有理函数的不定积分

1、第四节 基本积分法基本积分法 : 直接积分法直接积分法 ; 换元积分法换元积分法 ;分部积分法分部积分法 初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容本节内容: 三、积分表的使用三、积分表的使用一、一、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xqxpxr nnnaxaxa 110mmmbxbxb 110有理函数有理函数:nm 时时,)(xr为假分式为假分式;nm 时时,)(xr为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + 真分真分 式式分解分解其中部分分式的形式为

2、其中部分分式的形式为kkqxpxnxmaxa)(;)(2 )04,n(2 qpk若干部分分式之和若干部分分式之和（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axaaxaaxakkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axa （2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxnxmqpxxnxmqpxxnxmkkkk 21222211)()(特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxnmx 例例. 将

3、下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用赋值法用赋值法6532xxx)3)(2(3 xxx2 xa3 xb原式)2(xa2x233xxx5原式)3(xb3x323xxx6故故25x原式36x待定系数法(3) 混合法混合法)1)(21 (12xx xa2121xcbx原式)21 (xa21x54代入等式两端分别令1 ,0 x

4、c541215461cb52b51c原式原式 =x214512112xx四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: caxaln) 1( ncaxnan1)(1xaxad. 1xaxand)(. 2xqxpxnxmd. 32xqxpxnxmnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为变分子为 )2(2pxm2pmn 再分项积分再分项积分 例例1. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: )1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xcxarctan51312 1( )dxx 例

5、例2.2. 求求311x 2111()()xxx 211abxcxxx 则有则有221111()bxcaxxxxx 分别令分别令101,xxx 可求得可求得11213,()aacabc 解之得解之得121333,.acb 解解: :(2)(2)设设311dxx 211123131xdxdxxxx 2112131361()ln|xxdxxx 2221111136121()ln|d xxdxxxxxx2211112111336224()ln|ln()()d xxxxx 211121113633ln|ln()arctanxxxxc 所以所以2213 11( )()()xdxxx 例例3.3. 求求解

6、解: :(3)(3)设设2222111111()()() ()xxxxxx 2111()abcxxx则则2211111()()()()xa xxb xc x 分别令分别令110,xxx 得得22 ,b 24 ,c 1abc 解之得解之得11122,.abc 22111()()xdxxx 21111121121()dxdxdxxxx11111212ln|ln|xxcx 211121ln|xcx 例例. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxcx21arctan23思考思考: 如何求如

7、何求?d)32(222xxxxxxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例. 求求.d4555222423xxxxxxixxxxxid4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xcxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法. 例例. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx

8、222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxc例例. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxcxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解按常规方法解:1d4xx第一步第一步 令令)(1224dxcxbxaxx比较系数定比较系数定 a , b , c , d . 得得) 12)(

9、12(1224xxxxx第二步第二步 化为部分分式化为部分分式 . 即令即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxdxcxxbxa比较系数定比较系数定 a , b , c , d .第三步第三步 分项积分分项积分 .此解法较繁此解法较繁 !1. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxrn令令nbxat,d),(xxrndxcbxa令令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , , 可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. . 例如例如: :,d),(xbaxbaxxrmn,pbxat令令., 的最小公

10、倍数为nmp二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例 dxxx1ux 112 uxduuuuduuudxxx 12211222cuuduu )arctan(2)111(22cxx )1arctan1(2例例3.3. 求求解解：设：设 即即 则则例例4. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt则则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttcxx12cxxx1122ln设设)cos,(sinxxr表示三角函数有理式表示三角函数有理式 ,xxxrd)cos,(sin令令2tanxt 万能代换万能代换t 的有

11、理函数的积分的有理函数的积分2. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则则万能变换万能变换: : 可将任意三角函数有理式不定积分可将任意三角函数有理式不定积分(sin ,cos )rxx dx 转化为有理函数的积分转化为有理函数的积分. .令令2tan,xu 则则2arctan ,xu 221,dxduu sinx22sin()x222cossinxx 2222222cossincossinxxxx 221uu cosx22cos()x2222cossinxx22222222cossincossinxxxx 2211uu 例例. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2

12、tanxt 则则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnc2tan412x2tanxcx2tanln21例例. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabac说明说明: 通常求含通常求

13、含xxxxcossincos,sin22及的积分时的积分时,xttan往往更方便往往更方便 .的有理式的有理式用代换用代换积分计算比导数计算灵活复杂积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分为提高求积分已把常用积分公式汇集成表已把常用积分公式汇集成表, 以备查用以备查用. 积分表的结构积分表的结构: 按被积函数类型排列按被积函数类型排列 积分表的使用积分表的使用: 1) 注意公式的条件注意公式的条件2) 注意简单变形的技巧注意简单变形的技巧 注注: 很多不定积分也可通过很多不定积分也可通过 mathematica , matlab 等数学软件的符号演算功能求得等数学软件的符号演算功能求得 .

14、的效率的效率,三、积分表的使用三、积分表的使用例例 . 求求.94d2xxx解法解法1 令令,2xu 则则原式原式cuu33ln3122cxx2394ln312222213duuu223duuu例例 . 求求.94d2xxx解法解法2 令令,942xu则则原式原式94d22xxxx223duu,9422 xuxxuud4d cuu33ln61cxx394394ln6122cxx2222)394(ln61cxx2394ln31244 解：解：这是含三角函数的积分这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式在积分表中查得公式xdxnnxxnxdxnnn21sin1cossin1sin 这里这里n=4

15、, 于是于是 xdxxxxdx234sin43cossin41sincxxxx)2sin412(43cossin413 cxxxdx2sin412sin2 xdxxxxdx234sin43cossin41sin例例 . 求xdx4sin 求求 例例. 求求.cos45dxx解解:,4,5ba这里这里xxcos45d）（ 452）（）（4545cx2tan4545arctan）（）（cx2tan3arctan32内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定但不一定 要