第二章 测量误差分析与数据处理

1、第二章第二章 测量误差分析与数据处理测量误差分析与数据处理田宝凤田宝凤仪器科学与电气工程学院仪器科学与电气工程学院内容回顾内容回顾1.1.电子测量的定义电子测量的定义2.2.电子测量的特点电子测量的特点3.3.计量的定义计量的定义4.4.计量的三个主要特征计量的三个主要特征5.5.计量基准的划分计量基准的划分6.6.电子测量方法的分类电子测量方法的分类主要内容主要内容2.1 2.1 测量误差的基本原理测量误差的基本原理2.2 2.2 测量误差的分类测量误差的分类2.3 2.3 随机误差的统计特性及估算方法随机误差的统计特性及估算方法2.4 2.4 系统误差的特征及判断方法系统误差的特征及判断方

2、法2.5 2.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则2.6 2.6 测量数据的处理测量数据的处理2.7 2.7 误差的合成与分配误差的合成与分配2.1-22.1-2节教学重点与难点节教学重点与难点重点：测量误差的表示方法：绝对误差、相对误差测量误差的表示方法：绝对误差、相对误差-分贝分贝误差、满度相对误差。误差、满度相对误差。测量误差按照性质分类包括哪三类？定义？测量误差按照性质分类包括哪三类？定义？系统误差和随机误差的定量表示。系统误差和随机误差的定量表示。测量结果的评定：准确度、精密度和精确度，它们测量结果的评定：准确度、精密度和精确度，它们各代表什么含义。各代表什么含义。难点：难点

3、：分贝误差分贝误差一次直接测量时一次直接测量时-最大示值相对误差最大示值相对误差2.1 2.1 测量误差的基本原理测量误差的基本原理测量的目的：测量的目的：获得被测量的真值。获得被测量的真值。真值真值: : 在一定的时间和空间环境条件下，在一定的时间和空间环境条件下，真值无法获得。真值无法获得。测量误差：测量误差：测量结果与被测量的真值在数测量结果与被测量的真值在数量上存在的差异。量上存在的差异。 2.1 2.1 测量误差的基本原理测量误差的基本原理测量误差产生的原因：测量误差产生的原因： (1)(1)对于客观认识的局限性对于客观认识的局限性 (2)(2)测量工具不准确测量工具不准确 (3)(

4、3)测量手段不完善测量手段不完善 (4)(4)测量环境条件变化影响测量环境条件变化影响 (5)(5)测量人员工作中的疏忽等测量人员工作中的疏忽等例如：零点例如：零点没调好。没调好。2.1.1 2.1.1 研究误差的目的研究误差的目的研究误差的目的：研究误差的目的：(1)(1)正确认识误差的性质和来源，以减小测量误差。正确认识误差的性质和来源，以减小测量误差。(2)(2)正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。(3)(3)合理地制定测量方案，组织科学实验，正确选择合理地制定测量方案，组织科学实验，正确选择测量方法和测量仪器，以便在条件允许的情况下测量方法和

5、测量仪器，以便在条件允许的情况下得到理想的测量结果。得到理想的测量结果。(4)(4)设计中需要用误差理论进行分析并适当控制这些设计中需要用误差理论进行分析并适当控制这些误差因素，使仪器的测量准确程度达到设计要求。误差因素，使仪器的测量准确程度达到设计要求。 2.1.1 2.1.1 研究误差的目的研究误差的目的问题：问题：用间接法测量电阻用间接法测量电阻r r消耗的功率，可采消耗的功率，可采用两种方案：用两种方案： （1 1） （2 2）设所测电阻、电压、电流测量的相对误差分别设所测电阻、电压、电流测量的相对误差分别为为 ， ， , ,问采用哪种问采用哪种方案较好？方案较好？ vip rvp2%

6、1r%5 . 1v%2i2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法测量误差根据表示方法，可以分为：测量误差根据表示方法，可以分为：测测量量误误差差绝对误绝对误差差相相对误对误差差相相对真误对真误差差实际实际相相对误对误差差示示值值相相对误对误差差分分贝误贝误差差满满度相度相对误对误差差2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法1.1.绝对误差绝对误差（1 1）定义：）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为绝对误差。绝对误差。 0axxxxa 2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法（2 2）修正值（校正

7、值）修正值（校正值）与绝对误差的绝对值大与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的小相等，但符号相反的量值，称为修正值。量值，称为修正值。测量仪器的修正值可以测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数给出，修正值可以是数值、表格、曲线或函数值、表格、曲线或函数表达式等形式。表达式等形式。被测量的实际值：被测量的实际值：xaxccxa2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法例如：下图为某电流表的修正值曲线例如：下图为某电流表的修正值曲线当电流表示值为当电流表示值为10ma时，时，从曲线可知从曲线可知c=+0.04ma因此，实际值为因此，实际值为

