第四节重积分应用

1、1第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 第十章 21. 能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 2

2、. 用重积分解决问题的方法用重积分解决问题的方法 3一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为则其体积为 dyxyxfvdd),(,),(dyx 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为 zyxvddd41:221 yxzs任一点的切平面与曲面任一点的切平面与曲面222:yxzs 所围立体的体积所围立体的体积 v . 解解: 曲面曲面1s的切平面方程为的切平面方程为202000122yxyyxxz 它与曲面它与曲面22yxz 的交线在的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为1)()(2020 yyxx yxvddd 22

3、yx 202000122yxyyxx yxddd 1 2020)()(yyxx sin,cos00ryyrxx 令令2 (记所围域为记所围域为d ),(000zyx在点在点 drrr dd2例例1. 求曲面求曲面 rr dd10320 5xoyza2例例2. 求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为: 则立体体积为则立体体积为 zyxvddd cos202darr dsincos316033 a)cos1(3443 a cos20ar 0 20 0dsin

4、 20drrvdddsind2 rm6 madz dn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzso设光滑曲面设光滑曲面dyxyxfzs ),( , ),(:则面积则面积 a 可看成曲面上各点可看成曲面上各点),(zyxm处小切平面的面积处小切平面的面积 d a 无限积累而成无限积累而成. 设它在设它在 d 上的投影为上的投影为 d ,adcosd ),(),(11cos22yxfyxfyx d),(),(1d22yxfyxfayx (称为面积元素称为面积元素)则则 mn d7故有曲面面积公式故有曲面面积公式 d),(),(122 dyxyxfyxfa221()()dddzzaxyxy 若光滑曲面方程

5、为若光滑曲面方程为zyzxyxadd)()(122 ,),( , ),(zydzyzygx 则有则有zyd即即8xzxyzyadd)()(122 若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzdxzxzhy 若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式,0),( zyxf则则则有则有yxzyzxdyxffyzffxz ),(, ayxdxzdzzyxffff222 ,0 zf且且yxdd9引理引理 1 2 a , 的的夹夹角角为为与与平平面面 acos .一般情况，将一般情况，将a分割成分割成若干个上述类型的小矩形，若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，对每一个用引理，然后迭加然后迭

6、加再取极限即可。再取极限即可。当当a是矩形是矩形,l证证且一边与且一边与l平行平行则则 也也是矩形是矩形, 且且b|cos|ab 引理成立引理成立.a ：这里：这里 即即 两平面法矢量的夹角两平面法矢量的夹角 证毕证毕10. 10. 曲面的面积曲面的面积|cos|a , 21a 上上的的投投影影为为在在上上的的区区域域则则面面积积1010. 10. 曲面的面积曲面的面积xz y0z = f (x,y)di is (xi , yi)pi.1110. 10. 曲面的面积曲面的面积xz y0 dyxyxyxfyxfsdd),(),(iiia cos1z = f (x,y)di iias iniiiy

7、iixyxfyxf ),(),(122.is (xi , yi) i ai（由引理）（由引理） 1),(),( iiyiixiyxfyxfnpi.1211.11. 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz xyzo113 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz 1xyzo1.11.14xyzo11d 02 :22zxyxds dyxqpsdd22 yxxxzp 其中其中22yxyyzq dyxsdd 2 . . 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz 11.15aaxz

8、y0222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为的的面面积积。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相a12.12.考虑第一卦限考虑第一卦限1612.12.d22xaz aa.xz y0 dyxxaasdd28a 22xay xayxaad axdaaxoyd.22221xaazzyx .222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为.的的面面积积。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相a17

9、13.13.a立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz yxzo1813.13.xyzods =1s2s 共同的共同的 d : azyxyxaz2322222a2 zayx 即即2s2s2s1s.1s.立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz 19 所截的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy 2xzy14.14.o2014.14.xzy2问题：问题：曲面向哪个坐标面投影？曲面向哪个坐标面投影？. 所截

