排列组合计数原理 高考一轮数学精品课件

1、排列与排列数排列与排列数组合与组合数组合与组合数定定义义 1. 1.排列排列: :一般地一般地, ,从从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m(mn)m(mn)个元素个元素, , , ,叫做从叫做从n n个个列列. .特别地特别地, ,当当n=mn=m时时, ,叫做叫做n n个不同元素个不同元素的一个的一个 . . 2.2.排列数排列数: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的的 ，叫做从，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的排列数个元素的排列数1.1.组合组合: :一般地一般地, ,从从n n个个不同元素中取出不同元素中取出m(

2、mn)m(mn)个元素个元素 , ,叫叫做从做从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m m个元素的一个组合个元素的一个组合. .2.2.组合数：从组合数：从n n个不同个不同元素中取出元素中取出m(mm(mn) )个不个不同元素同元素 ，叫做从，叫做从n n个个不同元素中取出不同元素中取出m m个元个元素的组合数素的组合数. .按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列全排列全排列 所有不同排列的个数所有不同排列的个数合成一组合成一组所有不同组所有不同组 合的个数合的个数 返回目录返回目录 返回目录返回目录 组合数组合数排列数公式排列数公式 =或或 =组合数公式组合数公式或或 =n!;0!

3、=1n,mn+且且mnm mn na am mn nc cm mn na am mn na an nn na a-1-1m mn nm mn nm m1 1n n0 0n nm m- -n nn nm mn nc cc cc c1 1c cc cc c+=+=m mm mm mn nm mn na aa ac cm)!m)!- -(n(nm!m!n!n!c cm mn n=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m)!m)!- -(n(n n!n!m!m!1)1)m m- -(n(n2)2)- -1)(n1)(n- -n(nn(n+(1)解方程解方程: (2)计算：计算：返回目录返回目录 利用排列

4、数和组合数公式进行解答利用排列数和组合数公式进行解答.; ;6a6a2a2a3a3a2 2x x2 21 1x x3 3x x+=+. .c cc c3 3n nn n2 21 1n n- -3 38 83 3n n+（1）由）由 得得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), 整理得整理得3x2-17x+10=0. 解得解得x=5或或 (舍去舍去). 即原方程的解为即原方程的解为x=5.返回目录返回目录 2 2x x2 21 1x x3 3x x6a6a2a2a3a3a+=+3 32 2 38-n0 3n38-n n+213n 38-n,3n,21+nn*. 解得解得 n

5、且且nn*, n=10. 返回目录返回目录 （2）依题意得）依题意得2 21 19 92 22 21 14 46 66 6c cc cc cc cc cc c1 13 31 12 23 30 03 30 03 31 12 28 83 30 03 3n nn n2 21 1n n- -3 38 83 3n n=+=+=+（1） 和和 中，中，m,n须满足须满足nm0且且m,nn*. （2）在计算组合数、排列数时多用公式的多项）在计算组合数、排列数时多用公式的多项式或分式形式，在有关化简或证明题中多用阶乘式式或分式形式，在有关化简或证明题中多用阶乘式.返回目录返回目录 m mn na am mn

6、nc c证明下列恒等式：证明下列恒等式：（1）（2）返回目录返回目录 ; ;a amamaa am m1 1n n-1-1m mn nm mn n+=+. .c cc cc cc cc c1 1m mn nm mm mm m1 1m mm m2 2- -n nm m- -1 1n n+=+:（1）：左端：左端= ： 表示从表示从n+1个元素中取个元素中取m个元素的排个元素的排列个数，其中不含某元素列个数，其中不含某元素a1的有的有 个，含有个，含有a1的可这样的可这样进行排列：先排进行排列：先排a1,有有m种排法，再从另外种排法，再从另外n个元素中取个元素中取出出m-1个元素排在剩下的个元素排

