空间几何体的直观图

1、1.2.3 1.2.3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图 上图是浙江省台州的斑上图是浙江省台州的斑马线披上的马线披上的“立体彩装立体彩装”. 画在地面上的斑画在地面上的斑马线怎么会产生出了马线怎么会产生出了立体感觉？立体感觉？ 如何把立体图形如何把立体图形画在纸上？画在纸上？这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？ 三视图是用平三视图是用平面图形表示空间图面图形表示空间图形的一种重要方法，形的一种重要方法，但三视图的直观性但三视图的直观性较差，如何绘制空较差，如何绘制空间图形的直观图呢？间图形的直观图呢？立体几何中常用平行投影立体几何中常用平行投

2、影( (斜投影斜投影) )来画空间图形的来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法直观图，这种画法叫做斜二测画法1.1.平行性不变，但形状、长度、平行性不变，但形状、长度、夹角会改变夹角会改变. . 2.2.平行直线段或同一直线上的平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变两条线段的比不变. . 3.3.在太阳光下，平行于地面的在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变直线在地面上的投影长不变投影规律投影规律例例1 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. .abcdefmnoyxoxy注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶注意：画水

3、平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置点的位置画法：画法：(1)(1)在正六边形在正六边形abcdefabcdef中，取中，取adad所在直线为所在直线为x x轴，轴，对称轴对称轴mnmn所在直线为所在直线为y y轴，两轴交于点轴，两轴交于点o o画相应的画相应的xx轴，轴，yy轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点oo，使，使 xo y=45xo y=45. .建系时要尽量考建系时要尽量考虑图形的对称性虑图形的对称性oxyabcdefmnabcdefmnoyx(2)(2)以以oo为中点，在为中点，在xx轴上取轴上取ad=adad=ad，在，在yy轴上取轴上取以点以点nn为中点，画为中点，画b

4、cxbcx轴，并且等于轴，并且等于bcbc；再以；再以mm为中为中点，画点，画efxefx轴，并且等于轴，并且等于ef.ef.1.2m nmn 注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长变为原来的一半变为原来的一半oxyabcdefmnabcdefmnoyx 并擦去辅助线并擦去辅助线xx轴和轴和yy轴，便轴，便获得正六边形获得正六边形abcdefabcdef水平放置的直观图水平放置的直观图.a b c d e f(3)(3)连接连接,a b c d d e f a请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方

5、法步骤步骤.的菱形的直观图边长为，放置一角为用斜二测画法画出水平cm460【变式】1.已知水平放置的abc按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,bo=co=1,ao= ,那么原abc是一个()a.等边三角形b.直角三角形c.三边中只有两边相等的等腰三角形d.三边互不相等的三角形32【解析】选a.由已知得abc中aobc，bo=co=1，ao= (如图)，所以bc=2bo=2，ab=ac= 所以ab=ac=bc，所以abc是等边三角形.3221( 3)2 ，斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤(1)(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴和轴和y y轴，两轴相交轴，两轴相交于点

6、于点o.o.画直观图时，把它们画成对应的画直观图时，把它们画成对应的xx轴与轴与yy轴，两轴交于点轴，两轴交于点oo，且使，且使xoy=45xoy=45（或（或135135），它们确定的平面表示水平面），它们确定的平面表示水平面(2)(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴或轴或y y轴的线段，在直观图中轴的线段，在直观图中分别画成平行于分别画成平行于xx轴或轴或yy轴的线段轴的线段(3)(3)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线段，在直观图中保持原轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于长度不变，平行于y y轴的线段，长度为原来的一半轴的线段，长度为原来的一半【提升总结提升总

7、结】斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？际画图时用什么方法？斜二测画法斜二测画法( (二二) ) 空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？标确定底面外的点的位置？x xo oy y例例2 2 用斜二测画法画长、宽、高分别是用斜二测画

8、法画长、宽、高分别是4 cm4 cm、3 cm3 cm、2 cm2 cm的长方体的长方体abcd-abcdabcd-abcd的直观图的直观图. .dda ab bc cd daabbcc画法：画法：（1 1）画轴）画轴. .画画x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，轴，三轴交于点三轴交于点o o，使，使xoy=45xoy=45，xoz=90 xoz=90. .（2 2）画底面）画底面. .以点以点o o为中心，在为中心，在x x轴轴上取线段上取线段mnmn，使，使mn=mn=_cmcm；在；在y y轴轴上取线段上取线段pqpq，使，使pq=pq=_cmcm，分别，分别过点过点m m和和n n作

