第二章函数(测评)

1、 第二章第二章 函数函数 第第1 1课时课时 生活中的变量关系生活中的变量关系常量变量路程函数函数基础梳理基础梳理1. 某高速公路加油站常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截面半径r是 ；油面高度h、油面宽度w、储油量v是 .2. 一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应.行驶路程（因变量）随时间（自变量）的变化而变化，行驶 是时间的 .同样，汽车的速度、耗油量也是时间的 .典例分析典例分析例1 在一定量的水中加入a克的蔗糖,得b克的蔗糖溶液,再在该溶液中加入m克的蔗糖后,思考后回答下列问题： (1) 水、溶质、溶液的质量与浓度，哪些是变量，哪些是常量？（2）

2、 你感觉糖水变甜了还是变淡了，为什么？（3） 糖水的浓度与所加蔗糖的质量之间存在函数关系吗？如果是函数关系，指出自变量和因变量.解解 (1) 溶质由a克变成了a+m克;溶液由b克变成了b+m克,浓度 变成了 ; 其中水（b-a）克不变.所以溶质、溶液质量、浓度是变量,水的质量是常量； （2） 设浓度原来为 ,后来为 ， = , = m、b0,ba, , ,浓度提高了，糖水变甜了. （3） 设浓度为y，y= 是函数关系，m是自变量，y是因变量.mbmabay1y2y1mbma)()()(12mbbabmmbbmaabmbababmbmayymbmayy12012yybay2举一反三举一反三1.

3、某电器商店以2 000元一台的价格进了一批电视机，然后以2 100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出的台数之间存在函数关系吗？解析：解析：如果不计税收等消耗，设售出台数为x台，收入为y元，则y=(2 100-2 000)x.显然，收入和售出的台数之间存在函数关系. 例2 下图为某市一天24小时内的气温变化图. (1) 上午6时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少？（2） 在什么时刻，气温为0？（3） 在什么时段内，气温在0以上？（4） 时间t与气温之间存在函数关系吗？解解 （1） 上午6时的气温约为-1，全天最高气温为9，最低气温为- 2；（2

4、） 在上午7时和晚间23时气温为0;（3）在上午7时到晚间23时内，气温在0以上；（4） 时间t与气温之间存在函数关系.因为t是自变量，是因变量，t有一个值，就有唯一确定的值与之对应.举一反三举一反三2. 某种圆珠笔每枝2元,如果买x枝圆珠笔,请把应该付的钱数y（元）与x（枝）的关系写出来,并用图像表示出来.(最多买4枝)解析：解析：y=2x,x1,2,3,4.图像如下图所示. (枝)第第2 2课时课时 函数的概念函数的概念非空任何一个唯一f:aby=f(x)，xa函数值的集合c集合a定义域值域对应关系基础梳理基础梳理1. 函数定义：一般地，设a、b是两个 的数集，如果按照某种关系f，对于a中

5、的 数x，在集合b中都存在 确定的数f（x）与之对应，那么把对应关系f叫作定义在a上的函数，记作 ，或 . 叫做函数的定义域， 叫做函数的值域.2. 函数的三要素是 ， ， .定义名称符号几何表示xaxb闭区间a,bx|axb开区间(a,b) x|axb左闭右开区间a,b)xaxb左开右闭区间(a,bx|xa左闭右开区间a,+)x-x+开区间(-,+)3. 区间的概念：设a,b是两个实数，且ab.典例分析典例分析分析分析 判断一个对应ab是否为函数,必须抓住函数概念的实质,即a中元素的任意性,b中元素的唯一性.题型一题型一 函数的概念函数的概念例1判断下列对应是否为函数.(1) xy=|x|,

6、xr,yr;(2) xy=|x-3|,xn+,yn+;（3）xy= ,x0,xr;(4)x =x,xr,yr.y2x2解解 (1) 对于任意一个实数x,|x|被唯一确定,所以xy=|x|是函数,函数可以表示成f(x)=|x|,xr; (2) 令x=3,|x-3|=0,又0 n+,即b中没有元素与x=3对应,所以xy=|x-3|(xn+,yn+)不是函数; (3)对任意一个非零实数x， 被唯一确定，所以当x0时， 是函数；（4）取x=4,得y=2，所以x =x不是函数.x2xyx2y2分析分析 由函数的定义来判断.解解 (1)不能确定y是x的函数.因为当x=0时,由图可确定y有两个值1与它对应.

