第四节、函数展开成幂级数

1、第四节第四节两类问题两类问题: 在收敛域内在收敛域内和函数和函数)(xsn n0 0n nn nx xa a幂幂级级数数 求求 和和展展 开开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 引言引言幂级数幂级数优点：优点：nnnxa 01 1、有简单的收敛域；、有简单的收敛域；2 2、其和、其和s(xs(x) )在（在（-r,r-r,r）内有良好的性质；）内有良好的性质；3 3、其形式便于上机计算。、其形式便于上机计算。问题问题：用：用 来研究函数来研究函数f(x)nn

2、nxa 0一、泰勒级数一、泰勒级数求幂级数的和函数得求幂级数的和函数得)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛域内以存在幂级数在其收敛域内以f (x)为和函数为和函数. .问题问题: :2.2.展开式是否唯一展开式是否唯一? ?3.3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? ?是什么？是什么？如果能展开如果能展开na1阶泰勒公式阶泰勒公式的的则在该邻域内则在该邻域内阶的导数阶的导数的某邻域内具有直到的某邻域内具有直到在在如果函数如果函数nxfnxxf)(,)1()(0 )()(!)()(! 2)()()()(00)(200

3、000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn .,)()!1()()(010)1(之间的某个值之间的某个值与与是介于是介于其中拉格朗日型余项其中拉格朗日型余项xxxxnfxrnnn 复习复习taylortaylor公式公式阶泰勒多项式阶泰勒多项式可以用可以用在该邻域内在该邻域内nxf)(,)(!)()(! 2)()()()(00)(200000近似表示近似表示nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp 为为误差误差)()(xpxfn .)!1()()(10)1( nnnxxnfxr .,)(减小误差减小误差来提高精度来提高精度泰勒多项式项数的办法泰勒多项式项数的办法可以通过增加可以通过增

4、加的增大而减小的增大而减小随着随着如果如果nxrn）的幂级数。）的幂级数。为系数，关于（为系数，关于（即以即以勒级数勒级数处的泰处的泰在在称为函数称为函数幂级数幂级数数则数则的某邻域内具有各阶导的某邻域内具有各阶导在点在点如果如果00)(0000)(0!)(.)()(!)()(xxnxfxxfxxnxfxxfnnnn 定义taylor级数级数).(0)(lim)()()()()(000 xuxxrnxrxfxfxuxxfnnn 时的极限为零，即时的极限为零，即当当的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项充分必要条件是充分必要条件是勒级数的勒级数的在该邻域内能展开成泰在该邻域内能展开成泰各阶导数，则

5、各阶导数，则内具有内具有的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数定理定理1 1.必要性必要性即即内能展成泰勒级数内能展成泰勒级数在在设设,)()(0 xuxf nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(! 2)()()()(00)(200000, )()()(1xrxsxfnn ),()(lim1xfxsnn 有有. 0)()( xfxf证证.)(0成立成立对一切对一切xux )()(lim)(lim1xsxfxrnnnn 所以所以.充分性充分性).(0)(lim0 xuxxrnn 对一切对一切设设),()()(1xrxfxsnn )()(lim)(lim1xrxfxsnnnn 于是

6、于是, )(xf ,)()(0内收敛内收敛的泰勒级数在的泰勒级数在即即xuxf).(xf并且和函数为并且和函数为证毕证毕 nnnnnxnfxffxnf!)0()0()0(!)0()(0)(.)maclaurin()(级数级数的麦克劳林的麦克劳林该级数称为函数该级数称为函数xf得得取取, 00 xmaclaurinmaclaurin级数级数）的幂级数。）的幂级数。为系数，关于（为系数，关于（即以即以勒级数勒级数处的泰处的泰在在称为函数称为函数幂级数幂级数数则数则的某邻域内具有各阶导的某邻域内具有各阶导在点在点如果如果00)(0000)(0!)(.)()(!)()(xxnxfxxfxxnxfxxf

7、nnnn taylor级数级数定理定理2.若若 f (x) 能展成能展成 x 的幂级数的幂级数, 则这种展开式是则这种展开式是唯一唯一的的 , 且与它的麦克劳林级数相同且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设设 f (x) 所展成的幂级数为所展成的幂级数为),(,)(2210rrxxaxaxaaxfnn 则则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立显然结论成立 .)0(0fa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .),()()(),(0)()(000)(000的泰勒级数