8、10.04maic10ma+0.042.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法2.2.相对误差相对误差 一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小有关，而一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小有关，而且与这个量本身的大小有关。且与这个量本身的大小有关。 例：测量足球场的长度和长春市到吉林市的距离，若绝对例：测量足球场的长度和长春市到吉林市的距离，若绝对误差都为误差都为1 1米，测量的准确程度是否相同？米，测量的准确程度是否相同？（1 1）定义：）定义：绝对误差与被测量的真值之比。绝对误差与被测量的真值之比。0100%xa 相对相对相相对真误对真误差：差：2.1.22.1.2测

9、量误差的表示方法测量误差的表示方法实际相对误差：实际相对误差：用实际值用实际值a a代替真值代替真值a a0 0 示值相对误差：示值相对误差：用测量值用测量值x x 代替实际值代替实际值a a100%axa 100%xxx 2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法例子：例子：2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法分贝的定义是依据两种功率电平之比：分贝的定义是依据两种功率电平之比：lg1012ppdb 因因rvp2 所以所以lg102122rvrvdb 可得可得lg2012vvdb （2 2）分贝误差）分贝误差相对误差的对数表示相对误差的对数表示2.1.22.1

10、.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法 分贝误差分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差，单位为分贝（相对误差，单位为分贝（dbdb）。）。0axxdbdbadbau分贝误差分贝误差axxxaxuaa2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法aaadbdbadbauaaaudbaadbau)lg(20dbdbaa)1lg(20（1）（2）（1）式与（）式与（2）式相比较，得到下式：）式相比较，得到下式：dbdbdbxa)1lg(20)1lg(20分贝误差分贝误差uxaa2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法 uxaa i

11、ouuua aaaudbaguxlg20)1lg(20)1lg(20 xadbaaa书中：2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法例子：例子：2.1.22.1.2测量误差的表示方法测量误差的表示方法（3 3）满度相对误差）满度相对误差 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值下限值）之比来表示的相对误差，称为满程值（上限值下限值）之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称度相对误差（或称引用相对误差引用相对误差）。）。%100mmmxx常用电工仪表根据引用相对误差的不同分为七级：常用电工仪表根据引用相对误

12、差的不同分为七级：0 . 55 . 25 . 10 . 15 . 02 . 01 . 0、分别表示引用相对误差所不超过的百分比。分别表示引用相对误差所不超过的百分比。2.1.32.1.3电子测量仪器误差的表示方法电子测量仪器误差的表示方法工作误差工作误差 是在额定工作条件下测定的仪器误差极限。可以利是在额定工作条件下测定的仪器误差极限。可以利用工作误差直接估计测量结果误差的最大范围。用工作误差直接估计测量结果误差的最大范围。 50hz-1mhz,10mv-1v50hz-1mhz,10mv-1v量程为：量程为：固有误差固有误差 是当仪器的各种影响量与影响特性处于基准条件时，仪是当仪器的各种影响量

13、与影响特性处于基准条件时，仪器所具有的误差。器所具有的误差。 1khz,1v1khz,1v时为：时为： %5 . 0%5 . 1满量程的读数 个字读数的1%4 . 0?2.1.32.1.3电子测量仪器误差的表示方法电子测量仪器误差的表示方法影响误差影响误差 只有当某一影响量在工作误差中起重要作用时才给出，只有当某一影响量在工作误差中起重要作用时才给出，它是一种误差极限。它是一种误差极限。 温度影响误差：温度影响误差：1khz，1v时温度系数为：时温度系数为：稳定误差稳定误差 是仪器的标称值在其它影响量及影响特性保持恒定的是仪器的标称值在其它影响量及影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内所产生的

14、误差极限。情况下，于规定时间内所产生的误差极限。 在温度在温度 , ,相对湿度相对湿度80%80%以下，大气压力以下，大气压力8686106kpa106kpa的的环境内，连续工作环境内，连续工作7 7小时。小时。c/104-10+40c2.1.42.1.4一次直接测量时最大误差估计一次直接测量时最大误差估计仪器仪表的仪器仪表的最大绝对误差为最大绝对误差为 最大的示值相对误差最大的示值相对误差 mmx%sxxx%s%100 xxmmxm2.1.42.1.4一次直接测量时最大误差估计一次直接测量时最大误差估计例子：例子：某待测电流约为某待测电流约为100ma100ma，现有，现有0.50.5级量程