7、 (2)能确定y是x的函数.因为当x在xx1中任取一个值时,由图可确定唯一的y值与它对应. (3)能确定y是x的函数.因为当x在-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取一个值.由图可确定y有唯一的值与它对应.例2 由下列图形是否能确定y是x的函数?举一反三举一反三2. 设m=x0 x2,n=y0y3,给出下列四个图形,其中能表示从集合m到集合n的函数关系的有（） a 0个 b. 1个 c. 2个 d. 3个1. 下列各题中的对应关系，是否给出了实数集r上的一个函数： (1)f:把x对应到3x+1;(2)g:把x对应到|x|+1; (3)h:把x对应到 ;(4)r:把x对应到 .1xx解析：解

8、析： 结合函数的定义可知：（1）中对于任意xr，都有唯一确定的3x+1与之对应，故法则f给出了实数集r上的一个函数；（2）中对于任意xr，都有唯一确定的|x|+1与之对应，所以法则g也给出了实数集r上的一个函数.（3）由于x=0时, 无意义，故法则h不能给出实数集r上的一个函数.（4）由于当x0时， 无意义，故法则r也不能给出实数集r上的一个函数.1xx解析：解析：中定义域不是m.中不符合y值的唯一性.是函数关系.答案：答案：c分析：分析： 同一函数指定义域相同,值域相同,对应法则相同.题型二题型二 判断两个函数是否相同判断两个函数是否相同例3 下列各题中两个函数是否表示同一函数. (1) f

9、(x)=x,g(x)= ; (2) f(x)=x,g(x)= ; (3) f(x)=x,g(x)= ; (4) f(x)= ,g(x)=x+2; (5) f(x)= ,g(x)=|x+2|.)(2xx233x242xx) 2(2x解解 (1) f(x)=x定义域为r,g(x)= 定义域为x|x0,定义域不同,所以不是同一函数; (2) f(x)=x与g(x)= =|x|的对应法则不一样,所以不是同一函数; (3) f(x)=x与g(x)= =x的对应法则和定义域相同,所以是同一函数; (4) f(x)= (x2)与g(x)=x+2的定义域不同,所以不是同一函数; (5) f(x)= =|x+2

10、|与g(x)=|x+2|的对应法则与定义域相同,所以是同一函数.)(2xx233x242xx) 2(2x举一反三举一反三3. 已知函数:f(x)= ,g(x)=x;f(x)=1,g(x)=f(x)= ,g(x)=x-2.其中表示同一函数的是 （填序号）.44x0,10,1xx242xx解析：解析：中f(x)，g(x)的定义域不同.答案：答案： 第第3 3课时课时 函数的定义域与值域函数的定义域与值域基础梳理基础梳理定义域.值域非空r分母不小于集合1. 定义域:对于函数y=f(x)（xa）,其中x组成的集合a叫做函数y=f(x)的2. 值域:f(x)xa叫做函数的 .3. 定义域、值域是 数集.