8、的泰勒级数内可展开成点内可展开成点在在，则，则恒有恒有对于任意的对于任意的，上有定义，存在一个上有定义，存在一个在在设设xrxrxxfmxfrxrxxmxuxfn 定理定理2证证10)1()()!1()()( nnnxxnfxr 因为因为,)!1(10 nxxmn),(00rxrxx ,),()!1(010收敛收敛在在所以所以 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn所以所以, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数所以可展成点所以可展成点 x),(00rxrxx 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) ).0)(处各阶导数是

9、否存在处各阶导数是否存在在在首先检查首先检查 xxf第一步第一步;),0(,),0(),0(),0()(的值的值计算计算nffff 第二步第二步形式地写出一个幂级数形式地写出一个幂级数 nnnnnxnfxffxnf!)0()0()0(!)0()(0)(;r并求出其收敛半径并求出其收敛半径,的幂级数的幂级数则不能展开成则不能展开成若不存在若不存在x若存在步骤如下：若存在步骤如下：第三步第三步拉格朗日余项的极限拉格朗日余项的极限内内分析在区间分析在区间,),(rr )( )!1()(lim)(lim1)1(xxnfxrnnnnn 则由定理的结论可得则由定理的结论可得如果极限为零如果极限为零是否为零

10、是否为零,);,( !)0()(0)(rrxxnfxfnnn 第四步第四步.处处的的收收敛敛性性r rx x区区间间端端点点检检查查所所求求得得的的幂幂级级数数在在时时, ,r r0 0当当 .)(,),()(,)(也成立也成立展开式对展开式对数和函数的连续性数和函数的连续性那么根据幂级那么根据幂级处右连续处右连续在在处左连续处左连续在在且且处收敛处收敛如果幂级数在端点如果幂级数在端点rxrxrxrxxfrxrx 例例1 1解解.e)(展开成幂级数展开成幂级数将将xxf ,e)()(xnxf ), 2 , 1 , 0(1)0()( nfn，得级数得级数 nxnxx!1! 2112. r收敛半径

11、收敛半径，之间之间与与在在、对于任何有限的数对于任何有限的数)0(xx . )!1(e)!1(e)(11 nxxnxrnxnn ,e,是一个有限值是一个有限值对固定的对固定的xx,)!1()!1(011的一般项的一般项是收敛级数是收敛级数 nnnnxnx),(!1! 211e2 xxnxxnx,时时所以当所以当 n, 0)!1(e1 nxnx. 0)(lim xrnn即有即有所以得到展开式所以得到展开式处附近，处附近，如果在如果在0 x,ex代替代替用级数的部分和来近似用级数的部分和来近似,ex就越来越接近于就越来越接近于随着项数的增加，它们随着项数的增加，它们如图，如图，xyo1xey 62

12、132xxxy 212xxy xy 1例例2 2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf所以所以,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn所以所以),( x例例3. 将函数将函数mxxf)1 ()(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, 其中其中m为任意常数为任意常数 . 解解: 易求出易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2

13、)(1()0()(nmmmmfn于是得于是得 级数级数 mx12!2) 1(xmm由于由于1limnnnaarnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间级数在开区间 (1, 1) 内收敛内收敛. 因此对任意常数因此对任意常数 m, 11, )(xxf2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxfxmxf1)()()1 (xfx),(xmfmxxf)1 ()(xxxxmxxfxf00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmfxf1)0(f则为避免研究余项为避免研究余项 , 设此级数的和函数为设此级数的和

14、函数为2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x称为称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关 .(2) 当当 m 为正整数时为正整数时, 级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式, 上式上式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得由此得 有有时时当当,1 m1)1(11132 xxxxxxnn1)1(11126422 xxxxxxnn111132 xxxxxxn1321)11()1(1122 xnxxxxxn1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 n

15、nxnnxxxx 1 , 1(!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘有有时时当当,21 m有有时时当当,21 m2.2.间接展开法间接展开法 根据唯一性根据唯一性, , 利用常见展开式利用常见展开式, , 通过变量代通过变量代换、换、 四则运算、恒等变形、四则运算、恒等变形、 逐项求导、逐项求导、 逐项积逐项积分等方法，求展开式分等方法，求展开式. .例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn例例4.112的幂级数的幂

