用拉格朗日乘子法。为此，引入待定的n维拉格朗日乘子向量(t)，即)351 ()()()()(21tntttt构造一个新的辅助泛函：)361 ()(),(),()(),(),(0ftttdttxttutxftttutxlj定义哈密尔顿(hamilton)函数h： （将 分离出去）)371 (),(),()(),(),(),(),(),(ttutxftttutxltttutxht代入（1-36）式fftttttdttttutxtxfdtxhj00),(),(),(),()381 ()(tx 第1章 最优控制中的变分法 多元辅助泛函j的欧拉方程为：fftttttdttttutx

13、txfdtxhj00),(),(),(),()381 ()391 (00 xhxfdtdxf)401 (0fxhfdtdf)411 (00uhufdtduf协态方程状态方程控制方程正则方程组 根据上述三个方程，加上边界条件，可得最优控制问题的唯一确定解 思考： ， 给定， 自由时的情况。00)(xtx)(ftxft第1章 最优控制中的变分法2.端点等式约束（等式约束的更一般形式)0),()()421 (,),(),(000fffttxxtxtttttutxfx问题：已知受控系统状态方程为目标泛函为：)431 (),(),(),(0fttffdtttutxlttxj求最优控制u*(t)，使系统从

14、初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)， 其目标函数j 取极值。根据一个微分约束，一个端点约束，共需引入2个拉格朗日乘子向量，构成新的辅助目标泛函：第1章 最优控制中的变分法)441 ()(),(),(0ftttfftffdtxflttxvttxj用分部积分法消去极值的必要条件是一阶变分为零)(tx ffftttttttttdttxtxdttx000)()()()451 ()()(),(),(),()()()()(),(),(000fttttfftfftffdttxtttuttxhtxttxtttxvttxj0)()461 ()()(0dtuhuxhxxvxtdxxhxttvtdtujux

15、jxtxjtdxtjdtjtttttttfttftftffttttffttfffffff第1章 最优控制中的变分法)481 ( xh)471 (,tuxfhx)491 (0uh（2）协态方程（1）状态方程（3）控制方程 （极值条件）（4）端点约束)491 (0),()481 ()(00ffttxxtx泛函极值必要条件为：取值的任意性，推知由uxtdxdtff,),(,（5）横截条件)501 ()()()(vtxtxtftff)511 (0)(ftfftvtth思考：?/dtdh第1章 最优控制中的变分法1.4 应用变分法求解最优控制问题 用变分法求解连续系统最优控制问题，实际上就是具有等式约束

16、条件的泛函极值问题，只要把受控系统的数学模型看成是最优轨线x(t) 应满足的等式约束条件即可。1.变分法中的三类基本问题)521 (),(),(ttutxfx 受控系统状态方程目标泛函为：)531 (),(),(0fttdtttutxlj拉格朗日(lagrange)问题：梅耶（mayer)问题：)541 (),(),(0fttttutxj波尔扎（bolza)问题：)551 (),(),(),(),(00ffttttttutxlttutxj第1章 最优控制中的变分法2.变分法应用示例已知系统状态方程) 1 (100010uxx边界条件为：)2(0)0()0()0(021xxx) 3(00)()(

17、)(12111txtxtx性能指标为：)4(,)(211021给定tdttujt1）写出h函数uxuuxuflht2212221221)5(212）由控制方程推导u的表达式22)6(0uuuh解:3）求解协态方程2121211121)7(0ctcctcxh第1章 最优控制中的变分法4）求解状态方程5）利用边界条件求解c c21221ctcuxxx)5(2161)4(21432231132212ctctctcxctctcx6）写出最优控制)将代入j求出最优性能指标j 8)写出最优轨线)(),(2*1*txtx解毕！上例中当存在端点约束时，如)2(0)0()0()0(021xxx) 3(0)()(

18、)(12111自由txtxtx求解步骤1)-4)相同，5）中所需边界条件的变动为：及横截条件)(),0(),0(1121txxx0)()()(121212vtxtxtt*横截条件用于补充所缺边界条件第1章 最优控制中的变分法作业作业1。系统的状态方程为：。系统的状态方程为：初态初态 。欲使系统从初态转移到目标集。欲使系统从初态转移到目标集且使性能指标且使性能指标为最小的最优控制为最小的最优控制 及最优轨线及最优轨线 。uxx1000100)0(, 0)0(21xx1) 1 () 1 (21 xx10221dtuj)(*tu)(),(*2*1txtx第1章 最优控制中的变分法第1章 要点q 无约束条件下泛函极值必要条件（欧拉方程，横截条件）q微分型和端点等式约束下泛函极值必要条件（波尔扎问题的解）tf目标集目标集( (t tf f) )h固定固定未知未知自由自由固定固定未知未知自由自由未知未知固定固定自由自由横截条件横截条件等式约束条件下的极值条件必要条件一览表等式约束条件下的极值条件