11、4. 求函数y=f(x)定义域时应考虑：（1）f(x)是整式或奇次根式时，x ;( 2 )当f(x)是分式时， 不为0；（3）当f(x)是偶次根式时，被开方式 0;（4） ，求各式同时有意义的x的取值 .)(.)()()(321xxxxyffffn5. 函数值域的求法：与二次函数有关的函数，可用 .6. 求函数的定义域或值域，除函数还应考虑实际问题的制约.典例分析典例分析题型一题型一 求定义域求定义域例1 求下列函数的定义域： (1) (2)xxy41)2(014xxxy配方法分析分析 应使函数式中各部分同时有意义,即求使各部分有意义的自变量取值范围的交集.解解(1) 由 得1x4，即定义域为

12、1,4. (2) 由 得x4且x1,x-2，所以定义域为xx4且x1,x-2.0401xx02104xxx举一反三举一反三1. (2008全国改编）求函数 的定义域.xxxy) 1(解析解析 由 得x1或x=0.所以定义域为x|x10.00) 1(xxx题型二题型二 求值域求值域例2 求下列函数的值域.(1) ;(2) ;(3) x1,5);(4) 312xxy1122xxy642xyx12xxy分析分析 对（1）可通过x的取值来推导y的取值.(3)中可用配方法推导得出. （4）通过换元转化二次函数进而求出.解解(1)y= ,函数的值域为y|y2,yr;(2) 由函数解析式得 ,当y1时, ,

13、-1y1, 的值域为-1,1);(3) x1,5),2y11,函数的值域为2,11）;(4) 设 ,则 （t0）, ,t0,y ,原函数的值域为 .2372312xxx) 1() 1(2yyx0112yyx1122xxy264)2(22xxxy12txtx18152)1(2)41(22ttty815815yy举一反三举一反三2. 求下列函数的值域. （1） ； (2) .xy24122xxy解析：解析：(1) 0,0 4,0 4,0y2.故值域为 0,2.x24x2x24(2)设 ,则2x= -1,t0,y= +t-1= .t0,y-1，原函数的值域为y|y-1.45)21(2ttx12t2t

14、2第第4 4课时课时 函数的表示法函数的表示法基础梳理基础梳理表格形式图像自变量的解析式不同取值区间分段函数1. 函数的表示方法:（1）列表法：用 表示两个变量之间函数关系的方法.（2）图像法：用 把两个变量间的函数关系表示出来的方法.（3）解析法：一个函数的对应关系用 表示的方法.2. 分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的 ，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做 .典例分析典例分析题型一题型一 图像法图像法例1 某城市在某一年里各月份毛线的零售量（单位：百公斤）如表所示:问：（1） 零售量超过80（百公斤）有几个月？ （2） 零售量是否为月份的函数？为什么？分析分析 根据表中数据判断

15、对任一t是否有唯一的y与之对应.月份t123456789101112零售量y818445469561594161144123解解（1） 由表可知共有6个月超过80（百公斤）. （2） 是函数.因为对于集合1，2，3，12中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与之对应，所以y是t的函数.举一反三举一反三1. 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时,实验记录得到的相应数据如下表:则y关于x的函数图像是（）答案答案：d砝码的质量x(g)050100150200250300400500指针位置y(cm)2345677.57.57.5解析解析：函数图像过(0,2)，(50,3)两点，可得此部分函数表

16、达式为 .令y=7.5,得x=275,点（275,7.5）为函数图像的转折点.2501xy分析分析 抓住特征，选择适当方法:(1)代入法;(2)换元法;(3)待定系数法.题型二题型二 求函数解析式求函数解析式例2 根据已知条件求解析式.（1） 已知f(x)= -2,g(x)=x+ ,求fg(x);(2) ,求f(x);(3) ff(x)=2x-1,其中f(x)为一次函数，求f(x).x2x1xxxf21)11 (解解 (1) fg(x)= -2= . (2) 令1+ =t,则t1, , f(t)= ,f(x)= (x1). )1(2xxxx221x111txttttt2111122)11(21

