第十二章第2节可分离变量的微分方程58289

1、2第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形如xdxfydyg)()(的一阶微分方程叫做已分离变量方程已分离变量方程 .设 是方程的解 , )(xyxdxfxdxxg)()()(两边积分, 则有ydyg)(,)(xdxf即cxfyg)()(称为通积分通积分)形如)()(21yfxfxdyd的方程都叫做可分离变量方程可分离变量方程 . 可化为已分离变量形式求解.则有恒等式 0 )( )(11xnxdxmydynym)( )(22或 5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 3例例1. 求微分方程yxxdyd23的通解.解解: 分离变量得xdxyyd23两边积分xdxyy

2、d23得13lncxycxylnln3即13cxey31xcee3xec令1cec( c 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.如此例, y = 0 也是原方程的解 , 但在变量分离时丢失了此解.4例例2. 解下述初值问题0)1(2ydxxdyx解解: 分离变量得xdxxyyd21两边积分得cxyln11lnln2即cxy12由初始条件得 c = 1 112xy( c 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y5求方程 的通解 . yxexdyd解法解法 1：分离变量xdeydexyceexy或01)(yxece( c 0 )解法解法 2: 令 ,y

3、xu则yu1故有ueu1积分cxeudu1cxeuu)1 (ln( c 为任意常数 )即cyeyx)1(lnudeeeuuu1)1 (3例例6例例4. 求下述微分方程的通解;) 1(sin2yxy解解: 令 1yxu则yu1故有uu2sin1即xdudu2seccxutan解得cxyx) 1tan( c 为任意常数 )即7求解微分方程求解微分方程5例例.2cos2cosyxyxdxdy , 02cos2cos yxyxdxdy解解, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2cx 为所求解为所求解.8例例6. 已知放射性元素铀的衰

4、变速度与当时未衰变原子的含量 m 成正比 ,0m求在衰变过程中铀含量 m(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意 , 有)0(mtdmd00mmt(初始条件)对方程分离变量, mmd得,lnlnctm即tecm利用初始条件, 得0mc 故所求铀的变化规律为.0temmm0mto然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为9例例7. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度所受空气阻力与速度成正比成正比 ,求降落伞下落速度与时间的函数关系. 解解: 根据牛顿第二定律列方程vkmgtdvdm00tv初始条件为:对方程分离变量,mtdvkmgvd然后积分, 得得cmtvkgmk)(ln

5、1)0(vkgm利用初始条件,得, )(ln1gmkc代入上式后化简, 得特解)1 (tmkekgmv说明说明: ,limkgmvt跳伞后阶段接近于等速运动.并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 , 10(1) 找出事物的共性及可以贯穿于全过程的规律列方程常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件(3) 求微分方程的通解 , 并根据定解条件确定特解 . 2、 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤内容小结内容小结1、可分离变量方程的求解方法、可分离变量方

6、程的求解方法:分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数 .11习题12-2 p 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 612思考与练习思考与练习求下列方程的通解 :0)()() 1 (22dyyyxdxyxx提示提示:xdxxydyy2211)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量(2) 方程变形为2 yxcosysincxysin22tanln13一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3

7、、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题14三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是

8、多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .15练习题答案练习题答案一、一、1 1、cyx tantan； 2 2、ceeyx )1)(1(； 3 3、cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2