第13讲三重积分及其计算

1、第三节第三节 三重积分三重积分一一. 三重积分的定义三重积分的定义二二. 三重积分的性质三重积分的性质四四. 三重积分的换元法三重积分的换元法三三. 三重积分的计算（直角坐标系）三重积分的计算（直角坐标系）一一. . 三重积分的定义三重积分的定义 ),( 3的有界函数。是定义在有界闭区域设rzyxf ) , 2 , 1 ( ，个无公共内点的小区域任意分割为将nini 1。的体积为，并记则iiniiv ),( ，极限若iiiiniiiiivf10 ),(lim ),( 上的三重积分，在区域函数存在，则称该极限值为zyxf )d( ),d( max1的直径。为其中，iiini )(),( ),(

2、。上可积，记为在区域此时称函数rzyxfzyxf 三重积分记为： , ),(limd),(10niiiiivfvzyxf 式中： ),(被积函数；zyxf 三重积分号； 积分区域； ; ) ( d或几何体体积元素积分元素v 积分变量；，zyx ) ( ),(1。黎曼和积分和niiiiivfniiiiivf10 ,),(lim ) 1 (的分割方式与对区域存在与否极限 ),( ii在与否取决于函数在的选择无关。此极限存以及点i 上是否可积。三重积分的几点说明：三重积分的几点说明： )2(数可积。有界闭区域上的连续函内有限条上有界，且仅在在区域若函数 ),( ) 3(zyxf上可积。在则连续曲线或

3、有限张曲面上不 ),( ,zyxf 4划分区域用平行于坐标面的平面在直角坐标系中，通常）（ )( 几何体体积元素元素，故直角坐标系下积分 dddd。zyxv ，三重积分写为相应地，直角坐标系下 ddd),(。zyxzyxf )5(区域，取决于被积函数和积分三重积分是一个数，它 字母）无关：而与积分变量的记号（ ddd),(ddd),(wvuwvufzyxzyxf二二. . 三重积分的性质三重积分的性质性质性质 1 三重积分均存在假设以下出现的性质性质 2zyxzyxgzyxfddd),(),( ddd),( ddd),(。zyxzyxgzyxzyxf，则除边界点外无公共部分与若) ( 2121

4、zyxzyxfddd),(。21 ddd),(ddd),(zyxzyxfzyxzyxf性质性质 3性质性质 4 ),( 0),( ，则若zyxzyxf 0ddd),(。zyxzyxf ddd| ),(| |ddd),(|。zyxzyxfzyxzyxf性质性质 5 | , | ddd对应的体积。为区域zyx）。的情形这就是（ ),( , 1),( zyxzyxf性质性质 6 )(中值定理 )(),( 3，则至少存在为有界闭区域，设czyxfr ),( ，使得一点 | ),(ddd),(。fzyxzyxf )(估值定理 ),(min),(max ，则，设zyxfmzyxfm |ddd),( |。m

5、zyxzyxfm性质性质 5解解例 ，其质量体密度为的物体设有一质量非均匀分布 ),(。，求该物体的质量mzyxf 取极限的方法，可知求和代替采用分划 ,),(lim10niiiiivfm ddd),( 。即zyxzyxfm 式。计算物体质量的一般公该式也是直角坐标系下xyzoxyd),(2yxzz ),(1yxzz 平面上的投影在 xy ),( ),(21，以和yxzzyxzz且， )(),(),(21xydcyxzyxz 平面上的投影为平面在 xy 是由曲面设有界闭区域 轴的柱面围成。及母线平行于 z。区域 xyd。 ),( ),(),(21xydyxyxzyxz三三. 直角坐标系下三重积

6、分的计算直角坐标系下三重积分的计算 分来计算。个二重积分与一个定积三重积分可以归结为一 . 1且，平面上的投影区域为在若区域xydxy , ),( , ),(),( | ),(21xydyxyxzzyxzzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。则yxzyxzdzzyxfyxzyxzyxfxy z . 2且，平面上的投影区域为在若区域xzdx , ),( , ),(),( | ),(21xzdzxyxyyyxyzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。则zxyzxydyzyxfzxzyxzyxfxz z . 3且，平面上的投影区域为在若区域yzdy , ),( ,