7、在剩下的m-1个位置上，有个位置上，有 种排法，种排法，故含故含a1的有的有 种排法种排法.由加法原理知：由加法原理知：返回目录返回目录 . .a am)!m)!- -1 1(n(n1)!1)!(n(n1)!1)!m m- -(n(nm)m)1 1m m- -(n(nn!n!1)!1)!m m- -(n(nmn!mn!m)!m)!- -(n(nn!n!m m1 1n n+=+=+=+m m1 1n na a+m mn na am m1 1n na a+. .a am ma aa am m1 1n n- -1 1m mn nm mn n+=+- -1 1m mn nm ma a（2）由组合数性质

8、知：）由组合数性质知： 左边左边=右边右边.返回目录返回目录 . .c cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc cc c. .c cc cc c1 1m mn n1 1m m-1-1n nm m-1-1n n1 1m m3 3m mm m3 3m mm m2 2- -n nm m-1-1n n1 1m m2 2m mm m2 2m mm m2 2- -n nm m-1-1n n1 1m m1 1m mm m1 1m mm m2 2- -n nm m-1-1n nm mm mm m1 1m mm m2 2- -n nm m-1-1n

9、nr r1 1n n-1-1r rn nr rn n+=+=+=+=+=+=+有有3名男生，名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数的种数.（1）选其中）选其中5人排成一行；人排成一行；（2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置；）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置；（3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头；）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头；（4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；（5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（6）全体排成

10、一行，其中男生、女生都各不相邻；）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；（7）全体排成一行，其中男生不能排在一起；）全体排成一行，其中男生不能排在一起；（8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保 持不变；持不变；（9）全体排成一行，甲、乙两人间恰有）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人；人；（10）全体排成前后两排，前排）全体排成前后两排，前排3人，后排人，后排4人人.返回目录返回目录 本题包括了有限制条件的排列问题的本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循：几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵

11、循：“先特殊，后一般先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或的原则，即先考虑特殊的元素或特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相必相邻邻”元素，常采用元素，常采用“捆绑法捆绑法”的技巧，对于的技巧，对于“不相邻不相邻”元素常采用元素常采用“插空法插空法”的技巧，此外的技巧，此外“正难则反正难则反”是是处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正确的重要手段确的重要手段.返回目录返回目录 （1）由排列的定义可知不同排列的种数为）由排列的定义可知不同排列的种数为 =2 520. （2）首先在中间或两头

12、之一排甲，共有）首先在中间或两头之一排甲，共有 种方法；种方法；其次在所剩的其次在所剩的6个位置上对其余个位置上对其余6人进行全排列，共有人进行全排列，共有 种种方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为 =2 160. （3）仿（）仿（2）先排甲、乙共）先排甲、乙共 种排法，其余种排法，其余5人尚人尚有有 种排法，故共有种排法，故共有 =240种不同排法种不同排法. （4）当乙排在首位时，共有）当乙排在首位时，共有 种排法种排法;当乙不在首位当乙不在首位时，先排乙有时，先排乙有 种方法，再排甲也有种方法，再排甲也有 种方法，最后其种方法，最后其余

13、各元素有余各元素有 种方法，故共有种方法，故共有 种不同排法种不同排法. 所有不同的排列种数为所有不同的排列种数为 =3 720.返回目录返回目录 5 57 7a a1 13 3a a6 66 6a a6 66 6a a1 13 3a a2 22 2a a5 55 5a a2 22 2a a5 55 5a a6 66 6a a1 15 5a a1 15 5a a5 55 5a a5 55 51 15 51 15 5a aa aa a5 55 51 15 51 15 56 66 6a aa aa aa a+ （5）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有

14、 种，又男生的排列有种，又男生的排列有 种，女生的排列有种，女生的排列有 种，由分种，由分步乘法计数原理，所有不同的排列数为步乘法计数原理，所有不同的排列数为 =288. （6）先排男生有）先排男生有 种排法，此三人中间及两端恰种排法，此三人中间及两端恰有有4空供女生排列，有空供女生排列，有 种排法，从而共有种排法，从而共有 =144不不同的排列同的排列. （7）从）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可，人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可，故所求不同排列数为故所求不同排列数为 - =4 320. （8）只须在）只须在7个位置中选个位置中选4个位置将女生进行排列，个位置将女生进行排列，再将