17、2xxx(3) 设f(x)=ax+b(a0),则ff(x)=a(ax+b)+b= ,又ff(x)=2x-1, ,解得 或 . f(x)= +1-2或f(x)= +1+ .babxa2122baba212ba212bax2x22举一反三举一反三2. 函数f(x)满足f(x)+ =x，则f(x)= .)1(2xf答案答案：332xx解析解析：f(x)+ =x,令 代替x，得 +2f(x)= .2-得3f(x)= -x，f(x)= .x1)1(xfx1x2332xx)1(2xf分析分析 根据apb的面积公式分段对面积y进行论.题型三题型三 求分段函数求分段函数例3 如图，在边长为4的正方形abcd的

18、边上有一点p，沿着折线bcda由b（起点）向点a（终点）运动，设点p运动的路程为x，apb的面积为y，求：（1） y与x之间的函数关系式；（2） 画出y=f(x)的图像；（3） 求y的最大值.解解(1) (2) y=f(x)的图像如下图所示. （3） 由图像可知 =8.12323xymax128),12(284,840,2xxxxxy举一反三举一反三解析解析：当0 x1时,是一次函数，可设其解析式为y=kx+b(k,b是待定系数).图像所表示的点（0,0），（1， ）在图像上, 解得23bkb230230kb当0 x1时，y= .同理，当1x2时，函数的解析式为y= . ,即 23x323x2

19、1 ,310,2323xxxyx)20(12323xxy3. 图像所表示的函数的解析式为( )a. y= (0 x2)b. y= (0 x2)c. y= -|x-1|(0 x2)d. y=1-|x-1|(0 x2)123x12323x23第第5 5课时课时 函数的图像函数的图像基础梳理基础梳理)(,(00 xxf第第5 5课时课时 函数的图像函数的图像第第5 5课时课时 函数的图像函数的图像第第5 5课时课时 函数的图像函数的图像第第5 5课时课时 函数的图像函数的图像第第5 5课时课时 函数的图像函数的图像横坐标纵坐标每一个值图形图象对应法则定义域函数图像1. 函数图像：将自变量的一个值x0

20、作为 ，相应的函数值f(x0)作为 ，就得到坐标平面内的一个点 ，当自变量取遍函数定义域a中的 时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）为(x,f(x)xa，即(x,y)y=f(x),xa;所有这些点组成的 就是函数y=f(x)的 .2. 相同图像：用两个不同的解析式表示的函数，只有在 相同、 相同的条件下，才能是相同的 ，才能有相同的 .典例分析典例分析题型一题型一 作函数图像作函数图像例1 作出下列函数的图像.（1）y=x,x1; (2)y= ,x0; (3)y=1-x,xz.分析分析 作函数图像用描点法，抓住关键点在所给的定义域内作出图像.x2解解 如图，(1)y=x,x-

21、1,1; (2)y= （x0）； (3)y=1-x（xz）,此函数由一些点组成且为整点.x2举一反三举一反三1. 作出下列函数的图像.（1）f(x)=x+1（xn）；(2)f(x)= ，x(-,0).x2解析：解析：(1)取x=0,1,2,3，作出图像为图（1）.（2）取特殊点代入再连成平滑曲线，即得图（2）.题型二题型二 分段函数的图像分段函数的图像例2 作出下列函数的图像.(1)y=x;(2)y=x-1;(3) .分析分析 作函数图像时，将函数关系恒等变形，转化为熟知函数后再作图像.若是分段函数，应在自变量的取值范围内分别作出，解决第（3）题要去掉绝对值符号，按x的零点划分区域.xyx11

22、2解解（1）y=x= (2)y=x-1= (3)0()0(,xxxx)1(1)1(,1xxxx),1,1)1 ,0,1)0,1,1)1,(,1112xxxxxxxxxyx举一反三举一反三2. 作出下列函数图像.（1）y=x+1;(2)(21xxy解析：解析：(1)y=x+1= (2) 图像如下:)0(,0)0(,)(21xxxxxy)1(,1)1(,1xxxx第第6 6课时课时 映射映射基础梳理基础梳理对应法则每一个唯一映射f:ab原像像任意性唯一性一一映射1. 映射的概念:一般地,设a、b是两个集合,如果按某种 f,对于a中的 元素x,b中总有 的一个元素y与之对应,就称这种对应为从a到b的

