高一数学角的概念的推广、弧度制全国通用状元班

1、高一数学角的概念的推广、弧度制全国通用【本讲主要内容 】角的概念的推广、弧度制【知识掌握】【知识点精析 】1. 角的概念的推广（ 1）任意角的形成：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边。注意：理解角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边。角可以是任意大小的。（ 2）角的分类：正角：按照逆时针方旋向转而成的角叫正角角零角：当射线没有旋时转，形成的角叫零角负角：按顺时针方向转旋而成的角叫负角注意：角的旋转方向是角分类的标准。（ 3）在直角坐标系内讨论角（象限角，轴线角）象限角： 角的顶点与坐标原点重合， 角的

2、始边与 x 轴的非负半轴重合， 角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限的角。第一、二、三、四象限的角的集合依次是：·360k·36090，k Zk·36090·360180，kZ|kk·360180k·360270，kZ|k·360270k·360360，kZ|k轴线角：角的终边在坐标轴上的角称为轴线角。轴线角不属于任何象限。比如： 0°，90°， 180°， 270°， 360°， -90°， -180°， -270°， -36

3、0°等都是轴线角。终边在 x 轴的正半轴上的角的集合：|k·360，k Z终边在 x 轴的负半轴上的角的集合：|k·360180 ，kZ终边在 x 轴上的角的集合：|k·180 ，kZ终边在 y 轴的正半轴上的角的集合：|k·36090 ， kZ终边在 y 轴的负半轴上的角的集合：|k·36090 ， kZ终边在 y 轴上的角的集合为：|k· 18090 ，k Z用心爱心专心终边在坐标轴上的角的集合：|k· 90 ， kZ（ 4）终边相同的角：所有与 角终边相同的角，连同 角在内（而且只有这样的角）可以用式子 k&

4、#183; 360k Z) 来表示，它们互称终边相同的角。与 角终边相同的角的集合可记作：|k· 360， kZ注意： k 是整数； 是任意角； k· 360 与 之间是“ +”号。例如： k· 36060 应看成 k· 360( 60° )终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同。终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。2. 弧度制：（ 1）角度制：用度做单位来度量角的制度叫角度制。规定周角的1为 1 度角，记作1°。从而有周角为360°，平角180°等。360（ 2）弧度制：用弧度做

5、单位来度量角的制度叫弧度制。规定等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角，从而有周角为 2 弧度，平角为弧度等。（ 3）角的弧度制的顺序性：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。（4）公式 | |l ：任一已知角 的弧度数的绝对值| |l ，其中 l 为以角 作为圆心rr角时所对圆弧的长，r 为圆半径。（ 5）度数与弧度数的换算： 180弧度1 弧度 0.01745弧度180弧度18057 18'157.30注意：用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”两字可以省略不写，但用度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去。用弧度为单位表示角时，常常

6、把弧度数写成多少的形式。 如： 60， 4534等。（ 6）弧长公式，扇形面积公式用心爱心专心在弧度制下，弧长公式为：l| |· r扇形面积公式为： S1l ·r1| |· r 222在角度制下，弧长公式为：lnr180扇形面积公式为：Sn r 2360两者相比较，在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便，简洁。3. 需要注意的几个问题（ 1）角的集合的表示形式不是唯一的。例如：终边在y 轴的负半轴上的角的集合可用以下两种形式表示：2k， kZ ，2k3 ， k Z22（ 2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。（ 3）要正确理解和区分第一象

7、限的角：|k· 360k· 36090 ，kZ锐角：|0°90°小于 90°的角：90°（ 4）讨论三角函数问题时，在同一个式子中两种制度（角度制，弧度制）不能混用。例如：与 60°角终边相同的角的集合不能表示为2k60°， kZ ，正确的表示方法为：|k· 360°60°， kZ 或2k， kZ3（ 5）公式 |l中，左边是 的绝对值，不要误用为“l”。rr【解题方法指导 】例 1.已知 角的终边与的终边相同，在0， 2内哪些角的终边与角的终边相33同？分析： 首先 角的一般形式为2

8、k( k Z )3则角的一般形式为2k3393然后讨论 k 的取值，使0， 23用心爱心专心解：角的终边与的终边相同32k(kZ)32k( kZ )339又02302k2( kZ)39kZ，k0， 1， 2时有， 7， 13 ，它们均在0， 2内3999所求角为， 7， 13999说明： 解此类型题关键是通过解不等式准确求出整数k 的所有取值。例 2. 已知角 为第一象限的角，确定角所在的象限，并画出其变化区域。2解题思路分析： 此题很容易判成第一象限， 这是不对的， 因为第一象限角与 0 之间2的角并不等价。首先写出角 的一般形式： 2k2k(kZ)2两边同时除以2，得： kk( kZ )2