9、作y y轴的平行线，过点轴的平行线，过点p p和和q q作作x x轴的平行线，设它们的交点轴的平行线，设它们的交点分别为分别为a a，b b，c c，d d，四边形，四边形abcdabcd就是长方体的底面就是长方体的底面abcd.abcd.xyzoabcdmnpq4 41.51.5xyzoabcdmnpqabcdacdbabcd(3)(3)画侧棱画侧棱. .过过a a，b b，c c，d d各点分别作各点分别作z z轴的平行线，并在这些轴的平行线，并在这些平行线上分别截取平行线上分别截取2 cm2 cm长的线段长的线段aa,bbaa,bb，cc,dd.cc,dd.思考思考2:2:怎样画底面是正

10、三角形，且顶点在底面上的怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？投影是底面中心的三棱锥？m mz zb b c ca as sy y o ox xb bc ca a s sa ab bc c画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？画轴画轴 画底面画底面成图成图画侧棱画侧棱分析：分析：由几何体的三视由几何体的三视图知道，这个几何体是图知道，这个几何体是一个简单组合体一个简单组合体. .它的它的下部是一个圆柱，上部下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面的底面与圆柱的上底面重合重合. .我们可

11、以先画出我们可以先画出下部的圆柱，再画出上下部的圆柱，再画出上部的圆锥部的圆锥. .例例3 3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图出它的直观图. .正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图（1 1）画画轴轴. . 画画x x轴轴，z z轴轴，使使x xo oz z= =9 90 0. .（2 2）画画圆圆柱柱的的下下底底面面. .在在x x轴轴上上取取a a, ,b b两两点点，使使a ab b的的长长度度等等于于俯俯视视图图中中圆圆的的直直径径，且且o oa a = = o ob b. . 选选择择椭椭圆圆模模板板中中适适当当的的椭椭圆圆过过

12、a a, ,b b两两点点，使使它它为为圆圆柱柱画画法法：的的下下底底面面. .（3）3）在在oz轴oz轴上上截截取取点点o，o，使使oo等oo等于于正正视视图图中中oo的oo的长长度度，过过点点o作o作平平行行于于轴轴ox的ox的轴轴ox，ox，类类似似圆圆柱柱下下底底面面的的作作法法作作出出圆圆柱柱的的上上底底面面. .xooxza ab baabb相应的相应的p p（4）4）画画圆圆锥锥的的顶顶点点.在.在oz轴oz轴上上截截取取点点p，p，使使po 等po 等于于正正视视图图中中相相应应的的高高度度. .5.papbaabb.（）成成图图连连接接，整整理理得得到到三三视视图图表表示示的

13、的几几何何体体的的直直观观图图p pa ab baabbo oo o1.如图所示:正方形oabc的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( ) 【解析】1.由斜二测画法可知,对应的b点应在直角坐标系的y轴上且|ob|= ,点a在x轴的正半轴上且|oa|=1,原图形如图:四边形oabc为平行四边形,ab= 所以其周长为8答案:82 222oaob3,2.已知abc的斜二测直观图abc是边长为a的正三角形,求abc的面积.【解析】如图甲所示为直观图,乙为实际图形,取bc所在直线为x轴,bc中点o与ox成45的直线为y轴,过a点作anox,交y轴于n点,过a点作amoy,交x

14、轴于m点.则在直角三角形aom中,因为oa= a,amo=45,所以mo=ao= a,所以am= a.如图乙，在直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为 a，到y轴距离为 a的点a，在x轴左侧取ob=ob,右侧取oc=oc,连接ab，ac.则abc即为所求，显然sabc=323262632216a 6aa .22，求原梯形的面积。的面积为且梯形如图所示的等腰梯形，一梯形的直观图是一个2cbao【规范解答】如图,由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.原梯形的高oc是直观图中oc长度的2倍,oc的长度是直观图中梯形的高的 倍.由此知原梯形的高oc的长度是直观图中梯形高的长度的2 倍故其面积是梯形oabc面积的2 倍,因为梯形oabc的面积为 ,所以原梯形的面积是4.22223长方形的直观图可能是下列图形长方形的直观图可能是下列图形中中的哪一个的哪一个 ( ) a b c d d 三视图与直观图的异同三视图与直观图的异同 两种视图两种视图 相同点与联系相同点与联系 不同点不同点 三视图三视图 都是空间几何体的表现形都是空间几何体的表现形式，已知一种形式可