23、 ,记作 .a中的元素x称为 ,b中的对应元素y称为x的 ，记作f:xy.2. 映射的本质属性:a到b构成映射，反映在两个集合的元素间是指:a中元素的 、b中元素的 .3. 一一映射的概念：若f是从a到b的映射，且满足下列三个条件：（1）a中每一个元素在b中都有唯一的像与之对应；（2）a中不同元素的象也不同；（3）b中每一个元素都有原像，那么f：ab也叫从a到b的 .典例分析典例分析题型一题型一 映射的概念映射的概念例1 下列表述中正确的是（） a. 对于任意的两个集合p和q，都可以建立一个从p到q的映射 b. 对于两个无限集合p和q，一定不能建立一个从p到q的映射 c. 已知p是单元素集合，

24、q为一非空集合，则从p到q只能建立一个映射 d. 已知q为单元素集合，p为任一非空集合，则从p到q只能建立一个映射分析分析 根据定义解决映射问题.解解 a.如果p= ，则p中无原像可取；如果q= ,则对p中任一元素a，q中无元素与a对应，因此a项错.b.对p=xxr,q=yyr,f:y=x+2就是一个映射，因此b项错.c.若p=1，q=1，2，则f:11和g:12就是两个不同的映射，因此c项错.d.若p为单元素集合，则p到q是“一对一”的映射；若p是多元素集合，则p中每一个元素都与q中唯一的元素对应，是“多对一”的映射，因此对应关系是唯一的，只能建立一个映射，故d正确.所以答案选d.解析：解析

25、：a项，当x=-1时,y值不存在,其不是映射,更不是函数，也不是一一映射；b项是映射,也是函数,数集a中所有元素的倒数都是b中的元素，是一一映射;c项不是映射,因而更不是函数，也不是一一映射；d项是映射,但不是函数,因a、b不是数集.答案：答案：b举一反三举一反三1. 下列对应既是从a到b的映射,又构成函数，且是从a到b的一一映射的是( )a. a=r,b=r，f:xy= b. a=a|a=n,nn+,b= , f:ab= c. a=(0,+),b=(-,+),f:xy, =xd. a=北京奥运会火炬手,b=体重（精确到千克）, f:火炬手体重11xnnnbb,1a1y2例2 已知集合a=1,

26、2,3,k,b=4,7, , ,且an,kn,xa,yb,映射f:ab使b中元素y=3x+1和a中元素x对应,求a和k的值.a4aa32分析：分析： 由映射的对应关系列出等式求解.解析：解析：b中元素y=3x+1和a中元素x对应,a中元素1的像是4,2的像是7,3的像是10,即 =10或 =10.an,由 -10=0,得a=2;k的像是 ,3k+1= ,得k=5.a4aa32aa32a424举一反三举一反三2. 已知映射f:ab中，a=b=(x,y)|xr,yr,f:(x,y)(3x-2y+1,4x+3y-1),点(1,2)的原像是（ ）a. （ ） b. (2,1) c. (0,9) d.

27、(9,0)69,17 17答案：答案： a解析：解析：令3x-2y+1=1,4x+3y-1=2,得x= ,y= ,故点(1,2)的原像是（ ） .61791769,17 17第第7 7课时课时 函数的单调性函数的单调性(1)(1)基础梳理基础梳理)()(21xxff)()(21xxff增函数减函数单调单调函数的单调性及单调区间（1）定义：在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数 ,当 时，都有 ，那么,就称函数f(x)在区间a上是 （此区间叫做这个函数的单调增区间）.在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数 , 当 时，都有 ，那么，就称函数f(x)在区

