概率论与数理统计柴中林第3讲

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第三讲第三讲主讲教师：主讲教师：柴中林副柴中林副教授教授中国计量学院理学院中国计量学院理学院 有时有时, 除了要考虑事件除了要考虑事件a发生的概率外，还要发生的概率外，还要考虑考虑“事件事件b已发生已发生”的条件下的条件下a发生的概率。发生的概率。1.4.1 条件概率条件概率 通常记事件通常记事件b发生的条件下发生的条件下, 事件事件a发生的发生的概率为概率为 p(a|b)。一般情况下，一般情况下， p(a|b) p(a) 。1.4 条件概率条件概率 例如：有一凶杀案，甲乙丙丁例如：有一凶杀案，甲乙丙丁4人是嫌犯人是嫌犯，其中其中1人是凶手，则甲是凶手的机会是

2、人是凶手，则甲是凶手的机会是1/4.若有若有新证据显示丙不是凶手，此时甲是凶手的机会新证据显示丙不是凶手，此时甲是凶手的机会就不是就不是1/4而是而是1/3了。了。例例1：100件产品中有件产品中有5件不合格品，而件不合格品，而5件不合件不合格品中又有格品中又有3件是次品，件是次品，2件是废品。现从件是废品。现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求的可能性都相同，求(1).(1).抽到的产品是次品的概率；抽到的产品是次品的概率；(2).(2).在抽到的产品是不合格品条件下在抽到的产品是不合格品条件下, , 产品是产品是 次品的

3、概率。次品的概率。解：解：设 a=抽到的产品是次品， b=抽到的产品是不合格品。(1).(1). 按古典概型计算公式，有 ;1003)(ap可见，可见，p(a) p(a|b)。(2). 由于由于5件不合格品中有件不合格品中有3件是次品，故可得件是次品，故可得 虽然虽然 p(a) 与与 p(a|b) 不同，但二者之间存不同，但二者之间存在什么关系呢在什么关系呢? 先来计算先来计算p(b)和和p(ab)。.53)|(bap 因为因为100件产品中有件产品中有5件是不合格品，所以件是不合格品，所以p(b)=5/100。p(ab)=3/100。而而p(ab)表示事件表示事件“抽到的产品是不合格品、抽到

4、的产品是不合格品、又是次品又是次品”的概率，再由的概率，再由100件产品中只有件产品中只有3件件即是不合格品又是次品，得即是不合格品又是次品，得通过简单运算，得通过简单运算，得.)()(1005100353)|(bpabpbap有有.)()()|(bpabpbapp(a)=1/6，又如：又如：掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，a=掷出掷出2点点， b=掷出偶数点掷出偶数点，求求p(a|b)。 已知事件已知事件b发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是b。于是，于是，p(a|b)= 1/3。 b中共有中共有3个元素，每个元素出现个元素，每个元素出现是等可能的

5、，且其中只有是等可能的，且其中只有1个个(2点点)在集合在集合a中。中。可以得到：可以得到：.)()(636131)|(bpabpbap受此启发，对条件概率进行受此启发，对条件概率进行 如下定义。如下定义。 若事件若事件b已发生已发生, 则为使则为使 a也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 b 中又在中又在a中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于ab。 由于我们已由于我们已经知道经知道b已发生已发生, 故故b就就变成变成了新的样本空间了新的样本空间 , 于是于是 就有就有(1)。ii. 条件概率定义条件概率定义为在事件为在事件b发生条件下，事件发生条件下，事件a的

6、条件概率。的条件概率。定义定义1: 设设a、b是两个事件，且是两个事件，且p(b)0，称，称) 1 ( )()()|(bpabpbapiii. 条件概率的性质条件概率的性质设设b是一事件，且是一事件，且p(b)0, 则则1. 对任一事件对任一事件a，0p(a|b)1;2. p(|p(|b)=1)=1；而且，前面对概率所证明的一切性质，也都而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。适用于条件概率。3. 设设a1, a2,互斥，则互斥，则)|()|()| )(2121bapbapbaap例例2 2：有外观相同的三极管有外观相同的三极管6 6只，按电流放大系只，按电流放大系数分类数分类,