16、级数展开成展开成将函数将函数xx 解解因为因为),11(1112 xxxxxn，得，得换成换成把把2xx ).11()1(1112422 xxxxxnn例例5.)1ln()(的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数xxxf 解解,11)(xxf 因为因为的和函数：的和函数：）（是收敛的等比级数是收敛的等比级数而而 0111nnnxx)11()1(11132 xxxxxxnn逐项积分，得逐项积分，得到到所以将上式从所以将上式从x0 1)1(432)1ln(1432nxxxxxxnn).11( x也成立，也成立，上述展开对上述展开对1 x时收敛，时收敛，当当因为上式又端的幂级数因为上式又端的幂级数

17、1 x.1)1ln(处有定义且连续处有定义且连续在在而而 xx例例6 6.)1ln()(2的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxxf 解解)1(,11ln)(3 xxxxf),1ln()1ln(3xx 11)1()1ln(11 xnxxnnn，因为因为nxnxnnnnnn)()1()()1(11311 131.nnnnnxnx11 x.)1ln()1()(的幂函数的幂函数展开为展开为将函数将函数xxxxf )1ln(1)(xxf 因为因为例例7 7解解)1 , 1(,)1(111 xnxnnn)0()()(fxfxf 故得故得)1 , 1(,)1(11 xdxnxxx0nnnttfxd )(0

18、 ,1)1()1(111处均收敛处均收敛在在幂级数幂级数 xxnnxnnn.1 , 1(,)1()1()(111 xxnnxxfnnn,1)(处连续处连续仅在仅在而而 xxf,1没有定义没有定义在在 x有幂级数展开式有幂级数展开式所以所以)(xf.arctan)(的幂函数的幂函数展开为展开为将函数将函数xxxf 例例8解解1)1(11132 xxxxxxnn1)1(11126422 xxxxxxnn112)1(75311275302 xnxxxxxxdxarctgxnnx因为因为,112)1(012处收敛处收敛在在因为幂级数因为幂级数 xxnnnn,1arctan)(处连续处连续在在且且 xx

19、xf 1 , 1,12)1(arctan120 xxnxnnn故故例例9.)4(sin的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数 xx解解因为因为)4(4sinsin xx)4sin(4cos)4cos(4sin xx),4sin()4cos(21 xx),(! 4)4(! 2)4(1)4cos(42 xxxx),(! 5)4(! 3)4()4()4sin(53 xxxxx所以所以),(! 3)4(! 2)4()4(121sin32 xxxxx例例10.)1(341)(2的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数 xxxxf解解因为因为341)(2 xxxf,)411(81)211(41 xx)3

20、(21)1(21xx )3)(1(1 xx),53()1(4)1(81)411(810 xxxnnnn所以所以 032).31()1)(2121()1(nnnnnxx341)(2 xxxf),31()1(2)1(41)211(410 xxxnnnn而而例例1111.4)(45的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxxf 解解,)41(2)(212xxxf 因为因为 nnnxnnxxxf4!)!2(!)!32()1(42112)(212141 x.!)!2(4!)!32()1(241222132 nnnnxnnxx44 x 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnx

21、nnxxxx例例1212.2cossin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxxf 解解xxxf2cossin)( ,sin3sin21xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn因为因为 )!12()1(21)!12()3()1(21120120 nxnxxfnnnnnn xxnnnnn.)!12()13()1(2112120例例1313).1(141)()(nfxxxxf求求处展开成泰勒级数并处展开成泰勒级数并在在将将 解解)1(3141 xx因为因为,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41所以所以 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n .11)(2的幂函数的幂函数展开为展开为将函数将函数 xxxf,)1(111)(22 xxxf tt11)1(12由于由于例例1414解解, 1 xt令令 11nnnt)02(,)1( )1()1(11)(02 xxnxxfnn故故)11(,)1(0 ttnnn 0nnt)., 3 , 2 , 1(.2,12)1(, 12, 0)0(),()(,. 0, 10,sin)()( kknkknfxfxxxxxfkn并且并且内有各阶导数内有各