7、),(),( | ),(21yzdzyyxxxyxxzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。则zyxzyxdxzyxfzyzyxzyxfyz 确定三重积分限的方法 ) 1 (：平面上，得到投影区域投影到将区域dxy )()( , | ),(21。xyyxybxayxd )2(轴的直线，该直线内任取一点，作平行于在zd ),( ),( 21则，和相交于且与穿过yxzyxz , ),(),( , )()( , | ),(2121yxzzyxzxyyxybxazyx )3( 三重积分化为累次积分dzdd),(yxzyxf d),(dd),( ),( )( )( 2121。yxzyxz

8、xyxybazzyxfyx或其它坐标面上 . 1的积分顺序问题，选择什么样三重积分也有一个积分 进行分析确定。顺序，要根据具体问题 , )()()(),( . 2zyxzyxf若 , , , | ),(hzedycbxazyx d)(d)(d)(dzdd),( 。则hedcbazzyyxxyxzyxf解解 1 dzdd 222与为球面，其中求zyxyxxyz 一卦限中的区域。三个坐标面所围成的第 平面上的投影区域为在 xy 0 , 0 , 1 | ),(22。yxyxyxd 确定积分限： , 10 | ),(xzyx , 1 0 , 1 0222yxzxy dddddd 2221 0 1 0

9、1 0 yxxzxyzyxzyxxyz故21 0 221 0 d)1 (d21xyyxxyx 481d)1 (811 0 22。xxx例xyzod21 xy221 yxz1例解解 , )1 (ddd 3是由三个坐标面及其中计算zyxzyx 1 所围成的四面体。平面zyxoxyz 1zyx1dxy1 平面上的投影区域为在 xy 0 , 0 , 1 | ),(。yxyxyxd 确定积分限： , 10 | ),(xzyx , 10 , 10yxzxyyxxzyxzyxyxzyx1 0 31 0 1 0 3)1 (ddd)1 (ddd d 41)1 (1 21d1 0 21 0 xyyxx ) 852

10、ln (21d4311 1 0 。xxx例解解 , d),(dd 1 1 1 1 1 2222xzzyxfyxyxxx换成先对将积分 , 变量的积分。最后对再对zy 由原积分xyzo1 , 11 | ),(xzyx 1 , 1 1 2222zyxxyx 1 22。所围成与由圆锥面即zyxz。平面上投影，得往将 , 10 | ),( *zyzzzydyz 22222，从而，得到得，由yzxyxz , , 10 | ),(2222，yzxyzzyzzzyx*d d),(ddd),(dd22222222 1 0 1 1 1 1 1 。yzyzzzyxxxxzyxfyzzzyxfyx三重积分也可化为一

11、个二重积分和一个定积分三重积分也可化为一个二重积分和一个定积分zyxzyxfddd),(zyxzyxfzdzzddd),()(21)(dd),(d21zdzzyxzyxfz :(x, y)d(z), z1zz20 xzyz2zz1d(z)计算,dddzyxz其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域.xyz01d(z)1解解：d(z): x2+y2zz0, 110ddddzzzyxz)(ddzdyx10dzzz1033z3zz2)(例计算,ddd2zyxz其中 是由椭球面所围成的闭区域.解解：,1| ),(222222czcczbyaxzyx练1222222czbyaxxydccyx

12、zzzyxzdddddd22)1(d222czabzzcc.1543abc四四. 三重积分的换元法三重积分的换元法 三重积分的换元法 )(),( 3。为有界闭区域，设rzyxfr ),( , ),( , ),( : wvuzzwvuyywvuxxt变换 *空间中的闭一对一地变成空间中的闭区域将xyzuvw , 且满足：区域 ; )(),( , ),( , ),( . 1*1cwvuzwvuywvux ,),( , 0),(),( . 2*wvuwvuzyxjzyxzyxfddd),( 则 ddd |),( , ),( , ),(*。wvujwvuzwvuywvuxf 雅可比行列式的绝对值雅可比