28、间a上是 （此区间叫做这个函数的单调减区间）.（2）图像表示：（3）在某个区间m上的递增函数或递减函数统称为区间m上的 函数，而这个区间m称为 区间.axx21,xx21axx21,xx21典例分析典例分析题型一题型一 证明函数的单调性证明函数的单调性例1 用定义证明函数f(x)= +a在（0,+）上是增函数.x22分析分析 设 ,根据函数单调性的定义,即比较 与 的大小即可证明.xx21)(1xf)(2xf证明证明 设 ,则 , , 0，即 .f(x)在（0,+）上是增函数.xx210)(2)21(2221)()(21212222212xxxxxxxxxxffxx210021xx021xx)

29、()(21xxff)()(21xxff举一反三举一反三1. 作函数f(x)=-3x+4的图像，并证明它是r上的减函数.解析：解析：函数f(x)=-3x+4的图像如图:证明证明: :任取 且 ,则 ,所以 = = ,即 .由函数单调性的定义可知,函数f(x)=-3x+4在r上是减函数.)()(21xxff)43()43(21xx0)(321xx)()(21xxffrxx21,xx21021xx题型二题型二 求单调区间求单调区间例2 f(x)= 在( )a. (-,1)(1,+)上是增函数b. (-,1)(1,+)上是减函数c. (-,1)和(1,+)上是增函数d. (-,1)和(1,+)上是减函

30、数xx1分析分析 此题为选择题，无需严格证明，所以掌握有关单调性的一些性质规律，有助于提高解题速度.如f(x)、g(x)在某个区间上同为增（减）函数，则f(x)+m(mr)、af(x)(a0)、f(x)+g(x)单调性不变，而-f(x)、 f(x)0单调性改变.)(1xf解解f(x)的定义域为xxr,x1，f(x)= = .又- 在（-,0）和(0,+)上单调递增， 在(-,1)和(1,+)上单调递增,故f(x)在(-,1)和(1,+)上为增函数，故选c.xx1111 xx1x11举一反三举一反三2. 函数f(x)=x和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是（） a. (-,0,(-,1)b.

31、 (-,0),1,+)c. 0,+),(-,1d. 0,+),1,+)解析解析 由图像知其递增区间分别为0,+)和(-,1.答案答案 c第第8 8课时课时 函数的单调性（函数的单调性（2 2）基础梳理基础梳理单调函数的性质（1）若f(x),g(x)同为增函数（或减函数），则fg(x)在其公共定义域内为 函数.（2）若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)+g(x)在其公共定义域内为（3）若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)-g(x)在其公共定义域内为（4）f(x)与-f(x)的单调性 .（5）在区间上同号的（恒取正或恒取负）单调函数f(x)的倒数函数 的单调性与f(x)的单

32、调性 .（6）函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成的.若y=f(u),u=g(x)都是单调函数，则复合函数y=fg(x)在其定义域上也是 函数，对于复合函数的单调性，规律如下表所示:)(1xfu=g(x)y=f(u)y=fg(x)增增增增减减减减增增增函数.减函数.相反相反单调典例分析典例分析题型一题型一 函数的单调性函数的单调性例1 试讨论函数f(x)= 在区间(-1,1)上的单调性,并证明你的结论.x21 分析分析 回归基本函数,y= 在(-1,0)上为减函数,在(0,1)上为增函数,所 以 在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,因此f(x)= 在(-1

33、,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,然后再用单调性的定义证明.x2)1 (2xx21 证明证明设-1 1,则 , + 0.当 , 时, ,有 ;当 , 时, ,有 .综上,f(x)在(-1,0上是增函数,在(0,1)上是减函数.xx 21xxxfxf2111)2221(xxxxxx2111)(222112012xxx112x21201x02x012xx)()(21xxff01x02x012xx)()21(xxff同增异减上述规律可概括为“ ”.举一反三举一反三1. 讨论函数y= 在区间(0,+)上的单调性.xx1解析：解析：设 ，则 当 时， ，f(x)为减函数；当 时， ,f(x)为增