15、再将3名男生按顺序插入，共有名男生按顺序插入，共有 =840种不同排法种不同排法. 返回目录返回目录 2 22 2a a3 33 3a a4 44 4a a4 44 4a a3 33 3a a2 22 2a a3 33 3a a4 44 4a a3 33 3a a4 44 4a a7 77 7a a5 55 53 33 3a aa a4 47 7a a （9）先选）先选3人排在甲、乙之间，有人排在甲、乙之间，有 种排法，又种排法，又因甲、乙排列有因甲、乙排列有 种，再将此种，再将此5人看作一个元素与其余人看作一个元素与其余2人进行全排列有人进行全排列有 种，故共有种，故共有 =720种不同种不

16、同排法排法. （10）前后二排形式变化，顺序之实犹存，其排法）前后二排形式变化，顺序之实犹存，其排法仍有仍有 种种.返回目录返回目录 2 22 2a a7 77 7a a3 33 3a a3 35 5a a3 35 5a a2 22 2a a3 33 3a a【评析评析】本题主要考查解排列、组合的一些基本方法本题主要考查解排列、组合的一些基本方法.给定数字给定数字0,1,2,3,5,9，每个数字最多用一次，每个数字最多用一次.（1）可以组成多少个四位数？）可以组成多少个四位数？（2）可以组成多少个四位奇数？）可以组成多少个四位奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？）可以组成多少个四位偶数？：从：

17、从“位置位置”考虑，由于考虑，由于0不能放在首位，因不能放在首位，因此首位数字只能有此首位数字只能有 种取法，其余种取法，其余3个数位可以从余下的个数位可以从余下的5个数字中任取个数字中任取3个排列，所以可以组成个排列，所以可以组成 =300（个）（个）四位数四位数.：从：从“元素元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字分成两类，有数字0的有的有 个，无数字个，无数字0的有的有 个，个，所以共组成所以共组成 + =300（个）四位数（个）四位数.返回目录返回目录 1 15 5a a1 15 5a a3 35 5a a1 13 3a a3 35 5

18、a a4 45 5a a1 13 3a a3 35 5a a4 45 5a a：间接法，从：间接法，从6个元素中取出个元素中取出4个元素的所有个元素的所有排列中，减去排列中，减去0在首位上的排列数即为所求在首位上的排列数即为所求.所以共有所以共有 - =300（个）四位数（个）四位数. （2）从）从“位置位置”考虑，个位数字必须是奇数有考虑，个位数字必须是奇数有 种种排法，首位数字不能是排法，首位数字不能是0，则在余下的，则在余下的4个非个非0数字中取数字中取1个个有有 种取法，其余两个数位的排法是种取法，其余两个数位的排法是 ，所以共，所以共有有 =192（个）四位奇数（个）四位奇数. （3

19、）：间接法，由（：间接法，由（1），（），（2）知共有）知共有300-192=108（个）四位偶数（个）四位偶数.：从：从“位置位置”考虑，按个位数字是否为考虑，按个位数字是否为0分成分成两种情况，两种情况，0在个位时有在个位时有 个四位偶数，个四位偶数，2在个位时，在个位时，有有 个四位偶数，共有个四位偶数，共有 + =108（个）（个）四位偶数四位偶数.返回目录返回目录 4 46 6a a3 35 51 11 1a aa a1 14 4a a1 14 4a a2 24 4a a1 14 4a a2 24 4a a3 35 51 11 1a aa a1 14 4a a1 14 4a a2 2

20、4 4a a1 11 1a a3 35 51 11 1a aa a1 14 4a a2 24 4a a1 11 1a a7名男生和名男生和5名女生中选取名女生中选取5人人,分别求符合下列条件的选法分别求符合下列条件的选法总数有多少种总数有多少种?(1)a,b必须当选必须当选;(2)a,b必不当选必不当选;(3)a,b不全当选不全当选;(4)至少有至少有2名女生当选名女生当选;(5)选取选取3名男生和名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等名女生分别担任班长、体育委员等5种种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任生担任. (1)

