第十二章第1节微分方程的基本概念56895

1、2第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 引例引例1 一曲线通过点一曲线通过点(1,2), ,在该曲线上任意点处的切在该曲线上任意点处的切线斜率为线斜率为2x, ,求该曲线的方程求该曲线的方程. . 解解 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , ,则有如下关系式则有如下关系式,2xxdyd,2 xdxy,2cxy (c为任意常数为任意常数)由由得得 c = 1 ,.12 xy因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为. 21xy由由得得3引例引例2 列车在平直线路上以列车在平直线路上以sm20的速度行驶的速度行驶, ,制动时制动时获得加速度获得加速度,4 . 02sma求

2、制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律. .解解 设列车在制动后设列车在制动后t秒行驶了秒行驶了s 米米, ,即求即求s = s (t) .已知已知4 . 022tdsd,00ts.200ttdds由前一式两次积分由前一式两次积分, ,可得可得2122 . 0ctcts( 为任意常数为任意常数 )21, cc利用后两式可得利用后两式可得,0,2021cc因此所求运动规律为因此所求运动规律为.202 . 02tts说明说明 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住停住, , 以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程. . 4, 4 . 02

3、2 tdsd,00 ts.200 ttdsd1.含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程, ,3.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶的阶. .引例引例1引例引例2,2xxdyd . 21 xy几个基本概念几个基本概念,2xyy 如如. 0 ydxxdy. 2方方程程称称为为常常微微分分方方程程只只有有一一个个自自变变量量的的微微分分0)(22 yyxyx二阶二阶0)(4 xyyy三阶三阶54.若函数代入方程能使方程成为恒等式若函数代入方程能使方程成为恒等式, ,则称此函数为则称此函数为微分方

4、程的解微分方程的解. .(1)解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同, , 特解的条件称为初始条件特解的条件称为初始条件; ;.2cxy .2 . 0212ctcts .202 . 02tts 这样的解称为微分方程的通解这样的解称为微分方程的通解; ;5.用来确定用来确定, 4 . 022 tdsd,00 ts.200 ttdsd引例引例1引例引例2,2xxdyd . 21 xy. 12 xy.) 2(特特解解不不含含任任意意常常数数的的解解称称为为.如上两例中如上两例中.如上两例中如上两例中66.微分方程解的图形称为方程的积分曲线微分方程解的

5、图形称为方程的积分曲线. .)(,)(,)() 1(00) 1(0000nnyxyyxyyxy对对 n 阶方程有阶方程有n个初始条件个初始条件.线族线族通解的图形就是积分曲通解的图形就是积分曲.的的曲曲线线线线族族中中的的一一条条确确定定特特解解的的图图形形就就是是积积分分曲曲7微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;四、小结8263112p习题习题) 3( 4),2( 3),4)(2( 29思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?10思

6、考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.11三三、设设曲曲线线上上点点),(yxp处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为q, ,且且线线段段pq被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cqdtdqrdtqdl是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21cxcy 所含的参数所含的参数, ,使其使其 满足初始条件满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练练 习习 题题12四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,为为任任意意常常 数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的