10、的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy o21xzy2 xzyzzy 联联立立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 22 , 2 :2 zzxdxz. xzdxzzxyysdddxz.14.14. 所截的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy o22zzy 其中，其中，22xzy2dxzxzzzszzd21 d220222 zzzd16 .zx2 . xzyzzy 联联立立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 222zzy .14.14. 所截的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥

11、面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy xzdxzzxyysdd2 , 2 :2 zzxdxzozx2 .其中，其中，23例例3. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面yxz 被柱面被柱面222ryx 所截所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为,:222ryxd 则则yxzzadyxdd122 yxyxddd122 rrrrd1d0220 )1)1( 32232 r 出的面积出的面积 a .24三、物体的质心三、物体的质心设空间有设空间有n个质点个质点, ),(kkkzyx其质量分别其质量分别, ),2,1(nkmk 由力学知由力学知, 该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标,11 n

12、kknkkkmmxx,11 nkknkkkmmyy nkknkkkmmzz11设物体占有空间域设物体占有空间域 ,),(zyx 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 ,分别位于分别位于为为为为即即:采用采用 “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限” 可导出其质心可导出其质心 25将将 分成分成 n 小块小块, ),(kkk 将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点),(kkk 例如例如, nkkkkknkkkkkkvvx11),(),( 令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径,0 zyxzyxzyxzyxxddd),(ddd),( 系的质心坐标就近似该

13、物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此质点此质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点x26同理可得同理可得 zyxzyxzyxzyxyddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxzddd),(ddd),( ,),(常数时常数时当当 zyx 则得则得形心坐标形心坐标：,dddvzyxx ,dddvzyxy vzyxz ddd 的体积的体积为为 zyxvdddyzxyz27若物体为占有若物体为占有xoy 面上区域面上区域 d 的平面薄片的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxdd dd),(dd),( yxyxyxyxydd dd),(dd),( ,

14、常数时常数时 ,ddayxxxd ayxyyd dd(a 为为 d 的面积的面积)得得d 的的形心坐标形心坐标:则它的质心坐标为则它的质心坐标为mmy mmx 其面密度其面密度 xmym 对对 y轴的轴的 静矩静矩 对对 x 轴的轴的 静矩静矩xy284例例5. 求位于两圆求位于两圆 sin2 r sin4 r和和的质心的质心. 2d解解: 利用对称性可知利用对称性可知0 x而而 dyxyaydd1 drr ddsin312rr dsin4sin22 dsin95604 2956 dsin2956204 37 之间均匀薄片之间均匀薄片 0dsin31 43 212 oyxc29 z = 0的重

15、心的重心求均匀半球体求均匀半球体 0 , : zazyxyxzo yx 则则,zyx)，（设设重重心心为为 zyxzvz ddd1球面坐标球面坐标a332a v z .a83 . )83, 0 , 0a( ( 故重心为故重心为.用哪种坐标？用哪种坐标？r = a16.16. arrrv 022020dsincosdd1 30 z = 0的重心的重心 所围立体所围立体与平面与平面求由抛物面求由抛物面 0 1 zyxzyxzo yx 则则,zyx)( ，设设重重心心为为柱面坐标柱面坐标21rz .1 dddzrr v 21 02 01 0ddd2rzzrr .31 . )31 0 0 ( , 故重

16、心为故重心为. ddd2zyxzz 2102010dddrzrr2 . . . .用哪种坐标？用哪种坐标？17.17. zyxzvz ddd.131vzyxzz ddd例例6. 一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线剖面壁线的方程为的方程为, 30,)3(922 zzzx内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴上，轴上，,0 yx采用柱坐标采用柱坐标, 则炉壁方程为则炉壁方程为,)3(922zzr zyxvddd hzzz02d)3(9 zdhyxzddd0因此因此故故自重自重, 求它的质心求它的质心.oxzh若炉若

