东北大学2011年数学建模论文解答解读

1、本论文通过上网查找事故发生地的实际情况，结合公路设计的标准要求，忽 略次要因素，对于问题一，建立了基于分析汽车在弯道内侧滑的条件的公路含理 性模型，计算出汽车在弯道内行驶最容易发生事故的点和进入弯道而不发生事故 的最大速度口。对于问题二，设计缓和曲线，建立了缓和曲线的曲线方程模型，使 汽车通过缓和曲线能从直道平滑的过渡到弯道。对于问题一，首先，通过在google 地图上取点，描绘出事故多发地弯道的曲线形状，将屏幕坐标点转化为实际道路情况坐标点。其次，对得到的反映实际 路况的一系列坐标点进行Hermite 插值处理，并将处理后的点拟合成一个多项式函数。再次，通过分析汽车入弯后行驶时的情况得出发生

2、侧滑的条件。最后，考 虑汽车在弯道上每一点行驶的滚动摩擦力，结合己经分析得出的侧滑条件，计算 得出在弯道上最容易发生事故的点的坐标，并求出该点对应的进入弯道的初始速 度的值，这个值就是能顺利过弯而不发生事故的速度最大值。通过计算得出进入 弯道的最大速度为 17.2839m/s 转换为 km/h 为 62.2221 km/h 即超过此速度后汽车 在弯道内一定会发生事敌。对于问题二，由于不要求成本最低，则假设不能改变s 型弯道的形状，依据问题一的结论，在不改变弯道形状的前提下，通过设计缓和曲线使汽车安全过弯， 缓和曲线作用主要有两点，一是提示司机前方有弯，需减速至60km/h 以下，二是使汽车车头

3、能平滑的转动至弯道切线方向，而不因为车头转动过快使汽车失去 控制。缓和曲线的设计通过对缓和曲线的要求推导出霍尔布鲁克螺线（回旋线）A2模型Rj，根据要求改变道路成本最低，确定处缓和曲线的最小长度，通过!j最小长度确定回旋线的参数。求解缓和曲线方程式，通过转化，近似，将此问题 转化为求解一个带初值的二阶微分方程的问题，微分方程为：2 -（x xo）1 + k2（1J）= AInnYS =ys,YS =ys此微分方程无法求得解折解，因此采用计算出其在设置缓和曲线范围内的一 系列数位解，之后通过最小二乘法对缓和曲线方程做拟合的方法近似计算缓和曲 线方程。论文中图七为缓和曲线与弯道连接的示意图。关键词

4、:Hermite 插值，最小二乘法拟合，滚动摩擦力，缓和曲线，霍尔布鲁克螺线 微分方程数值解。回旋线） ，二问题重述2010 年 5 月 25 日，广元市利州区宝轮镇街道上，一辆拉砖的货车一头撞进路边居民房内， 司机受伤，所幸没造成楼房内人员伤亡。28 日，住在此路段的居民张建东反映，发生车祸的下坡路段设计不合理，通车以来，已发生大大小小几十起交通事故，造成多人死伤，公路通车后房屋已 4 次被撞，通车前的 2008年 11 月 28 日，在 24 小时内就连续发生了 3 起事故。该段道路的上段是近 2 公里的长坡，到出事路段时，则是一段S 形的急弯陡坡路。“这一段公路至少都有 40 多米宽，是

5、宝轮的形象公路。”张建东来到宝白公路另一端说，他家门口的公路，却因为建了一座“山珍大厦”，将整个道路差不多占去一半，该大厦同时将往宝轮方向行驶的车辆的视线完全挡住。“我们认为这段路设计上有问题，以前这里就是一块平地，本来可以建成没有坡的道路，现在却是原没有坡的拱了个坡，没有弯的造了个弯。”附近居民说，行驶至该路段的驾驶员被前方十字路口的建筑挡住视线，驶过此路段的车辆车速都很快，一下坡就遇到红绿灯， 根本来不及刹车。在题目给定的条件下，同学们可自行设计符合题意的情景，建立你的数学模型：（1）说明道路设计是否合理；（2）如道路设计不合理需要如何修改设计在最小成本的情况下得到最大改善。三模型假设1、