9、4（ 1）当 k 为奇数时，设 k2m 1(m Z ) ，则(2m1)2(2m 1)(mZ)4此时：角是第三象限角2（ 2）当 k 为偶数时，设 k2m(m Z ) ，则2m22m(mZ)4此时，角是第一象限角2综上，角是第一象限或第三象限的角。2其变化区域如图所示中阴影部分，这样的区域称为第一、三象限的“前半区”。用心爱心专心yy=xOx说明：由已知角的终边位置确定相关角的终边位置常用不等式法，有时也采用数形结合的方法。本题的结论具有记忆价值，在使用半角公式及需要判断所在象限及区域时，直2接应用此题的结论，显得更加简洁。类似地可以推出： 在第一象限，在第一、三象限的“前半区域”2 在第二象限

10、，在第一、三象限的“后半区域”2 在第三象限，在第二、四象限的“前半区域”2 在第四象限，在第二、四象限的“后半区域”2例 3. 根据下列已知条件，解决扇形有关问题（ 1）已知扇形的面积为 4cm2，它的周长为 10cm，求扇形中心角的弧度数。（ 2）已知一扇形的周长是 40cm，当它的半径和圆心角取何值时， 才能使扇形面积最大？最大面积是多少？lABrO分析：（ 1）要求中心角，根据公式| |l，需求出弧长l 及半径 rr解：（1）设扇形中心角的弧度数为(02 ) ，弧长为 l ，半径为 rl 2r10根据题意，得 14lr2用心爱心专心r1r4解得l或l28当r，时，|l弧度)2（舍）1l

11、88(r当r 4，l2时，|l1弧度)r(21 。综上，所求扇形中心角的弧度数为21 lr ，及 l 与 r 的关系式，写出分析（ 2）：本题运用扇形面积公式SS 用 r 表示的式2子，然后就式子本身讨论S 的最大值以及这时的r 和 值。解（ 2）：设扇形圆心角为 ，半径为 r，弧长为 l ，面积为 S由已知条件： l2r40，即 l402r由 0 l2 r ，得 0 40 2r 2 r20r20111扇形面积 Slr(402r ) rr 220r22( r10)210020r201当 r10cm时， 扇形面积有最大值为100cm2此时l402r402102 （弧度）rr10说明： 当扇形周长

12、一定时，扇形面积有最大值。其求法是将面积S 转化为关于 r 的二次函数，但要说明r 的取值范围，特别要注意一个扇形的弧长必须满足0 l2 r 。【考点突破】【考点指要】近几年的高考试题对任意角的概念与弧度制的考查多结合三角函数的基础知识进行考查，对求角的集合的交、并等计算技能的考查，有一定综合性，涉及的知识点较多。大部分是以选择题和填空题的形式出现，属于容易题。历年高考所占分值最多 5 分。（因为这部分知识有可能不单独命题） 。本讲内容在高考中主要考查理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及表示方法。例如： 2005 年全国卷 III （理）已知 为第三象限的角，则所在的象

13、限是（）2A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限用心爱心专心答案： D解析： 略（本题解法在前面例题中已讲过）理解弧度的意义，并能正确地进行弧度与角度的转换。结合三角函数的基础知识进行综合性考查。解决“任意角的概念与弧度制”问题的基本思路和方法：把任意角化成 k· 360°0°360° ) 的形式；在给定的角的集合中，找出终边位于指定区间的一切角；熟练地进行度数与弧度数的互化；公式| |l 的应用。r【典型例题分析 】例 4. （高考模拟题）若 是第二象限的角，则是（）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第

14、三象限的角D. 第四象限的角分析：的象限数可以根据 的象限数直接判断； 也可利用角的终边与角 的终边位置关系来判断。解法一：为第二象限角2k2k( kZ )22k2k(kZ)22k2k(kZ)2为第一象限角选 A解法二：的终边与 的终边关于y 轴对称由 为第二象限角，得知为第一象限角，如图所示：y -x评述： 本题主要考查终边相同的角和象限角要求学生熟练范围角的表示方法并能将范围角和坐标系内的图形对应起来。 角的范围是解三角函数题的重要组成部分，应引起重视。解本题时常有同学误认为第二象限角就是用心爱心专心，实际上二者是不等价的。第二象限角的正确表示方法为2k2k(kZ ) 。对这些概念如何正确

15、的理解和区分，在前面“知识点精2析”中已有所说明，希望同学们重视。例 5. （2005 年全国卷 III 理）已知 为第三象限角，则所在的象限是（）2A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限解题思路： 略（前面例题中已讲过）例 6. 已知 1 弧度的圆心角所对的弦长是2，这个圆心角所对的弧长是_，这个圆心角所夹扇形的面积是_。答案：1111cos1si n2解题思路分析： 如图所示AOB1rad过O作OCAB于 C，延长 OC 交 AB于 D则 AODBOD112rad，且 ACAB 12在 Rt AOC中， OAAC1sinAOC1sin12即扇形的半