13、行列式的绝对值 , 为常常将直角坐标系转换在进行三重积分计算时 。系柱面坐标系或球面坐标 积分利用柱面坐标计算三重 ),( ),( 3。平面上的投影点为在中点设yxpxyzyxmr ),( , ),( ),( zrrpxyyxp则称平面上的极坐标为在若点 ),( 。的柱面坐标为点zyxm 的直角坐标与柱面坐标点m , cosrx , sinry 。zz , sin , cos : 的雅可比行列式变换zzryrxt 1000sinsin0sincos ),(),(。rrrzzzyzxzyxrzryrxzrzyxj 的关系式为 三重积分计算公式该公式为柱面坐标下的 , 0 , , sin , co

14、s 1外且除由于rczzryrx , , , 0),(),(*则有设从而tzrzyxj ddd),(zyxzyxf ddd ),sin,cos(*。zrrzrrf , ddd , 故有体积元素为在柱面坐标下zrr ) | ( ddd |的体积为。zrr | |rrj例解解 0 , 1 | ),( , ddd 222。计算zzyxzyxzyxz 运用柱面坐标系。 平面上的投影区域为在 xy 20 , 10 | ),( 1 | ),(22。rryxyxd , 1 1 0 , 222故此时ryxz 1 0 , 10 , 20 | ),(2*。rzrzr*ddddddzrrzzyxz d)1 ( 21

15、dddd1 0 22 0 1 0 1 0 2 0 2rrrzzrrr 4d 42 212 0 1042。rrrr例解解 , 1 222所围成的区域及平面是由锥面设zzyx 1ddd 22。计算yxzyx 平面上的投影区域为在 xy 20 , 10 | ),( 1 | ),(22。rryxyxd , 1 , 10 22故即而zrzyx 运用柱面坐标系。 1 , 10 , 20 | ),(*。zrrzr d d1d1 ddd 1ddd1 1 0 2 0 222*rzrrrrzrryxzyx1 0 221 0 21 0 2d1 11 2d1 2d1 )1 ( 2rrrrrrrrrr )222(ln

16、)arctan(2 ) 1ln(10102。rrr , d , 或被积函数中为圆型区域的投影当积分区域一般说来 , )( 22。则可考虑采用柱面坐标时出现yx , cosrx , sinry 。zz zrrzyxddd ddd 积分利用球面坐标计算三重 。极坐标系球面坐标系又称为空间xyzo),(zyxm . 的距离坐标原点到点mr . 轴正向间的夹角与zom 平面上的投影向量在xyom . 的角度到轴正向逆时针方向旋转，opxop)0 ,(yxp r . , 的球面半径为坐标面是原点为中心常数rr . 2 , 的圆锥面锥顶角为坐标面是以原点为顶点常数 . 轴的半平面坐标面是过常数z : ),

17、( ),( 间的关系与球坐标的直角坐标点rzyxm , cossinrx , sinsinry . cosrz . 20 , 0 , 0 , r其中 换元法的雅可比行列式 . sin 0cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossin ),(),(2rrrrrrrzyx . sin |sin| ).,(),( |22rrrzyxj :的积分积分换成球面坐标系下将直角坐标系下的三重 ddd),(zyxzyxf , dddsin )cos , sinsin , cossin(2*rrrrrf . * , t其中 , dddsin , 2故体积元素为在球面坐标系中

18、rr) | ( . dddsin |2的体积为rr例解解 , , ddd)( 22为两个上半球面其中计算zyxyx 222222平面所围成与和xyyxazyxbz . 0 , , ab其中的区域 x z o a b . 运用球面坐标系 r , 20 , 20 , | ),(* brar转换为 0 , | ),(22222zbzyxazyx dddsinsinddd)( *22222rrrzyxyx故 )(51 ! ! 3! ! 1)(32ddsind55 42 0 32 0 abrrba . )(15455ab xyzo例解解 )0( 2 222与内接求由通过原点的球面aazzyx . , 2 围成的体积顶点位于原点的锥面所于球面的锥顶角为 , cossin :rx 运用球坐标系 . cos , sinsinrzry , cos2 2 222arzazyx由 , cos20 | ),(r, * ar 于是 . 20 , 0dddsinddd 2rrzyxv故 dsincos38dddsind 0 332 0 cos2 0 2 0 2 0 arra . )cos1 (3443a性质性质上连续。在有界闭区域设),( zyxf平面对称，则关于若xy),(),(ddd ),(2),(),(0ddd ),(1zyxfzyxfzyxzyxfzyxfzyxfzyxzyxf若若01z其