6、汽车在下坡时不知道前方有急弯。汽车在不知情情况下沿下坡路段一直加速。2、当汽车发现红绿灯时立即刹车减速，并开始过弯。汽车进入弯道为平滑入弯， 即是沿弯道的切线方向进入弯道的口3、汽车的转弯半径约等于弯道的曲率半径。4、假设汽车发生的事故只有侧滑而没有侧翻的情况，即当失去平衡时汽车四轮 没有离开地面二5、认为只要侧滑就为发生事故。四问题分析通过查阅 gongle 地图中当地地形的实际情况的卫星视图可清楚的看到事故发生路段的地形情况，事故所发生路段为一个直道下坡之后接一个S 型弯道如下图所示：图片一：事故发生地地形示意图结合 gnogle 地图中的地形和照片中的路口实际情况，分析事故发生的原因 可

7、以推断，汽车行驶经过下坡路段后，车速达到较大的值，在不知道前方有弯道 和红绿灯的情况下，不会减速刹车。遇到红绿灯后汽车刹布过弯，但已经来不及 将速度降低到正常过弯的情况。由于离心力的作用，导致汽车失去控制，发生事 故。分析道路设计是否合理即可转化为分析汽车以一定速度从坡道上行驶下来后 不发生事故的最大速度的问题。改良公路线型使汽车能平滑入弯。第一步，通过取点将入弯段得公路弯道曲线离散化，用 Hermite 插值对所取 离散的点进行插值处理，之后用最小二乘法拟含出在入弯处得公路曲线的函数。第二步，结合第一步所得的函数，计算在入弯处的函数在此点的曲率半径， 结合牛顿力学进行分析，得出实际允许的最大

8、速度，与实际情况比较得出公路设 计是否合理第三步，以汽车在弯道路段不发生侧滑为原则，对以上两步求得的结果进行 优化分析，结合公路设计中的缓和曲线，尽可能大的增大最大速度，权衡成本与 速度最优得出结论。五符号说明符号含义(Xi,yi)在地图上取得一系列的点Y=f(x)汽车行驶到弯道处得曲线方程(xs,ys)汽车驶入弯道时，弯道的起点X XsXe弯道在 Xs处开始到 Xe处结束，Rs,R汽车入弯时在 Xs的曲率半径，在弯道中行驶在Xi处得曲率半径m汽车的质里Vs,Vi汽车入弯时的速度，汽车行驶到（Xi,yi）时的速度汽车的滚动摩擦系数汽车的横向附着力系数e路面超高，即公璐平面与水平面夹角Si刹车后

9、滑行，从刹车点到（Xi,yi）的路程Y=F(x)缓和曲线的方程Xo缓和曲线的起始点。ljXj点处距开始 X。处距离。V0缓和曲线段行驶的平均速度。a缓和曲线上行驶的离心加速度变化率为aL缓和曲线的总长度k直线段得斜率，即入弯点的弯道斜率R缓和曲线上点（xj,yj）处得曲率半径六模型建立6.1 原始数据的取得和处理6.1.1 对所取的点进行 Hermite 插值用 google 地图中的点在屏幕上的坐标得到在题目描述路段的道路曲线上的 点的坐标并将通过比例尺转化为横纵坐标都为m 的点设为（Xy）。以水平东西方向为 X 轴，以水平南北方向为 y 轴建立直角坐标系。在（Xi,yi）中对事故发生 路段

10、着重取点增大取点的密集程度，提高准确性。对取得的一组点（Xi,yi）中的事故发生路段的点设为 x XsXe，设其中有若干组点进行Hermite 插值，得到更加密集的一组点，使曲线更加平滑。6. 1.2 最小二乘法拟合由于 Hermite 插值得到的插值多项式一阶可导但二阶不一定可导，而求曲线的曲率时必须用到函数的二阶导数值，因此，对Hermite 求得的更密集的点用最小二乘法进行拟合，拟合成一个多项式函数，设用最小二乘法拟合求得弯道曲线的方程为 y=f(x)，(x Xs,Xe)并求得汽车在(Xsys)处入弯。6.2 公路弯道设计合理性分析公路设计的合理性可由入弯不发生侧滑的最大速度衡量，即容许