7、4,4只属甲类只属甲类, , 两只属乙类。不放回地抽两只属乙类。不放回地抽取三极管两次取三极管两次, , 每次只抽一只。求在第一次抽每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下到是甲类三极管的条件下, , 第二次又抽到甲类第二次又抽到甲类三极管的概率。三极管的概率。解解:记记ai= 第第 i 次抽到的是甲类三极管次抽到的是甲类三极管, i=1,2,a1a2=两次抽到的都是甲类三极管两次抽到的都是甲类三极管,由第由第2讲中的例讲中的例1.3.3，可知，可知. 5/230/12)(21aap再由再由p(a1)=4/6=2/3，得，得.533/22/5)()()|(12112apaapaap由条

8、件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若p(b)0, 则则 p(ab)=p(b)p(a|b) , (2),)()()|(bpabpbap而而 p(ab) = p(ba)，1.4.2 乘法公式乘法公式在已知在已知p(b), p(a|b)时时, 可反解出可反解出p(ab)。将将 a、b的位置对调，有的位置对调，有故故 p(a)0，则，则p(ab)=p(a)p(b|a) 。 (3)若若 p(a)0, 则则p(ba)=p(a)p(b|a) ， (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。当当 p(a1a2an-1)

9、0 时，有时，有 p (a1a2an）= p(a1) p(a2|a1) p(an| a1a2an-1) .多个事件乘法公式的推广多个事件乘法公式的推广: 例例 3: 一批灯泡共一批灯泡共100100只，其中只，其中1010只是次品，其只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求: : 第三次才取到正品的概率。第三次才取到正品的概率。解：解：设设 ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3。 a =第三次才取到正品第三次才取到正品 。则。则: :。故故，0083.0989099910010)|()|()()()( . 21

10、3121321321aaapaapapaaapapaaaa例例4：袋中有同型号小球袋中有同型号小球b+ +r个，其中个，其中b个是黑个是黑球，球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回颜色后放回, ,并再放入同颜色，同型号的小球并再放入同颜色，同型号的小球c 个。若个。若 b=第一、第三次取到红球第一、第三次取到红球, ,第二次第二次取到黑球取到黑球 ，求，求p(p(b) )。解解: 设设ai i=第第 i 次取到红球次取到红球, , i =1,2,3, 1,2,3, 则则)()()()|()|()()()(213121321crcbcrcrbbrbr

11、aaapaapapaaapbp故，321aaab 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用加法公式加法公式p(ab)=p(a)+p(b)a、b互斥互斥乘法公式乘法公式p(ab)= p(a)p(b|a)p(a)0 1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式例例5: 有三个箱子有三个箱子, 分别编号分别编号1, 2, 3。1号箱装号箱装有有1红球红球, 4白球白球; 2号箱装有号箱装有2红球红球, 3白球白球; 3号

12、箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱红球。某人从三箱中任取一箱, 再再从箱中任取一球，求取到红球的概率。从箱中任取一球，求取到红球的概率。解：解：记记 ai=取到第取到第 i 号箱号箱, i =1,2,3; b =取得红球取得红球。即即 b= a1ba2ba3b， 且且 a1b、a2b、a3b两两互斥。两两互斥。 要取球，必须先取箱子，要取球，必须先取箱子，故故b发生总是随着发生总是随着a1, ,a2, ,a3 之一同时发生，之一同时发生，于是，于是，p(b)=p( a1b)+p(a2b)+p(a3b)运用加法公式运用加法公式将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到

13、一般的情形，就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式。全概率公式。对和式中的各项对和式中的各项运用乘法公式得运用乘法公式得15813152315131)|()(31iiiabpap31)()(iibapbp 为介绍全概率公式，引入样本空间的完备事件组（划分）的概念 定义：设为实验e的样本空间， a1,a2,an为一组事件，若a1,a2,an两两互斥，且a1 a2 an= ，则称a1,a2,an为样本空间的一个完备事件组（划分）。 易见，若a1,a2,an为样本空间的一个划分，则每次实验时，事件a1,a2,an中必有，且仅有一个发生. 设设a1, a2, an是是样本空间的一个完

14、备事件组，且p(ai)0, i =1, 2, , n; 则对任一事件则对任一事件b有有全概率公式全概率公式 niiiniiniiniiabpapbapbapabpbp1111)()()()()()( 在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算p(b)不容易不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的但总可以适当地构造一组两两互斥的ai , 使使b伴随着某个伴随着某个ai 的出现而出现，且每个的出现而出现，且每个 p( ai b) 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 p( ai b) 之和计算之和计算 p(b)。 niiiabpapbp1)()()(由公式由公式“全部概率全部概率” p(b

