解对初值的连续性和可微性

1、第三章第三章 一阶微分方程解的一阶微分方程解的 存在唯一性定理存在唯一性定理existence & uniqueness theorem of first-order ode2021-11-141 1常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3 解对初值的连续性和可解对初值的连续性和可微性微性/continuous and differentiable dependence of the solutions/ 解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性本节要求本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参

2、数的可微性定理。了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要内容提要3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-143 3常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.1 解对初值的对称性定理解对初值的对称性定理设 f (x,y) 于域 d 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，),(,),(0000 yxxygyx是初值问题00)( ),(yxyyxfdxdy的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式3.3 continuity & dif

3、ferentiability continuity & differentiability),(00yx),(yx),(00yxxy2021-11-144 4常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.2解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理假设 f (x,y) 于域 g 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，),(,),(0000 yxxygyx是初值问题00 yxyyxfdxdy)(),(的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当bxa)(bxa00),(ba2200200)()(yyxx时，方程满足条件 的解00yxy)(),(00yxxy在区间

4、bxa也有定义，并且bxayxxyxx 0000,),(),(3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-145 5常微分方程-重庆科技学院-李可人引理引理 如果 f(x,y) 在某域 d 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件（利普希兹常数为l），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式)()(xx及000 xxlexxxx)()()()(其中 为所考虑区间内的某一值。0 x证明证明设 在区间 均有定义，令)(),(xxbxa2)()()(xxxvbxa不妨

5、设因此，有( )( )xx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-146 6常微分方程-重庆科技学院-李可人则)()()()()(xxxxxv2),(),()()(xfxfxx 2)()()()(xxxxl 2)(xlv20222lxlxexlvexv)()(于是02)(lxexvdxd因此，在区间 a,b 上 为减函数，有lxexv2)(02 ()00( )(),l x xv xv x exxb3.3 continuity & differentiability

6、continuity & differentiability2021-11-147 7常微分方程-重庆科技学院-李可人对于区间，并记令000txtxxxa,则则),(ytfdtdy并且已知它有解)(),(tyty类似以上推导过程，令2)()()(ttt)()(tt2attettttl0200,)()()(注意到)()()()(00 xvtxvtxt及0200 xxaexvxvxxl,)()()(因此0200( )(),l x xv xv x eaxb axb两边取平方根，得000 xxlexxxx)()()()(3.3 continuity & differentiabilit

7、y continuity & differentiability2021-11-148 8常微分方程-重庆科技学院-李可人解对初值的连续依赖性定理的证明解对初值的连续依赖性定理的证明（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为，积分曲线段bxaxyxxys :00),(),(是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对s上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段s。设 为圆 的半径， 表示 f(x,y) 于

8、 内的相应的利普希茨常数。,:gcc),(nici21iricilic3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-149 9常微分方程-重庆科技学院-李可人令,inicg1 则有,ggs且 的边界与s的距离 。对预先给定的g00若取),max(),min(nllll21 2及则以s上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成s的有界闭域 ，且 f (x，y)gd 在d上关于 y 满足利普希茨条件，利普希茨常数为l。3.3 continuity & dif

9、ferentiability continuity & differentiability2021-11-141010常微分方程-重庆科技学院-李可人（二）解对初值的连续依赖性（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在这样的正数),(),( ba使得只要 满足不等式2200200)()(yyxx则解 必然在区间 00yx ,)(),(xyxxy00bxa也有定义。由于d是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域d的边界上。设它在d的边界上的点为),(00yxxy和)(,(cc,),(,(dcdd这时必然有.,bdac3.3 cont

10、inuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141111常微分方程-重庆科技学院-李可人因为否则设 则由引理,bdacdxcexxxxxxl,)()()()(000由 的连续性，对)(x,)(able211必存在,02使得当 时有20 xx10)()(xx取),min(21则当2200200)()(yyxx022002xxlexxxx)()()()(0220000 xxlexxxx)()()()(3.3 continuity & differentiability continuity

11、 & differentiability2021-11-141212常微分方程-重庆科技学院-李可人022002xxlexxxx)()()()(0220000 xxlexxxx)()()()(02200200 2xxlexxxx)()()()(222 ()1002 l b ayye22 ()214l b aedxc,于是)()(xx对一切 成立，特别地有, dcx)()(cc)()(dd即点和)(,(cc)(,(dd均落在d的内部，而不可能位于d的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。)(x3.3 continuity & differentiability co

12、ntinuity & differentiability2021-11-141313常微分方程-重庆科技学院-李可人)()(xxdxc,在不等式中，将区间c，d换为a，b ，可知 ，当2200200)()(yyxx时，有bxayxxyxx 0000,),(),(定理得证。3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141414常微分方程-重庆科技学院-李可人的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理假设 f (x,y) 于域 g