11、通过该路段 不发生事故车辆的最大速度。通过动力学理论分析可求得此最大速度。621 弯道曲线中的曲率半径 道路曲线的方程为 y=f(x)，则曲线上点的的曲率半径为：3(1 - y，2)RZy)(1)y在点(Xs,ys)的曲率半径 R；为 Rs=R(xs)6.2.2 汽车不发生侧滑时速度条件模型轮胎在路而巨出现横向滑移时的附着系数称为横滑附着系数设其为J。汽车通过弯道时，在未使用制动的条件下，不出现侧滑的条件是离心力不大于横向 附着力与汽车重力在路面平行方向的分力之和。汽车离心力可表示为2v F =m(2)R公示中 m 为汽车的质量，v 为汽车过弯的速度。汽车的横向附着力可表示为：Fi=Jmg(

12、3)由于公路设计时路面都不会是平整的，路面与水平面之间都有很小的夹角，设路面与水平面之间的夹角即路面超高为 e,因此重力在路面方向的分力为：斤=mgsine(4)在 e 很小时由于limSine-1，即 sine=e 则可以用 e 近似的代替 sine,即上式可化为：t eR=mg(一e) (5)要使汽车入弯后不出现侧滑的情况须有：F沙F2(6)由以上各式可解得：v2空Rge-e) (7)6.2.3 刹车之后速度变化模型刹车之后，发动机停止工作不做功，汽车依靠原有动能在路上滑行，摩擦力最大可取滑动摩擦力 mg，不发生侧滑时取滚动摩拣力为mg。设滑到()处时汽车速度为 w，在此处弯道的曲率半径R

13、i由刹车后汽车动能转化为内能。从(xs,ys)处入弯到达(Xiy)处汽车划过距离由弧长公示可得：XisJf（x）2dx（8）Xs汽车行驶到 Xi处时的速度 Vi满足关系式1212mvsmvimgsi（9）2 2判断公路设计是否合理即判断在弯道曲线上的每一点上是否都有V：兰Rg （4土e）（ 10）由以上各式带入化简可得：v；c2%s +Rg（卜 士e） （ 11）在曲线的每一点都要满足上式，因此应满足：2Vs: min2、gSiRgP- e） （ 12）将上式作为评判公路是否合理的标准。6.3 缓和曲线道路改善模型在不改变弯道形状的情况下，使道路状态改善，在弯道上发生事故的事敌率 降低，只有降

14、低入弯时的速度才能达到目的，在6.2 得出的结论基础上，在坡道和弯道间加入缓和曲线，缓和曲线能提醒司机前方有弯道，提醒司机减速。经分析该段道路容易发生事故的主要原因就是司机不能提前知道事故路段 是一个 s 型弯道，即弯道曲线的曲率半径变化过快，车通过在坡道和弯适曲线 之间加入一条缓和曲线可解决此问题。缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大 圆曲线与小圆曲线之间过渡的线型，是道路平面线型要素之一。在加入缓和曲线 后，汽车行驶至缓和曲线范围时开始减速。让司机有足够的时间调整车头方向， 使汽车平滑入弯。6.3,1 缓和曲线的曲线方程模型此处的缓和曲线应为在一条直线与圆曲线之间的过渡，在理想状态下此缓和

15、 曲线应满足如下性质：1在缓和曲线开始处，曲率半径应与直线曲率半径一致，均为无穷大口2在缓和曲线结束处，曲率半径应与弯道曲线的曲率半径相同3.以缓和曲线开始处为参照点，在曲线任意点处曲线的曲率半径都与对应的曲线 长成反比例。由以上性质建立缓和曲线方程模型，设缓和曲线从x=x。处开始至 x=xs处结束，Xj为缓和曲线上任意一点，此点距x0处跟离为 lj,曲率半径为 R。缓和曲线总长为 L。在曲线任意点曲率半径与对应曲线长成反比例：为使上式满足当 lj=0 时Rj T ，当 lj=L 时 R=R；.必须找出一个待定的比例系数，为推导上的便利，由于rj和 lj都为正数因此选比例系数为A2。上式可化为

16、：R斗（14）lj此公式即为缓和曲线公式，满足此条件的螺旋线称为霍尔布鲁克螺线（回旋线）。用此作为公路直线段与弯道段的过渡曲线可满足平滑过渡的要求。Rj二1jlj(13)632 霍尔布鲁克螺线（回旋线）中参数的确定以上推导得出的霍尔布鲁克螺线方程中缓和曲线总长为L 是未知量，即缓和曲线的初始位置 xo是未知的。霍尔布鲁克螺线的参数 A2未知，可根据 6.2 中拟 合出的缓和曲线终点的曲率半径等于弯道起始点的曲率半径得出A2与 L 的函数关系如下：2A二RsL（ 15）分析上述函数式，必须引入其他因素来确定缓和曲线长度的值L 从而确定出螺线中的参数 A2。缓和曲线的长度应尽可能的小，从而降低修改