34、函数.xx210)1()1()()(221121xxxxxxff)11)()11()(21212121xxxxxxxx1210 xx0)()(21xxffxx211)()(21xxff题型二题型二 利用单调性求值利用单调性求值例2 如果二次函数 在区间 上是增函数，求f(2)的取值范围.5)1()(2xaxfx)1,21(分析分析 本题先由二次函数在 上是增函数确定a的范围，进而确定f(2)的范围.)1 ,21(解解f(x)在 上是增函数,由于其图像(抛物线)开口向上,故其对称轴 或与直线 重合或位于直线 的左侧,于是 ,a2.又f(2)=-2a+11在（-,2上为减函数,f(2)-22+11

35、=7,f(2)7.)1,21(21ax21x2121a举一反三举一反三2. 已知函数f(x )= 在区间(-,1上是增函数,在区间1,+)上是减函数,求f(2).axax222 解析解析 由题意知x=1为f(x)的对称轴，f(x )= ，a=2,f(x)= ，f(2)=6.12a42222)2(aaax7)1(2x 题型三题型三 求单调区间求单调区间例3 求函数 (0 x )的单调区间.21xxy22分析分析 先求原函数的定义域,再由复合函数的单调性求单调区间.解解 x的取值范围为0, ,又因为 的对称轴为 ,根据复合函数的单调性可知 在0, 上递增,在 , 上递减.21xxu2241xxxy

36、22414121举一反三举一反三3. 求函数 (-2x1)的单调增区间.xxy22解析解析 令 ,-2x1.u的单调增区间为-2, ,原函数的单调增区间为-2, .xxu2294()212x2121第第9 9课时课时 二次函数性质的再研究（二次函数性质的再研究（1 1）基础梳理基础梳理1. 二次函数的图像和性质: 二次函数y= +bx+c（a、b、c为常数，a0）图像a0a0 性质 抛物线对称轴是x= ，顶点 ； 与x轴两交点的横坐标分别为 ,抛物线开口向上，且向上 无限伸展 抛物线开口向下，且向下 无限伸展在区间(-, )上是减函数， 在区间( ,+)上是增函数 在区间(-, )上是增函数

37、在区间( ,+)上是减函数 顶点为最低点，当x= 时， y有最小值，y最小= 顶点为最高点，当x= 时 y有最大值，y最大=ab2)44,2(2aacabbx1x2ab2ab2ab2ab2ab2ab2aacb442aacb4422. （1） y= 与y= (a0)的图像有什么关系？y= (a0)的图像可由y= 的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到，a决定了图像的开口方向和开口大小.(2) y= 与y=a +k(a0)的图像之间有什么关系?h决定了二次函数图像的左右平移,“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，“k正上移，k负下移”.（3） y= 和y= +bx+c（a0）的图像

38、之间有什么关系？二次函数y= +bx+c(a0)，通过配方可以得到它的恒等形式y=a +k，从而知道由y= 的图像如何平移得到y= +bx+c（a0）的图像.3. 二次函数的三种表示形式: (1)一般式：f(x)= +bx+c(a0);（2）顶点式:若二次函数的顶点坐标为（k,h),则其解析式为 f(x)=a +h(a0); (3)两根式：若二次函数图像与x轴的交点坐标为（ ,0),( ,0),则其解析式为f(x)=a （a0).ax2x2x2ax2ax2ax2ax2)(2hx ax2)(2hx ax2ax2ax2)(2kx x1x2)(21xxxx典例分析典例分析题型一题型一 二次函数解析式