15、)，可分成多，可分成多个个“部分概率部分概率” p( ai b) 之和。之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:不难看出不难看出: 全概率公式示意图如下：各全概率公式示意图如下：各ai构成了样本空间构成了样本空间的一个划分（完备事件组），因此的一个划分（完备事件组），因此b是划分的子是划分的子集。同时集。同时b被划分成许多小块，任一块被划分成许多小块，任一块aib是是b的的子集，也是子集，也是ai的子集，因此这些小块也是互不相的子集，因此这些小块也是互不相容的。各小块构成了容的。各小块构成了b，因此，因此b的概率是各的概率是各aib的的概率之和，各概率之和，各p(aib)再由再由p

16、(ai)p(b|ai) 算出。算出。实际中还有下面一类问题：实际中还有下面一类问题：已知结果求原因。已知结果求原因。 这一类问题在实际中常见，它所求的是这一类问题在实际中常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。发生的可能性大小。接上例，考虑如下问题：接上例，考虑如下问题：或者问：或者问：“该球取自各箱的可能性大小该球取自各箱的可能性大小” 。某人从任意一箱中任意摸出一球，某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是发现是红球，求该球是取自红球，求该球是取自1号箱的概率号箱的概率。)()()|(11bpbapbap考虑上边例子：考虑上

17、边例子：记记 ai = 球取自球取自 i 号箱号箱， i =1, 2, 3; b = 取得红球取得红球。所求为所求为 p(a1|b)。3111kkkabpapabpap)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式 计算计算p(b)将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niabpapabpapbapnjjjiii 该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯 (bayesbayes) 给出。给出。 它是在观察到事件它是在观察到事件b已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致b发生的每个原因的概率。发生

18、的每个原因的概率。贝叶斯公式贝叶斯公式 设设a1, a2, an是完备事件组，是完备事件组，p(ai)0，i=1, 2, , n; 则对任一事件则对任一事件b有有, 例例6: 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对，患者对某种试验反应是阳性的概率为某种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对，正常人对这种试验反应是阳性的概率为这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”。 a解：解：设设 a = 抽查的人患

19、有癌症抽查的人患有癌症, b = 试验结果是阳性试验结果是阳性。求求 p(a|b)。已知已知:。 04. 0)|( ,95. 0)|(, 995. 0)( ,005. 0)(abpabpapap现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义：代入数据计算，得代入数据计算，得 p(a | b)= 0.1066。 ， )|()()|()()|()()|( abpapabpapabpapbap 由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得 如果不做试验，一个人患癌症的概率是如果不做试验，一个人患癌症的概率是 p(a)=0.005 。 若试验后呈阳性反应，若试验后呈阳性反应，则此人则此人患癌症患癌症的概的概率

20、率为为 p(a|b)= 0.1066 。 说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。概率从概率从0.005增加到增加到0.1066, 约约增加了增加了2121倍。倍。(1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无 意义？意义？(2). 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 p(a|b)=0.1066。 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有有癌症，这种可能性只有10.66% (平

21、均来说，平均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医，此时医生常要通过其他试验来确认生常要通过其他试验来确认。 njiiiiiabpapabpapbap1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，p(ai)和和p(ai |b)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率。p(ai) ( i =1, 2, n ) 是在没有进一步的信息是在没有进一步的信息(不知道事件不知道事件b是否发生是否发生) 的情况下，人们对的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。诸事件发生可能性大小的认识。当有了新的信息当有了新的

22、信息(知道知道b发生发生)，人们对诸事件，人们对诸事件发生可能性大小发生可能性大小 p(ai | b) 有了新的认识。有了新的认识。例例7 7：8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。一名支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校；用未校准的枪射击时，中靶概率为准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从。现从8 8支枪中任取支枪中任取一支用于射击，求：（一支用于射击，求：（1 1）中靶的概率。（）中靶的概率。（2 2）若已）若已中靶，用的枪是校准过的概率。中靶，用的枪是校准过的概率。解：解：设设 a=射击中靶射击中靶 ，b1 1=枪校准过枪校准过, , b2 2=枪未校枪未校准准 ，则，则 b1 1, ,b2 2 是是一个划分，于是一个划分，于是)()()|()()()|()2(1111apbpbapapabpabp494080/49) 8/5(8 . 080/49) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0)()|()()|()() 1 (2211bpbapbpba