17、炉不计炉体的不计炉体的其坐标为其坐标为32 hzzz022d)3(9 zdhyxzzddd0 zyxdzdd)51233(923hhh 225409043060hhhhhz )41229(923hhhv oxzh33例例 7 7 设设平平面面薄薄板板由由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴轴围围成成，它它的的面面密密度度1 ，求求形形心心坐坐标标 解解先求区域先求区域 d的面积的面积 a， 20t， ax 20 adxxya20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a da 2a )(xy34 所所以以形形心心在在ax 上上，即

18、即 ax , dydxdyay1 )(0201xyaydydxa adxxya2022)(61 203cos16dtta.65a 所所求求形形心心坐坐标标为为 ),(65aa . 由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ，da 2a )(xy )cos1()sin(tayttax35四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数. ),(zyx 该物体位于该物体位于(x , y , z) 处的处的微元微元 vzyxyxd),()(22 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量: zyxzyxizddd

19、),()( zidx yoz对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 22yx 36类似可得类似可得: zyxzyxixddd),( zyxzyxiyddd),( zyxzyxioddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对对原点原点的转动惯量的转动惯量37如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面面密度为密度为dyxyx ),(),( dxyxyxidd),(

20、 doyxyxidd),( 则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.xdyo2y2x)(22yx dyyxyxidd),( 38rraddsin0302 例例8.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图, 0:222yayxdyxyidxdd2 drr ddsin23 441a 241am 半圆薄片的质量半圆薄片的质量 221am 2212 oxyda a的转动惯量的转动惯量.39 )sinsincossin(222222 rr解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,:2222azyx 则则zi

21、 zyxyxddd)(22 552a ma252 dddsin2rr olzxy1322 20d球体的质量球体的质量 334am dsin03 rrad04 例例9 9. .求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标) 40darhz 的均匀圆锥体的均匀圆锥体高为高为求半径为求半径为ha,)1(. 对于中轴的转动惯量对于中轴的转动惯量 xyzhz 解,绘图如右绘图如右:只需计算只需计算 dvyxz )(i22:,圆锥面的方程为圆锥面的方程为在柱面坐标系下在柱面坐标系下arhz 20 ar 0d hzarh a

22、 harhazzdrrdrd2020i ardarhhr032 410ah )(rkz 例例101041222zyxr g 为引力常数为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,，连续连续),(zyx 物体对位于原点的单位质量质点的引力物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法利用元素法,vrxzyxgfxd),(d3 vryzyxgfyd),(d3 vrzzyxgfzd),(d3 在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数rzxvdyfd引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxffff 42vr

23、xzyxgfx d),(3 vryzyxgfy d),(3 vrzzyxgfz d),(3 对对 xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片d ,它对原点处的单位质量质点它对原点处的单位质量质点的引力分量为的引力分量为,d),(3 dxxyxgf dyyyxgf d),(3)(22yx 43aar1122 xyzor例例11. 设面密度为设面密度为 ,半径为半径为r的圆形薄片的圆形薄片求它对位于点求它对位于点解解: 由对称性知引力由对称性知引力 zfdd ag ,222ryx )0(), 0 , 0(0 aam dzagf ag ag2 处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力. 2ddg da

24、 r0 20da0m。, 0 z),0,0(zff 23222)(dayx 23222)(dayx 2322)(darrr 44rxyzo例例12. 求半径求半径 r 的均匀球的均匀球2222rzyx 对位于对位于)(), 0 , 0(0raam 的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0 yxff zf rrzazgd)( vazyxazgd)(23222 rrzazgd)( 200232222)(ddzrazrrr点点 zdazyxyx23222)(dd0mazd45 rrzazd )( zf g2 22211azarza 200232222)(ddzrazrrr rrzazgd)( g21()rrzaa 222daazr 2amg r2 343rm 为球的质量为球的质量46)(th( t 为时间为时间) 的雪堆在融化过程中的雪堆在融化过程中,其其侧面满足方程侧面满足方程,)()(2)(22th