21、(2)(3)属于组合问题属于组合问题,可用直接法可用直接法,(4)属于组合问属于组合问题题,可用间接法可用间接法,(5)属于先选后排问题属于先选后排问题,应分步完成应分步完成.返回目录返回目录 (1)由于由于a,b必须当选必须当选,那么从剩下的那么从剩下的10人中人中选取选取3人即可人即可, =120种种. (2)从除去从除去a,b两人的两人的10人中选人中选5人即可人即可, 有有 =252种种. (3)全部选法有全部选法有 种种,a,b全当选有全当选有 种种, 故故a,b不全当选有不全当选有 - =672种种. (4)注意到注意到“至少有至少有2名女生名女生”的反面是只有一名女生的反面是只有

22、一名女生或没有女生，故可用间接法进行或没有女生，故可用间接法进行. 有有 - - =596种选法种选法. 返回目录返回目录 3 31010c c5 51010c c5 51212c c3 31010c c5 51212c c3 31010c c5 51212c c1 15 5c c4 47 7c c5 57 7c c (5)分三步进行分三步进行: 第一步第一步:选选1男男1女分别担任两个职务为女分别担任两个职务为 ; 第二步第二步:选选2男男1女补足女补足5人有人有 种种; 第三步第三步:为这为这3人安排工作有人安排工作有 . 由分步乘法计数原理共有由分步乘法计数原理共有 =12 600种选法

23、种选法.返回目录返回目录 2 26 6c c1 17 7c c1 15 5c c1 14 4c c3 33 3a a1 17 7c c1 15 5c c2 26 6c c1 14 4c c3 33 3a a在解组合问题时在解组合问题时,常遇到至多、至少问常遇到至多、至少问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量.如果同如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则.返回目录返回目录 设集合设集合a=1,2,3,10.(1)设设a的的3个元素的子集的个数为个元素的子集的个数为n,求求n的值的值;(2)设设a的的3

24、个元素的子集中个元素的子集中,3个元素的和分别为个元素的和分别为a1,a2,an,求求a1+a2+a3+an的值的值. (1)a的的3元素子集的个数为元素子集的个数为n= =120. (2)在在a的的3元素子集中元素子集中,含数含数k(1k10)的集合个数的集合个数有有 个个. 因此因此a1+a2+an= (1+2+3+10)=1 980.返回目录返回目录 3 31010c c2 29 9c c2 29 9c c从从6名短跑运动员中选出名短跑运动员中选出4个人参加个人参加4100m的接力的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参

25、赛方案？有多少种参赛方案？此题是有限制条件的排列、组合问题，此题是有限制条件的排列、组合问题，可从以下三点进行考虑：可从以下三点进行考虑： （1）先考虑特殊元素或先考虑特殊位置；）先考虑特殊元素或先考虑特殊位置； （2）直接解法和间接解法；）直接解法和间接解法； （3）注意重复与遗漏）注意重复与遗漏.返回目录返回目录 解法一解法一（直接法）：把问题分为三类，甲、（直接法）：把问题分为三类，甲、乙两人均不参赛，参赛方案种数为乙两人均不参赛，参赛方案种数为 ；甲、乙两人有且；甲、乙两人有且只有一人参赛，参赛方案种数为只有一人参赛，参赛方案种数为 （4！-3！）；甲、！）；甲、乙两人均参赛，参赛方案种数为乙两人均参赛，参赛方案种数为 （4！-23!+2!）.因此，所求的参赛方案种数为因此，所求的参赛方案种数为 + （4！-3！）！）+（4！-23！+2！）！）=252. 解法二解法二（间接法）：（间接法）：6人中取人中取4人参赛的种数为人参赛的种数为 ；去除甲、乙两人至少有去除甲、乙两人至少有1人排在不恰当的位置种数为人排在不恰当的位置种数为 ；因为前面把甲、乙两人都排在不恰当的位置种数减去了两因为前面把甲、乙两人都排在不恰当的位置种数减去了两次，因此应加上甲、乙两人都排在不恰当位置的种数次，因此应加上甲、乙两人都排在不恰当位置的种数为为