15、为级量程为0-400ma0-400ma和和 1.51.5级量程为级量程为0-100ma0-100ma的两个电流表，问用哪一个电流表的两个电流表，问用哪一个电流表测量较好？测量较好？1400%0.5%2%100mxxsx 2100%1.5% 1.5%100mxxsx2.22.2测量误差的分类测量误差的分类2.2.1 2.2.1 按照误差的来源分类按照误差的来源分类2.2.2 2.2.2 按照误差的性质分类按照误差的性质分类2.2.3 2.2.3 测量结果的评定测量结果的评定2.2.1按照误差的来源分类1.1.仪器误差：仪器误差：仪器本身及其附件引入仪器本身及其附件引入2.2.影响误差：影响误差：

16、各种环境因素与要求不一致各种环境因素与要求不一致3.3.方法误差和理论误差方法误差和理论误差 测量方法不合理所造成，采用近似公式计算测量方法不合理所造成，采用近似公式计算4.4.人身误差人身误差 测量者本身分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等测量者本身分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等2.2.2按照误差的性质分类1.1.系统误差系统误差 定义：定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变，或，或在测量条件在测量条件改变时按一定规律变化改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。的误差，称为系统误差。

17、产生的原因：产生的原因： （1 1）测量设备的缺陷、测量仪器不准）测量设备的缺陷、测量仪器不准 （2 2）测量环境变化）测量环境变化 （3 3）使用的测量方法不完善，采用近似公式等）使用的测量方法不完善，采用近似公式等 （4 4）测量人员估计读数时，习惯偏于某一方向或有滞）测量人员估计读数时，习惯偏于某一方向或有滞后倾向等原因所引起的误差。后倾向等原因所引起的误差。例如温度、湿度例如温度、湿度与仪器要求不一致与仪器要求不一致2.2.2按照误差的性质分类系统误差含义：表明了一个测量结果偏离真值或系统误差含义：表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。实际值的程度。系差越小

18、，测量就越准确。系统误差的定量定义：系统误差的定量定义：在重复性条件下，对同一在重复性条件下，对同一被测量进行被测量进行无限多次测量所得结果的平均值无限多次测量所得结果的平均值与被与被测量的真值之差。测量的真值之差。0aex2.2.2按照误差的性质分类2.2.随机误差随机误差定义定义: : 在同一测量条件下多次重复测量同一量在同一测量条件下多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为，称为随机误差或偶然误差，简称随差。随机误差或偶然误差，简称随差。产生的原因：产生的原

19、因： （1 1）仪器内部器件产生噪声等；）仪器内部器件产生噪声等； （2 2）电磁场干扰，大地微震，空气扰动等；）电磁场干扰，大地微震，空气扰动等； （3 3）测量人员感觉器官的无规则变化，读数不）测量人员感觉器官的无规则变化，读数不稳定等原因所引起的误差。稳定等原因所引起的误差。2.2.2按照误差的性质分类单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律。律。随机误差的定量定义：随机误差的定量定义：测量结果与在重复性条件下，对同一测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。被测量进行无限多次测量所得结果

20、的平均值之差。随机误差的特点：随机误差的特点： （1 1）有界性：有界性：多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限 （2 2）对称性：对称性：正负误差出现的机会相同正负误差出现的机会相同 （3 3）抵偿性：抵偿性：测量次数足够多时随机误差的算术平均值趋近测量次数足够多时随机误差的算术平均值趋近于零。于零。 xiiex 2.2.2按照误差的性质分类3.3.疏失误差（粗大误差）疏失误差（粗大误差）定义：定义：在一定的测量条件下，测量值明显地偏离实际在一定的测量条件下，测量值明显地偏离实际值所形成的误差称为疏失误差。值所形成的误差称为疏失误差。 产生的原因：产生的

21、原因： （1 1）一般情况下，它不是仪器本身固有的，）一般情况下，它不是仪器本身固有的， 主要是测主要是测量过程中由于疏忽造成的。量过程中由于疏忽造成的。 （2 2）由于测量条件的突然变化，例如电源电压、机械）由于测量条件的突然变化，例如电源电压、机械冲击等引起仪器示值的改变。冲击等引起仪器示值的改变。 含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。应剔除掉。坏值2.2.2按照误差的性质分类三种误差同时存在的示意图三种误差同时存在的示意图图中：系统误差相同，图中：系统误差相同，(b)(b)的的xi xi比比(a)(a)的分散程度严重，

22、图的分散程度严重，图(a)(a)数数据比较集中，说明随机误差较小。据比较集中，说明随机误差较小。2.2.3测量结果的评定准确度准确度表示系统误差的大小表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与真值度越高，即测量值与真值( (实际值实际值) )符合的程度越高。符合的程度越高。精密度精密度表示随机误差的影响表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。总是分布在平均值附近。精确度精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响用来反映系统