39、的确定二次函数解析式的确定例1 已知二次函数的图像经过(-1,-6),(1,-2)和(2,3),求这个二次函数的解析式.分析分析 已知图像上任意三点的坐标,可选用一般式,从而得到关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，即可求出二次函数的解析式.解解 设二次函数的解析式为y= +bx+c，将(-1,-6)、（1，-2）和（2，3）分别代入，得 ,解得 , 故这个二次函数的解析式为y= +2x-5.ax232426cbacbacba521cbax2举一反三举一反三1. 若二次函数的图像过点（0，1），对称轴为x=2，最小值是-1，则它的解析式为 .答案：答案：y= 12212xx题型二

40、题型二 二次函数图像的基本特征二次函数图像的基本特征例2 求抛物线y= -5x+7的对称轴和顶点坐标.x22解析：解析：设二次函数的解析式为y=a -1.将（0，1）代入得，1=4a-1,得a= ,所求函数解析式为y= 即y= .21121)2(2x12212xx)2(2x分析：分析： 求抛物线的顶点坐标有两种方法，一是利用配方法将一般形式化为顶点式；二是利用公式先分别求出顶点的横坐标和纵坐标，再写出顶点坐标.解解 方法一（配方法）:y= -5x+7 = = .对称轴是x= ，顶点坐标是 （ , ).x227252)45()45(222xx8812)45(2x78252)45(2x716252

41、)45(2x4545881方法二（公式法）:a=-2,b=-5,c=7, = = , = = .对称轴是x= ,顶点坐标是（ ， ）.ab2)2(25454545881aacb442)2(47)2(4)5(2881举一反三举一反三2. 已知函数y=3x2+2x+1,求这个函数的顶点坐标和对称轴.解析：解析： y=3x2+2x+1=3（x+ ）2+ .顶点坐标为（- , ）,对称轴为x=- .1313232313第第1010课时课时 二次函数性质的再研究（二次函数性质的再研究（2 2）基础梳理基础梳理二次函数在区间上的最值二次函数在闭区间上的最值不在极值点，就在区间端点处取得.在研究二次函数f(

42、x)=a(x-h)2+k在m,n上的最值问题时，常常分hn三种情况讨论.当a0时，有如下结论：（1）若hm,n,则 =f(h)=k, =maxf(m),f(n); (2)若hm,n，则 =minf(m),f(n), =maxf(m),f(n).yminymaxyminymax典例分析典例分析题型一题型一 二次函数的最值二次函数的最值例1 已知二次函数y= -6x+m的最小值为1，求m的值.分析分析a=10,函数有最小值，且最小值就是顶点的纵坐标.求顶点坐标有两种方法：一种是配方法，另一种是公式法.x2解解 方法一（配方法）： y= -6x+m= -6x+ +m-9= +m-9. 由题意得m-9

43、=1,m=10.x2x232)3(2x方法二(公式法)：由题意得 =1,即 =1 解得m=10.aacb4421414)6(2m举一反三举一反三1. 分别在下列范围内求函数y= -2x-3的最值.（1）0 x2;(2)2x3.x2解析：解析：y= -2x-3= -4,顶点坐标为（1，-4）.(1)x=1在0 x0,当x=1时，y有最小值， =-4，无最大值.(2)x=1不在2x3范围内，函数y= -2x-3(2x3)的图像是抛物线y= -2x-3的一部分.又a=10,抛物线y= -2x-3的开口向上，当x1时，y随x的增大而增大.当2x3时，y随x的增大而增大.当x=3时， = -23-3=0;当x=2时， = -22-3=-3.x2)1(2xyminx2x2x2yminymax3222分析分析 将函数解析式配方，找出对称轴，根据对称性求值，将f（ ）与 f（ ）转化到对称轴的同侧，利用二次函数的单调性比较两个数的大小.41541解解 y= -3x- = = .(1)顶点为（-3，2），对称轴为x=-3.(2)f( )=f(-3.5)=f(-3-0.5)=f(-3+0.5)=f( )=(3)f( )=f(-3- )=f(-3+ )=f( ). , -3,+),而f(x)在-3,+)上是减函数,f(