17、公路的成本， 缓和曲线的最小长度可综合旅客过弯时的舒适程度和缓和曲线段行驶时间长短 确定。（1）根据旅客的舒适程度确定 L 旅客的舒适程度是有离心加速度的变化率决定的，设在缓和曲线上行驶的离 心加速度变化率为 a，进入弯道时的离心加速度为a,缓和曲线上行驶平均速度为 Vo，缓和曲线上行驶的时间为 t，则：2a vsa- （16）t Rstl-min -V0t（ 17）综合确定 a的取值2.VsV0Lmin（18）Rsa这 A 的取值即可确定：A二、VsV* a2）行驶时间不宜过短确定 L缓和曲线上行驶的时间为t，缓和曲线上行驶平均速度为V。，则有 Lmin=V0t，由此可得出螺线参数A 的取值

18、：A*RV）t（ 19）综合以上两点，可由（1）先计算出 Lmin的值，再由（2）式条件调整 Lmin的大小， 达到最优解决问题的目的。5.3.2 霍尔布鲁克螺线直角坐标系下曲线方程的推导设霍尔布兽克螺线在直角坐标系下的方程为Y=F（x）则由上一问模型中给出的公式得在螺线3、（1 -by2）2一上的每一点的曲率半径都满足表达式RA距缓和曲线开始时的长度满足表达式XjL二1_(Y)2dx在螺线上每一点都满足A2=RL得出在螺线的曲线方程应满足X0Xj _为了简化计算，当缓和曲线上点的曲率半径充分大时可将L=.1 (Y)2dX近似的等于直X0线上从点 x=x。到点 X=Xt的直线距离，设直线的方程

19、为y=kX+b。则L(Xj-Xo)1 k2上微分方程可化为：求出此微分方程即可得出丫的表达式，积分得到 Y 的表达式。要求解处此微分方程解析解非常困难，本模型通过计算数值解在曲线上描点后拟合得出其曲线方 程。七模型求解7.1 原始数据的处理查阅资料可得出弯道曲线部分的拟合多项式为：y=p1*xA10+p2*xA9+p3*xA8+p4*xA7+p5*xA6+p6*xA5+p7*xA4+p8*xA3+p9*xA2+p10*x+p11 Coefficients:p1=3,1713e-23;P2=-1.4584e-19;p3=2.835e-16;P4=-3.0413e-13;p5 =1.975e-10

20、;P6=-8.0578e-8;p7=2.0784e-005;P8=-0.0033561;p9=0.33085;P10=-18.581;P1 仁 695.16;上述多项式即为插值拟合后得到的拟合曲线方程。去掉一些不合理的点之后得 到多项式函数曲线图像如图Xj* W1+(Y)2dxXcX03(1Y2)2二AIIY(20)32 2(X-Xo)时叮IInn危=ys，丫S =ys2二A2(21)50050 -_10iH1L丄10100200300400600600700东西方问距离用面图六最终确定的多项式函数曲线在如图曲线中 X 的取值可从 50m 到 60m 可研究此段水平方向上0.6 公里的弯道情况

21、来说明公路没计的合理性和缓和曲线的设计。1.2 公路弯道设计合理性求解7.1.1 计算弯道的曲率半径由求得的拟介多项式函数及曲率半径的公示计算可得曲率半径为：far i=1:1259in=x(i);Out(i)=p1*i nX0+p2* inA9+p3*i n8+p4* inA7+p5*i nW+p6* inA5+p7* inA4+p8*i n3+p9* inA2+p10*in+p11;Endd1=diff(Out,1)d2=diff(Out,2);d仁abs(dl);d2=abs(d2);For i=1:1259an s(i)=sqrt( 1+d1(i)A2)A3)/d2(i);End因此在