23、误差和随机误差的综合影响。精。精确度越高，表示准确度和精密度都高，意味着系统误确度越高，表示准确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。差和随机误差都小。射击误差射击误差示意图示意图 上节内容回顾上节内容回顾1.1.测量误差的表示方法：绝对误差、相对误差测量误差的表示方法：绝对误差、相对误差- - -分贝误差、满度相对误差。分贝误差、满度相对误差。2.2.一次直接测量时一次直接测量时-最大示值相对误差最大示值相对误差3.3.测量误差按照性质分类包括哪三类？定义？测量误差按照性质分类包括哪三类？定义？4.4.系统误差和随机误差的定量表示。系统误差和随机误差的定量表示。5.5.随机误差的三个

24、特点。随机误差的三个特点。6.6.准确度、精密度和精确度的含义。准确度、精密度和精确度的含义。本次课内容本次课内容2.3 2.3 随机误差的统计特性及估算方法随机误差的统计特性及估算方法2.4 2.4 系统误差的特征及判断方法系统误差的特征及判断方法2.5 2.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则2.3随机误差的统计特性及估算方法2.3.1 2.3.1 测量值的数学期望与标准差测量值的数学期望与标准差1.1.数学期望数学期望 对某一被测量对某一被测量x x进行次数为进行次数为n n的等精密度测量，得到测的等精密度测量，得到测量值为量值为xi,则则算术平均值为算术平均值为： 当测量次数当

25、测量次数nn时，样本平均值的极限称为测量值的时，样本平均值的极限称为测量值的数学期望。数学期望。 n1iixn1xn1iinxxn1lime2.3.1 2.3.1 测量值的数学期望与标准差测量值的数学期望与标准差随机误差随机误差系统误差系统误差xiiex 0aex00axaeexixxiiiix随机误差与系随机误差与系统误差之和：统误差之和：绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。即绝对误差。即绝对误差。2.3.1 2.3.1 测量值的数学期望与标准差测量值的数学期望与标准差2.2.算术平均值原理算术平均值原理（1 1）算术平均值的意义）算术平均值的意义

26、 当当 且无坏值时，且无坏值时， 由随机误差的抵偿性，当测量次数由随机误差的抵偿性，当测量次数n n足够多时，可以近似足够多时，可以近似认为：认为： 所以：所以： 通常把多次等精密度测量的算术平均值称为真值的最通常把多次等精密度测量的算术平均值称为真值的最 佳估计值，写为：佳估计值，写为： 实际测量中，在消除系差和剔除坏值后，用多次测量实际测量中，在消除系差和剔除坏值后，用多次测量 的算术平均值作为最后测量结果。的算术平均值作为最后测量结果。 0 0n1n1iixa00aex xex 2.3.1 2.3.1 测量值的数学期望与标准差测量值的数学期望与标准差（2 2）剩余误差）剩余误差 各次测量

27、值与其算术平均值之差，称为剩余误差各次测量值与其算术平均值之差，称为剩余误差（又称残差）。（又称残差）。 xxuiiniiu10剩余误差的代数和为剩余误差的代数和为0 0。2.3.1 2.3.1 测量值的数学期望与标准差测量值的数学期望与标准差3.3.方差与标准差方差与标准差 方差：方差：n n时，时， 因为：因为： 所以，方差可以表示为所以，方差可以表示为 标准差标准差: :n1i2xi2exn1n1i2i2n1xiiex niin121测量值的方差测量值的方差反映了测量值反映了测量值的离散程度，的离散程度，也就是随机误也就是随机误差对测量值的差对测量值的影响。影响。2.3.2 2.3.2

28、贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用1 1. .随机误差的正态分布随机误差的正态分布为什么随机误差和测量数为什么随机误差和测量数据大多接近正态分布？据大多接近正态分布？2.3.2 2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：测量数据测量数据x x的概率密度函数为：的概率密度函数为： )2)(exp(2122xexxp )2exp(2122pxe2.3.2 2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用标准差是代表测量数据标准差是代表测量数据及测量误差分布离散程及测量误差分布离散程度的特征数。度的特征数。标准差越小，则曲线形标准差越小，则

29、曲线形状越尖锐，说明数据越状越尖锐，说明数据越集中；标准差越大，则集中；标准差越大，则曲线形状越平坦，说明曲线形状越平坦，说明数据越分散。数据越分散。 0)(p1 2 3 2.3.2 2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用2.2.贝塞尔公式：贝塞尔公式： 当当n n为有限次测量时，用剩余误差表示标准差，为有限次测量时，用剩余误差表示标准差，标准差的估计值，就是贝塞尔公式。标准差的估计值，就是贝塞尔公式。贝塞尔公式的另一种表达形式：贝塞尔公式的另一种表达形式：niiniixxnun1212)(11111122nxnxnii2.3.2 2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用3.