16、径为rsin 12AB的长l|··11| r1sin 1sin 122S扇形1lr11122 sin21cos12用心爱心专心O12rr1CABlD评析： 本题主要考查的是扇形弧长公式和扇形面积公式。有些同学在解题中由于没有记忆弧度制下扇形的弧长公式和面积公式， 仅记住了角度制下的相关公式，但又没有掌握好换算的方法，因此造成解题障碍。【综合测试】一. 选择题1. 如果角 2 的终边在x 轴上方，那么 的范围是（）A. 第一象限角的集合B. 第一或第二象限角的集合C. 第一或第三象限角的集合D. 第一或第四象限角的集合*2. 集合 Mx|xk， k Z， Nx|xk， kZ

17、，则有（）2442A.MNB.MNC.MND.MN3.若 、 的终边关于 y 轴对称，则必有（）A.(k Z )B.2k( k Z)22C.2k (kZ)D.2k(kZ )4.若 180°90° ，则 180°与 的终边（）A. 关于 x 轴对称B. 关于 y 轴对称C. 关于原点对称D. 以上都不对5.已知集合 P小于 90°的角 ， M锐角 ，T第一象限的角， G= 小于90°但不小于 0°的角 ，则下列结论中正确的是（）A.MTPB.MPTC.G( PT)D.TGM6. 若 是第二象限的角，则是第几象限角（）3用心爱心专心A.

18、第一或第三象限B.第一或第二或第四象限C. 第二或第四象限D. 第一或第三或第四象限*7. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是（）A.1(2 sin1· cos1) R2B.1R2 sin1· cos122C.1R2D.R2sin1· cos1· R228.把11 表示成 2k( kZ ) 的形式，使 | | 最小的值是（）4A.3B.C.344D.44二 .填空题9.若4 与 20 °角的终边相同，则适合不等式3600° 的角 的集合为_ 。*10.若单位圆上的一段弧长等于此圆内接正三角形的边长，则这

19、段弧所对的圆心角的弧度数是 _ 。11.已知集合Ak· 360° 30°k· 360°120°， k Z ，Ba|k·180°60°k·180° 135°， kZ，则集合 A B _。12. 下列命题中（ 1）终边在坐标轴上的角的集合是：|k· 90°， kZ（ 2）与 -40°的终边相同的角的集合是：|k· 360°320°， kZ（ 3）终边在第二、四象限的角平分线上的角的集合是：|k· 36045 ，

20、kZ（ 4）终边在直线yx 上的角的集合是：|k· 180°45°，kZ其中正确命题的序号为_ （你认为正确的都写上）三. 解答题*13. 半径为 12cm，弧长为 8 cm 的弧所对的圆心角为(1) ，试写出与 终边相同的角的集合 A ，并判断集合A是否为Bk， kZ 的真子集。|22用心爱心专心14.已 知 集 合Ax|6xx20 ， Bx|kxk， kZ， 求42AB 。15. 如图所示， 在扇形 AOB 中，AOB90°， 弧 AB 的长为 l，求此扇形内切圆的面积。AOB用心爱心专心【综合测试答案】一. 选择题1. C解：角 2的终边在x 轴上

21、方则 2范围是 2k22k， kZkk， kZ2当 k 为偶数时， 为第一象限角当 k 为奇数时， 为第三象限角 在第一或第三象限故应选 C。2. C解法一：Mx| x(2k1)·， kZ4其中 2k1是奇数Nx|x (k 2) · ， k Z4其中 k2 是整数MN解法二： 列举法M， 3，5 ，4444N， 3， ，424MN3. D4. B5. D解： 由于第一象限角不一定小于90°（例如 390°）选项 A错由于小于 90°的角不一定是第一象限角（例如-60°）选项 B错由于 0G，而 0T选项 C错而 TG 第一象限角 小于

22、 90°但不小于0°的角 = 锐角 =M选 D6. B解： 是第二象限角用心爱心专心k· 36090k· 360180 ( kZ )k· 12030k· 12060 ( kZ )3当 k 3n（ nZ） 时， n· 36030n· 360 603是第一象限的角3当 k3n 1(n Z ) 时， n· 360 180 n· 360 180 3是第二象限的角3当 k3n 2( n Z) 时， n· 360 270 n· 360 300 3是第四象限的角3是第一或第二或第四象限的角

23、3故选 B7. D解： 设弧长为 l，则 l2R4R， l2 R设弧长所对圆心角为则 | |l2，2RAB2 AC2· R sinAOC2R· sin 1而 OCR· cosAOCR· cos1S OAB1AB·OCR2 sin 1· cos12而 S扇 OAB1lR1 ·2R·RR 222故：S弓S扇OABS OABR2R2··sin1 cos1故选 DACBR1O8. A用心爱心专心二 .填空题9.355 ，265 ，175 ，85分析： 根据终边相同的角的关系有4k· 360 20 (k Z )然后结合3600 确定 k 值，从而求出 解： 由题意： 4k· 36020 (kZ)k· 90 5 ( kZ)3600360k· 9050 (kZ )554k9090kZk4，3，2，1代入k· 90 5 中得到355 、265 、175 、 85即满足条件的 集合是35