第四节空间曲线及其方程

1、 第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxgzyxf2sl0),(zyxf0),(zyxg1s例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 c. xzy1oc2机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线c. 022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页

2、 下页 返回 结束 zyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线c上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz m机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222a

3、ayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求空间曲线 :)(tx)(ty)(tz)( t绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttm任取点点 m1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 , ),(zyxm则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如例如, 直线1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋转曲面方

4、程为4)(4222zyxxzoy机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如又如, xoz 面上的半圆周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 c 的一般方程为消去 z 得投影柱面则c 在xoy 面上的投影曲线 c为消去 x 得c 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得c 在zox 面上的投影曲

5、线方程0),(0),(zyxgzyxf,0),(yxh00),(zyxh00),(xzyr00),(yzxtzyxcc机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxc1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxc机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyo1c又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzc二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页

6、返回 结束 内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 p324 题 1，2，7（展示空间图形）p324 题1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)zxyo oaoa222azx222ayx机动 目录 上页 下页 返回 结束 p324 题2 (1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yz2x3思考思考: :by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当bp324 题2(2)19422yx3y机动 目录 上页 下页 返回 结束 p325 题 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 p324 3，4，5，6, 8作业作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束 22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在