30、3.算术平均值的标准差算术平均值的标准差 在有限次在有限次等精密度测量等精密度测量中，以算术平均值作为测量结中，以算术平均值作为测量结果。由于随机误差的存在，使算术平均值围绕真值有果。由于随机误差的存在，使算术平均值围绕真值有一定的分散性，说明算术平均值还存在误差。一定的分散性，说明算术平均值还存在误差。 概率论中定理：概率论中定理：几个相互独立的随机变量几个相互独立的随机变量之和的方差之和的方差等于各个等于各个随机变量随机变量方差之和方差之和。2.3.2 2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：nnnxxxnxnxnnniiniix222222

31、1221221221)()()(1)(1)1(nxnxn n为有限次测量时，为有限次测量时， 当我们对某被测量进行一系列当我们对某被测量进行一系列独立独立的的等精密度等精密度的测量时，也就是说，从统的测量时，也就是说，从统计学观点来看，测量系统、测量条件计学观点来看，测量系统、测量条件和被测量不变，他们具有相同的数学和被测量不变，他们具有相同的数学期望和方差。期望和方差。2.4 系统误差的特征及判断方法2.4.12.4.1系统误差的特征系统误差的特征 绝对误差等于系统误差与随机误差之和绝对误差等于系统误差与随机误差之和: : 当测量次数当测量次数n n足够大时，考虑系差不变的情况，足够大时，考

32、虑系差不变的情况， 的的算术平均值：算术平均值： 则：则：iixixniniiinxn1111011axxnnii在在n n足够大时，各次测量足够大时，各次测量绝对误差的算术平均值绝对误差的算术平均值就等于系统误差。就等于系统误差。 02.4.1系统误差的特征系统误差一般分下列几种情况：系统误差一般分下列几种情况：(1)(1)恒值系统误差。恒值系统误差。 (2)(2)线性系统误差。线性系统误差。(3)(3)周期性系统误差。周期性系统误差。 (4)(4)复杂变化的系统误差。复杂变化的系统误差。上述第上述第，种，种， 统称为统称为变值系统误差。变值系统误差。2.4.2判断系统误差的方法1.1.实验

33、对比法实验对比法 只适用于发现只适用于发现恒值恒值系统误差。系统误差。2.2.剩余误差观察方法剩余误差观察方法 根据测量数据的各个剩余误差大小和符号的变化规律，根据测量数据的各个剩余误差大小和符号的变化规律，制成表格或者曲线来判断有无系统误差。制成表格或者曲线来判断有无系统误差。主要用于发主要用于发现现变值变值系统误差。系统误差。 普通仪表不可信时，可采用高一级仪表测量。2.4.2判断系统误差的方法3.3.马利科夫判据马利科夫判据 用于发现是否存在线性系统误差。用于发现是否存在线性系统误差。 211232112nninniiininniiinuuuu为奇数时当为偶数时当若若 的绝对值的绝对值大

34、于最大的大于最大的ui的绝对的绝对值，则值，则可认为存在线可认为存在线性系统误差。性系统误差。 2.4.2判断系统误差的方法4.4.阿卑阿卑- -赫梅特判据赫梅特判据 这个判据用于发现是否存在周期性系统误差。这个判据用于发现是否存在周期性系统误差。 21n1i1ii1nuu上式成立，说明存在周期性系统误差。上式成立，说明存在周期性系统误差。减小系统误差的方法自学。2.5疏失误差及其判断准则2.5.12.5.1测量结果的置信问题测量结果的置信问题1.1.置信概率与置信区间置信概率与置信区间置信区间置信区间：在这一区间内，描述随机在这一区间内，描述随机误差出现的可靠程度的误差出现的可靠程度的量，称

35、为量，称为置信概率置信概率，一般，一般用百分数表示。用百分数表示。,kk对于正态分布对于正态分布置信系数置信系数k k置信概率置信概率p p168.26%295.44%399.73%2.5.12.5.1测量结果的置信问题测量结果的置信问题2.2.有限次测量时的置信问题有限次测量时的置信问题 有限次测量时，用有限次测量时，用算术平均值算术平均值来作为测量结果。来作为测量结果。 想要得到算术平均值的置信区间，想要得到算术平均值的置信区间， 构造关系式：构造关系式： ,xxtxtxnextxx概率论中证概率论中证明，此分布明，此分布服从服从t t分布，分布，而不是正态而不是正态分布。分布。2.5.1

