高一数学第二章基本初等函数知识点整理

1、学习必备欢迎下载必修 1 第二章基本初等函数 ( ) 知识点整理2.1 指数函数指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念n,n1nNxannanna如果x a a R x R，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号表示；当 n 是偶数时，正数 a的正的 n次方根用符号n a 表示，负的 n次方根用符号n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数当n为奇数时， a为任意实数；当n为偶数时， a 0 根式的性质： ( na )na ；当 n 为奇数时， nana ；当 n 为偶数时，n ana(a0)| a |

2、(aa0)（ 2）分数指数幂的概念mannam(a0, ,N, 且 n 1) 0 的正分数指数幂等于 0正数的负分数正数的正分数指数幂的意义是：m nmm1) m (a指数幂的意义是：a n( 1 ) nn (0,m, nN , 且 n1) 0 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底aa数取倒数，指数取相反数（ 3）分数指数幂的运算性质 ar asar s (a 0, r , s R) (ar ) sars ( a0, r, sR) (ab)rar br ( a 0,b 0,r R)2.1.2 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 yax (a0 且 a1) 叫做指数函数a1

3、0a 1yy a xy a xy图象y1(0,1)Oxy1(0,1)Ox定义域R值域（ 0,+ ）过定点图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1 奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数学习必备欢迎下载函数值的 y1(x 0)y 1(x 0), y=1(x=0), 0 y 1(x 0)y1(x 0), y=1(x=0), 0变化情况a 变化对a 越大图象越高，越靠近y 轴；a 越小图象越高，越靠近y 轴；在第一象限内，在第一象限内，图象的影a 越大图象越低，越靠近x 轴a 越小图象越低，越靠近x 轴在第二象限内，在第二象限内，响 2.2 对数函数【】对数与对数运算（

4、 1）对数的定义若 axN (a0,且a1) ，则 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作x log a N ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog a NaxN (a0, a 1, N 0) （ 2）几个重要的对数恒等式:log a 10， log a a1， log a abb （ 3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即 log10N ；自然对数： ln N ，即 loge N （其中 e2.71828）（ 4）对数的运算性质如果 a0, a1,M0, N0 ，那么加法： log a Mlog a Nlog a (MN )减法： log

5、a Mlog a N log aMN数乘： nlog a Mlog a M n (nR) alog a NN log a b M nn log a M (b0, nR)换底公式： loga Nlogb N (b0,且b1)blogb a【 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称对数函数ylog(0 且 a1) 叫做对数函数定义函数a 10a1x1x1yy loga xyyloga x图象O(1,0)x(1,0)Ox定义域(0, )值域R学习必备欢迎下载过定点图象过定点(1,0) ，即当 x1时， y0奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数log a x0(x1

6、)log a x0(x1)函数值的log a x0(x1)log a x0(x1)变化情况log a x0(0x 1)log a x0(0x 1)a 变化对图在第一象限内， a 越大图象越靠低，越靠近x 轴在第一象限内，a 越小图象越靠低，越靠近x 轴象的影响在第四象限内， a 越大图象越靠高，越靠近y 轴在第四象限内，a 越小图象越靠高，越靠近y 轴(6) 反函数的概念设函数 yf ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 yf ( x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x

7、( y) 表示 x 是 y 的函数，函数 x( y) 叫做函数 yf (x) 的反函数，记作 xf 1( y) ，习惯上改写成 yf1( x) （ 7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf ( x) 中反解出 xf1 ( y) ；将 xf1 ( y) 改写成 yf 1( x) ，并注明反函数的定义域（ 8）反函数的性质原函数 yf ( x) 与反函数 yf 1 (x) 的图象关于直线y x 对称函数 yf ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f1 ( x) 的值域、定义域若 P(a,b) 在原函数 yf ( x) 的图象上，则 P' (b, a) 在反

8、函数 y f1( x) 的图象上一般地，函数 y f (x) 要有反函数则它必须为单调函数学习必备欢迎下载 2.3 幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数 yx 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 0,) 上为增函数如果0

9、，则幂函数的图象在 (0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数为偶函数 当q（其中 p,q 互质， p 和 qZ ），pqq若 p 为奇数 q 为奇数时，则 yx p 是奇函数，若p 为奇数 q 为偶数时，则 yx p 是偶函数，若 p 为偶数 q 为奇数时，q则 yx p 是非奇非偶函数图象特征：幂函数y x , x(0,) ，当1时，若 0x 1 ，其图象在直线y x 下方，若 x 1，其图象在直线 yx 上方，当1时，若 0x1，其图象在直线yx 上方，若 x1 ，其图象在直线yx 下方学习必备欢迎下载补充知识

10、二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式一般式：f (x)ax2bxc(a0) 顶点式：f ( x)a( xh)2k(a0)两根式：f (x)a( xx1 )( xx2 )(a0)（ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f ( x) 更方便（ 3）二次函数图象的性质二次函数 f (x)ax2bxc(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb , 顶点坐标是 (b,4ac b2)2a2a4a当 a0 时，抛物线开口向上，函数在( ,b 上递减，在

11、 b,) 上递增，当 xb时，2a2a2afmin ( x)4ac b2；当 a0 时，抛物线开口向下，函数在(,b 上递增，在 b,) 上递减，当4a2a2axb时， fmax ( x)4acb22a4a二次函数 f ( x)ax2bxc(a0) 当b24ac 0时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1x2 |a|（ 4）一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次

12、函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程 ax2bx c0(a 0) 的两实根为 x1 , x2，且 x1 x2 令 f ( x) ax2bxc ，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置： xb判别式：端点函数值符号2a k x1 x2yybf (k) 0a0x2ak xOkOx1x2xx2x1bf (k)0a0x2a学习必备欢迎下载 x1 x2 kyyba 0f (k) 0x2axOx2Ok1kxxx2x1ba 0f (k) 0x2ax1 kx2af( k) 0yya0f (k)0O kx1x2xx1 O kx2 xf ( k)0a 0 k1 x1 x

13、2k 2ya0yxbf (k1) 02af (k 2 )0Ox1x2k1xx2k2k1k2 xOx1xbf (k1)0f (k 2 )0a 02a有且仅有一个根x1（或 x2 ）满足 k1x1（或 x2 ） k2f( k1 ) f( k2 )0，并同时考虑 f( k1)=0 或 f( k2 )=0 这两种情况是否也符合ya0f (k1)0x1k2O k1x2xf (k2 )0 k1 x1 k2 p1 x2 p2此结论可直接由推出yf (k1 )0k2Ox1k1x2xa0f (k2 )0（ 5）二次函数f ( x) ax2bx c( a 0) 在闭区间 p, q 上的最值设 f ( x) 在区间 p, q 上的最大值为 M ，最小值为 m ，令 x01 ( p q) （）当 a0 时（开口向上）2学习必备欢迎下载若bp ，则 m f ( p) 若 pbq ，则 m f (b ) 若bq ，则 m f (q)2a2a2a2afff(q)(p)(q)OxOxfb )f (p)b )f (2a2abbf ( p)若x0 ，则 M f (q)x0 ，则 M2a2aff(p)x(q)0x0OxOff f (b )f (p)b )(q)2a2a(