22、入弯时曲率半径为142.9576m 此曲率半径在 x=50 时取得，最小曲率半径为 86.9802 m 此曲率半径在 x=555 m 取得。mi n(ans)an s=86.9802区间內多项式国数曲线5 50 00 00 05 5L LT T7.1.1 计算弯道个点的长度根据曲线弧长的计算公式，在计算公式中，积分可变成求个段得和matlab现代码如下：s = sqrt(1+d1A2);For i=1:1259S(i)=sqrt(1+d1(i)A2);EndFor i=1:1259 q(i)=sum(s(1:i);end得出的 q 即为各点到起点的曲线长度。7.7 .2 选取合适的参数u,e,

23、g在公路上行驶假设地面对汽车的横附着力系数是一个常量，井且不会改变。查阅相关资料可取u =0.25, g =9.8m/s2，路面超高 e=0.1，为了简化计算此处的滚动摩擦因数取附着力系数的1/30 即是。下面来求最容易失去控制发生侧30all3 吃滑的点在曲线中的位置。按照模型推理出来的公式求各点的速度的matlab 代码如下：For i=1:1259f(i)=sqrt(2*(1 /30)*0.25*9.8*q(i)+a ns(i)*9.8*0.25*(31/30);Endmi n(f)ans =17.2839得出要安全过弯在弯道入口处得最大速度为17.2839n/s 转换为 km/h 得入

24、弯时的速度应为 62.2221km/h。即在入弯处应限制最大速度60km/h.7.3 缓和曲线设计模型的求解7.3.1 缓和曲线中参数 A2的确定考虑汽车中乘客的舒适程度，查阅相关资料得到离心加速度变化率一般都在0.35 到 0.5 之间，即 a (0.3,0.5)，平均速度 V。取 0.0214V 得:结合行驶时间不超过3s 得 L 317.2839=51.8517，为方便计算取L=50m。当A=84.5451.7.3.2 计算缓和曲线在直角坐标系下的方程由模型建立中给出的公式结合已算出的数据可将微分方程中参数加以确定3II I IWYs=ys,Ys=ys其中 A=84.5451 , ys=

25、1.2133, ys=0.027,由假设得到直线的斜率与入弯点的斜 率相等，因此k=1.2133，此微分方程求解析解很困难，冈此求出一系列数值解 后描点得出曲线的形状，再0.0214V；Rsa(22)L=50m 时用最小二乘法拟合出缓和曲线的曲线方程。求解微分方程数值解需对模型中变量做近似，因为两点间直线冲离最短，当 直线距离为50m 时缓和曲线取值大于50m，但由于缓和曲线的曲率半径很小所以可以近似的认为缓和曲线设置在直线长度为50 区间内，求解得出直线上距离入弯点 50 米得点的坐标为(18.5, 243.0843)求解过程如下：x=0:0.5:50;an d=(50-x)*sqrt(1+

26、1.2133A2);an d(38)ans=49.5271X(38)ans=18.5即计算出微分方程中x 坐标为 18.5 到 50 的各点的函数值即可。求解步骤如下：1.将微分方程变为一阶微分方程组：jTIU=Y，U?=U3(x-xj)1+k2(1+U2)2=A( 24)U2i nU2S= ys, U2S= ys2. 上述方程中求出 U2关于 x 的一系列值。3对 U2求积分， 得出 U1即为缓和曲线上的点。 描点得到加入缓和曲线后公路的弯道情况女口 下:图七缓和曲线与弯道连接示意图 曲线用 4 次多项式拟合后多项式函数为y=p1*xA4+p2*xA3+p3*xA2+p4*x+p5Coeff

27、icients :P1=1.2659e-17P2=-1.747e-15 p3=8.7342e- 14 P4=-1.2133 p5=341.97九模型优化1公路设计合理性的优化考虑到方便计算，上述模型只从汽车过弯道时是否发生侧滑情况加以分析， 但没有考虑另一种罕见的事故情况即侧倾，当汽车速度过快入弯时，车头方向来 不及调整，可能造成汽车侧倾，侧倾与侧滑相似也有一个不发生侧倾的最大速度，得出不发生侧倾的最大速度后，可以依照原模型进行分析。具体过程与侧滑时相 同。2缓和曲线的优化在设计缓和曲线时，可加入对超高渐变的没计，设弯道超高为e,则应使超高随缓和曲线长度的大均匀变化即超高与距初始点长度比值为一个常数即：E =p,（p为常数）（25）l在超高上升过程中，缓和曲线应有一个旋转轴，旋转轴与行车道外测边缘之 间的相对坡度。附加坡度或超高渐变率太大太小都不好：可由下面公式确定：,