36、2.5.1测量结果的置信问题测量结果的置信问题t t分布与测量次数有关。当分布与测量次数有关。当n20n20以后，以后，t t分布趋于分布趋于正态分布。正态分布是正态分布。正态分布是t t分布的极限分布。分布的极限分布。给定置信概率和测量次数给定置信概率和测量次数n n，查表得置信因子，查表得置信因子 。 自由度：自由度：v=n-1 v=n-1 (p36(p36表表2.5.3)2.5.3)t2.5.12.5.1测量结果的置信问题测量结果的置信问题例子：例子：已知n=10,等精密度测量，无系统误差，并已知 ，当置信概率为95%时，估计被测量的真值范围。 解：平均值的标准差估计值： 自由度： 已知

37、置信概率p=95%,查表得： 被测量的真值范围： 045.75 x0303. 0 00958. 0100303. 0 nx 91101 n 26. 2 t0233.7500958. 026. 2045.75 xtx 0667.7500958. 026. 2045.75 xtx 2.5.2不确定度与坏值的剔除准则随机不确定度：随机不确定度：在实际测量中，对于服从正态分在实际测量中，对于服从正态分布的随机误差，一般认为大于布的随机误差，一般认为大于33的误差出现的的误差出现的可能性极小，通常把等于可能性极小，通常把等于33的误差称为极限误的误差称为极限误差或随机不确定度。差或随机不确定度。 用用表

38、示：表示：算术平均值的不确定度可以表示为：算术平均值的不确定度可以表示为： 当测量次数当测量次数n n足够多时：足够多时： 当测量次数当测量次数n n较少时：较少时：33或xx3xxt2.5.2不确定度与坏值的剔除准则粗大误差的判别准则：粗大误差的判别准则：统计学方法的基本思想是给定一置信概率，确定统计学方法的基本思想是给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。是粗大误差，并予以剔除。33准则：准则： （测量次数大于（测量次数大于2020）格拉布斯准则：格拉布斯准则： （测量次数小于（测量次数小于2020）

39、式中，式中，g g值按测量次数值按测量次数n n及置信概率及置信概率p p确定。确定。p38p38 3iugui2.5.2不确定度与坏值的剔除准则应注意的问题：应注意的问题： （1 1）所有的检验法都是人为主观拟定的，至今）所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。有时一个异常数据可能反映出检验不一定可靠。有时一个异常数据可能反映出一种异常现象。一种异常现象。 （2 2）若有多个可疑数据同时超过检验所定置信）若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应区间，应逐个剔除逐个剔除，重新计算，再行判别。若有

40、，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。本次课内容小结1.1.绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。2.2.在消除系差和剔除坏值后，用多次测量在消除系差和剔除坏值后，用多次测量 的算术平均值作为最后测量结果。的算术平均值作为最后测量结果。 3.3.剩余误差的代数和为剩余误差的代数和为0 0。4.4.方差反映了测量值的离散程度，也就是随机误差方差反映了测量值的离散程度，也就是随机误差 对测量值的影响。对测量值的影响。5.5.贝塞尔公式：贝塞尔公式：xa0niiu10iixn1i2i2n1niini

41、ixxnun1212)(11116.6.算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：7.7.系统误差的特征：系统误差的特征：8.8.系统误差的分类和判断方法系统误差的分类和判断方法9.9.算术平均值的置信区间算术平均值的置信区间10.10.随机不确定度随机不确定度11.11.算术平均值的不确定度算术平均值的不确定度nxnx011axxnnii33或xx3xxt12.12.粗大误差的粗大误差的 判断准则：判断准则：33准则：准则： 格拉布斯准则：格拉布斯准则： 3iugui前面章节内容回顾前面章节内容回顾2.3 2.3 随机误差的统计特性及估算方法随机误差的统计特性及估算方法2.4 2.4 系统误差

42、的特征及判断方法系统误差的特征及判断方法iixxa0niiu10niin1221niiniixxnun1212)(1111nx011axxnnii系统误差的分类系统误差的分类系统误差的判断方法系统误差的判断方法前面章节内容回顾前面章节内容回顾2.5 2.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则算术平均值的置信区间算术平均值的置信区间33或xx3xxt粗大误差的判断准则粗大误差的判断准则33准则：准则： 格拉布斯准则：格拉布斯准则： 3iugui教学重点与难点教学重点与难点重点：等精密度测量结果的处理步骤利用误差合成传递公式计算常用函数的合成误差推导按系统误差相同的原则分配误差按对总误差影响