13、 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程),(00 yxxy ),(yxfdxdy00yxx,3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141515常微分方程-重庆科技学院-李可人1.1. 含参数的一阶方程表示含参数的一阶方程表示)(),(eyxfdxdy ,),(:gyxg2. 2. 一致利普希兹条件一致利普希兹条件 设函数),(yxf一致地一致地关于 y 满足局部利普希兹局部利普希兹 (lipschitz)(lipschitz)条件条件，为中心的球 ，使得对任何2

14、121yylyxfyxf),(),(其中l 是与 无关的正数。在 内连续，且在 内gg即对 内的每一点 都存在以成立不等式g),(yx),(yxgc ),(1yx),(2yx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141616常微分方程-重庆科技学院-李可人由解的存在唯一性定理，对每一方程 的解唯一确定。记为e),(000yxxy ),(03.3 continuity & differentiability continuity & differentiab

15、ility2021-11-141717常微分方程-重庆科技学院-李可人解对初值和参数的连续依赖性定理解对初值和参数的连续依赖性定理假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，),(,),(000000 yxxygyx是方程 通过点 的解，在区间 那么，对任意给定的 ，必存在正数bxa,bxa00),(ba220200200)()()(yyxx时，方程满足条件 的解00yxy)(),(00yxxy 在区间bxa也有定义，并且bxayxxyxx 00000,),(),(),(yxfgge),(00yx有定义其中使得当3.3 continuity & different

16、iability continuity & differentiability2021-11-141818常微分方程-重庆科技学院-李可人的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理),(00 yxxy ),(yxfdxdy,00yxx假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，则方程),(yxfgg3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141919常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.3

17、解对初值的可微性定理解对初值的可微性定理的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。若函数 f (x,y) 以及 都在区域 g 内连续，则方程),(00 yxxy ),(yxfdxdy00yxx,yf3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142020常微分方程-重庆科技学院-李可人解分别是下列初值问题的00yx,000( , ) ()(,)dzf xzdxyz xf xy 0( , ) ()1dzf xzdxyz xxxdxyxfyxfx0000),(exp),(xx

18、dxyxfy00),(exp),(,(00yxxxfx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142121常微分方程-重庆科技学院-李可人证明证明yf由在区域 g 内连续，推知 f (x,y)在g 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即),(00 yxxy下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数),(00 yxxy00yxx,在它的存在范围内关于 是连续的。存在且连续。00 yxx,3.3 continuity & diffe

19、rentiability continuity & differentiability2021-11-142222常微分方程-重庆科技学院-李可人设由初值),(),(00000 yxxxyyxxy 和为足够小的正数）所确定的方程的解分别为,)(,(),(000000 xyxxyx 和即 )( 00dxx,fyxx )( 000dxx,fyxxx 于是 )()( 000dxx,fdxx,fxxxxx )()(0000dxyx,fdxx,fxxxxx)()( 其中.10先证0 x存在且连续。3.3 continuity & differentiability continuity

20、& differentiability2021-11-142323常微分方程-重庆科技学院-李可人注意到 及的连续性，有yf,1)()(ryx,fyx,f)(其中 具有性质1r。时，且当时当0 00 01010rxrx 类似地2000)( )(1000r,yxfdxx,fxxxx 其中 与 具有相同的性质，因此对2r1r 00时，有x 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142424常微分方程-重庆科技学院-李可人 )()( 0120000dxxryx,fr,y

21、xfxxx 0 x 即是初值问题00001)(zryxfxzzryx,fdxdz),()(的解，在这里 被视为参数。 00 x 显然，当 时上述初值问题仍然有解。00 x 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142525常微分方程-重庆科技学院-李可人0 x 根据解对初值和参数的连续性定理，知是000 xzxx ,的连续函数。从而存在0000 xxx lim而是初值问题),()(000)(yxfxzzyx,fdxdz的解。0 x0000( , )(,)expxxf xf

22、 x ydxxy 且 ，显然00yxx,的连续函数。它是3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142626常微分方程-重庆科技学院-李可人再证存在且连续。0y为初值),(000 yyxxy ),(000yyx 设)(0y 所确定的方程的解。类似地可推证0y 是初值问题1)(03)(xzzryx,fdxdz的解。因而xxdxryxfx030),(exp 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142727常微分方程-重庆科技学院-李可人其中 具有性质3r。时，且当时当0 00 03030ryry xxydxyxfyy00000),(explim 故有至于 的存