43、相同的原则分配误差难点：误差合成与分配计算及其灵活应用2.6测量数据的处理 数据处理数据处理，就是从测量所得到的原始数据中求，就是从测量所得到的原始数据中求出被测量的最佳估计值，并计算其精确程度。出被测量的最佳估计值，并计算其精确程度。2.6.1数据舍入规则测量数据，或者用测量数据得到的算术平均值测量数据，或者用测量数据得到的算术平均值都会含有误差，是近似数字。所以在处理数据都会含有误差，是近似数字。所以在处理数据时要进行舍入处理。时要进行舍入处理。 在测量技术中数据舍入规则：在测量技术中数据舍入规则： （1 1）小于小于5 5舍去舍去末位不变。末位不变。 （2 2）大于大于5 5进进1 1

44、在末位增在末位增1 1。 （3 3）等于等于5 5时，取偶数时，取偶数当末位是偶数，末当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增位不变；末位是奇数，在末位增1 1（将末位凑（将末位凑为偶数）。为偶数）。2.6.1数据舍入规则例：将下列数据舍入到小数第二位。例：将下列数据舍入到小数第二位。12.4312.43444412.4312.43 63.73 63.7350150163.7463.740.690.694994990.69 25.30.69 25.32 2505025.3225.3217.6917.69555517.70 123.117.70 123.11 15050123.12123.1

45、2在在“等于等于5 5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的正负误差的概率近似相等。概率近似相等。2.6.1数据舍入规则0.50.5误差原则：误差原则：数据经舍入后，末位是欠准数数据经舍入后，末位是欠准数字，末位以前的数字是准确数字。字，末位以前的数字是准确数字。其舍入误差其舍入误差基本不大于末位单位的一半，这个基本不大于末位单位的一半，这个“一半一半”即即为该数据的最大舍入误差。为该数据的最大舍入误差。所以当测量结果未所以当测量结果未注明误差时，则认为最后一位数字有注明误差时，则认为

46、最后一位数字有“0.50.5”误误差，称此差，称此“0.50.5误差原则误差原则”。2.6.1数据舍入规则有效数字：有效数字：绝对误差不超过末位数字单位的一绝对误差不超过末位数字单位的一半时，从它左边第一个不为零的数字算起，到半时，从它左边第一个不为零的数字算起，到最末一位数为止（包括最末一位数为止（包括0 0）都是有效数字。）都是有效数字。 例如：例如：3.142 3.142 四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差0.00050.00058.700 8.700 四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差0.00050.00058.78.7103 103 二位有效数字，极限误差二位有效

47、数字，极限误差0.050.051031030.0807 0.0807 三位有效数字，极限误差三位有效数字，极限误差0.000050.000052.6.1数据舍入规则对测量结果有效数字的处理原则是对测量结果有效数字的处理原则是：根据测量的不确定度来：根据测量的不确定度来确定有效数字的位数（允许保留一位欠准数字），与误差的确定有效数字的位数（允许保留一位欠准数字），与误差的大小相对应，再根据舍入规则将有效位以后的数字舍去。大小相对应，再根据舍入规则将有效位以后的数字舍去。例例2.6.2 2.6.2 用用0.50.5级电压表的级电压表的100v100v量程进行测量，指示值为量程进行测量，指示值为85

48、.85.35v35v，试确定测量结果有效数字位数。，试确定测量结果有效数字位数。解：解：该量程绝对误差：该量程绝对误差： 基于基于“0.50.5误差原则误差原则”，此数据的末位应该是整数，测量结，此数据的末位应该是整数，测量结果两位有效数字，果两位有效数字，85v.85v.（不用标注误差）（不用标注误差） 一般习惯于使结果数据末位与绝对误差对齐一般习惯于使结果数据末位与绝对误差对齐，85.4v85.4v0.5v0.5v )(5 . 0%)5 . 0(100%)(vsuumm2.6.1数据舍入规则例如，例如，某物理量的测量结果的值为某物理量的测量结果的值为63.4463.44，且，且该量的测量不

49、确定度该量的测量不确定度u u0.40.4，测量结果表示为，测量结果表示为63.463.40.40.4。2.6.2等精密度测量结果的处理步骤对某一量进行等精密度测量时，其测量值可能同时对某一量进行等精密度测量时，其测量值可能同时含有系统误差、随机误差和疏失误差。为了得到合含有系统误差、随机误差和疏失误差。为了得到合理的测量结果，做出正确的报告，必须对所测得的理的测量结果，做出正确的报告，必须对所测得的数据进行分析处理。数据进行分析处理。 （1 1）用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 （2 2）求算术平均值求算术平均值（3 3）求剩余误差求剩余误差

50、（4 4）求标准差的估计值，用贝塞尔公式求标准差的估计值，用贝塞尔公式 n1iixn1xniiun1211xxuii2.6.2等精密度测量结果的处理步骤（5 5）判断疏失误差，剔除坏值判断疏失误差，剔除坏值 33准则：准则： （测量次数大于（测量次数大于2020） 格拉布斯准则：格拉布斯准则： （测量次数小于（测量次数小于2020）（6 6）剔除坏值后，再重复求剩下数据的算术平均值、剔除坏值后，再重复求剩下数据的算术平均值、剩余误差、标准差，并再次判断，直至不包括坏值剩余误差、标准差，并再次判断，直至不包括坏值为止。为止。（7 7）判断有无变值系统误差判断有无变值系统误差 用剩余误差观察法、马

51、利科夫判据和阿用剩余误差观察法、马利科夫判据和阿- -赫判据赫判据判断有无变值系统误差。判断有无变值系统误差。3iugui2.6.2等精密度测量结果的处理步骤（8 8）求算术平均值的标准差估计值求算术平均值的标准差估计值 （9 9）求算术平均值的不确定度求算术平均值的不确定度 当测量次数当测量次数n n足够多时：足够多时： 当测量次数当测量次数n n较少时：较少时：（1010）给出测量结果的表达式给出测量结果的表达式nxxx3xxtxxa结合例题p42 例2.6.3，理解数据处理过程。2.7误差的合成与分配误差的合成：误差的合成： 已知被测量与各参数之间的函数关系及各测量已知被测量与各参数之间

52、的函数关系及各测量值的误差，求函数的总误差。值的误差，求函数的总误差。误差的分配：误差的分配： 已知各参数之间的函数关系及对总误差的要求，已知各参数之间的函数关系及对总误差的要求，分别确定各个参数测量的误差。分别确定各个参数测量的误差。2.7.1误差传递公式在间接测量中，一般为多元函数，设在间接测量中，一般为多元函数，设y y为间接测量值为间接测量值( (函数函数) )， 为各个直接测量值为各个直接测量值( (自变量自变量) )，则，则: :设各设各 间彼此相互独立，间彼此相互独立， 的绝对误差为的绝对误差为 的绝对误差为的绝对误差为 则：则：按泰勒公式展开，并略去高阶项，可得：按泰勒公式展开

53、，并略去高阶项，可得：所以：所以： 即：即：),(21nxxxfyjxjxjxjxy yy),(2211nnxxxxxxfyynnnxxfxxfxxfxxxfyy221121，nnxxfxxfxxfy2211jnjjxxfy12.7.1误差传递公式相对误差的传递公式：相对误差的传递公式：fxxfyyn1jjjydxflndfdxdfjn1jjyxxfln由于：由于：所以：所以：2.7.2常用函数的合成误差积函数的合成误差积函数的合成误差 设设y=aby=ab，a a与与b b的误差为的误差为aa与与bb，则，则: : 当各分项误差都有当各分项误差都有号时：号时：baabbbabaaabxxfy

54、jnjj)()(1baybbaaabbaabyybay2.7.2常用函数的合成误差商函数的合成误差商函数的合成误差 设设y=a/by=a/b， a a与与b b的误差为的误差为aa与与bb，则，则: : 当各分项误差都有当各分项误差都有号时：号时：bbaabbbbaaabay)(1/2baybbaababbaaayy/2bay2.7.2常用函数的合成误差幂函数的合成误差幂函数的合成误差设设 (k(k为常数为常数) ) ，a a与与b b的误差为的误差为aa与与bb，则，则: :nmbkay bnbkaamakbbbbkaaabkaynmmnnmnm11banmnmnmmnynmbbnaambk

55、abnbkabkaamakbyy11当各分项误差都有当各分项误差都有号时：号时：baynm2.7.2常用函数的合成误差和差函数的合成误差和差函数的合成误差和差积商函数的合成误差和差积商函数的合成误差如，求两个电阻（如，求两个电阻（r1r1和和r2r2）并联电阻）并联电阻r r的总误差。的总误差。bay2121rrrrr2.7.2常用函数的合成误差误差合成的例子误差合成的例子 电流通过电阻，发热量电流通过电阻，发热量q= q= 焦耳，若焦耳，若 已知，求已知，求 是多少？是多少？trirtiiirtttqrrqiiqq222rti2q%5 . 4%)5 . 0%1%22(22222222triqttrriirtitrirtirtirtiiirtqq%5 . 0%,1%,2 tri 2.7.3系统误差的合成确定性系统误差的合成确定性系统误差的合成 误差的大小及符号均