第1章连续时间信号分析

1、yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 2本章主要内容f 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解周期信号的频率分解 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析连续信号的相关分析 与本章内容有关的与本章内容有关的matlab函数函数yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 3连续信号的时域描述v 连续时间信号的定义连续时间信号的定义 所谓连续时间信号所谓连续时间信号，简简称为连续信号，就是指称为连续信号，就是指在所讨论的时间内，对在所讨论的时间内，对于于除了

2、若干个不连续点除了若干个不连续点以外以外的任意时刻值都有的任意时刻值都有定义的信号，一般用数定义的信号，一般用数学函数学函数x(t)表示。表示。 x(t)t0yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 4连续信号的时域描述v 基本的连续信号基本的连续信号u 正弦信号正弦信号 两个振幅和初相位均不同的两个振幅和初相位均不同的同频率正弦信号相加后，其同频率正弦信号相加后，其结果仍是原频率的正弦信号结果仍是原频率的正弦信号 若一个正弦信号的频率是另若一个正弦信号的频率是另一个正弦信号频率的整数倍一个正弦信号频率的整数倍时，则它们的合成信号是一时，则它们的合成信号是一个非正弦周

3、期信号，其周期个非正弦周期信号，其周期就等于基波的周期就等于基波的周期 正弦信号对时间的微分或积正弦信号对时间的微分或积分仍然是同频率的正弦信号分仍然是同频率的正弦信号 t0asin(t+ )a)2cos()sin()( tatatxyunzhi huang - dsp2010 - chapter1 5连续信号的时域描述u 抽样信号抽样信号sa(t)是关于是关于t的偶函数的偶函数 sa(t)是一个以是一个以2为周期，且具有为周期，且具有1/t的单调衰减幅值的振荡信号的单调衰减幅值的振荡信号 除除t=0外有确定的值，当外有确定的值，当t=，2，3，时，时，sa(t)=0， 且有且有 ttt/si

4、n)( sa 3 2 321t0sa(t)1sinlim0 ttt2)(0 dttsa dtt)(sayunzhi huang - dsp2010 - chapter1 6连续信号的时域描述u 单位阶跃信号单位阶跃信号 在跃变点在跃变点t = 0处，函数值未定义处，函数值未定义 若单位阶跃信号的跃变点在若单位阶跃信号的跃变点在t = t0处，则称其为延时单位处，则称其为延时单位阶跃信号，其数学表达式为阶跃信号，其数学表达式为 0,10,0)(tttu 000,1,0)(ttttttu0u(t)1t0u(t t0)1tt0yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 7连续

5、信号的时域描述u 单位冲激信号单位冲激信号 抽样特性（筛选特性）抽样特性（筛选特性） 加权特性加权特性 单位冲激信号为偶函数单位冲激信号为偶函数 尺度变换特性尺度变换特性 单位冲激信号的导数单位冲激信号的导数 1)(0,0)(dtttt )()()()()()(),0()()(00txdtxtxdttttxxdtttx t0(1)(t)()()()(),()0()()(000tttxtttxtxttx )(|1)(),(|1)(00attatattaat yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 8连续信号的时域描述u 复指数信号复指数信号u可见，复指数信号的波形随复

6、频率可见，复指数信号的波形随复频率s的不同取值而变化。的不同取值而变化。 tjeteeetttjt s sincos t0e t1=00t0re e jt 1t0re e st 10yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 9连续信号的基本运算v 信号的相加与相乘信号的相加与相乘 信号的相加（或相乘）是指两个信号在任意时刻函数值信号的相加（或相乘）是指两个信号在任意时刻函数值之和（或积）。之和（或积）。v 信号的微分与积分信号的微分与积分 u信号信号x(t)的微分（导数）是指信号的微分（导数）是指信号x(t)的函数值的函数值随时间变化的变化率。当信号随时间变化的变化率

7、。当信号x(t)中含有不连续中含有不连续点时，则点时，则x(t)在这些不连续点上出现冲激，其强在这些不连续点上出现冲激，其强度为原函数在该点处的跳变量。度为原函数在该点处的跳变量。u信号信号x(t)的积分是指在的积分是指在-到到t区间内的任意时刻区间内的任意时刻处，信号处，信号x(t)与时间轴所包围的面积。与时间轴所包围的面积。 yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 10连续信号的基本运算v 信号的时移与翻褶信号的时移与翻褶u信号信号x(t)时移时移t0（t0 0），），就是将就是将x(t)表达式及其定表达式及其定义域中所有自变量义域中所有自变量t替换为替换为tt

8、0，从而使从而使x(t)表达式变表达式变为为x(tt0)。从信号波形上看，从信号波形上看，x(t+t0)的波形是将的波形是将x(t)的波形向左移动的波形向左移动t0时间；时间；x(t-t0)的波形是将的波形是将x(t)的波形的波形向右移动向右移动t0时间。时间。u信号信号x(t)的翻褶就是将的翻褶就是将x(t)表达式以及定义域中的所有表达式以及定义域中的所有自变量自变量t替换为替换为- t，从而使从而使x(t)表达式变为表达式变为x(- t)。从信从信号波形上看，号波形上看，x(- t)的波形与的波形与x(t)的波形关于纵轴的波形关于纵轴t = 0呈镜像对称。呈镜像对称。m翻褶信号翻褶信号x(

9、- t)的时移规律与信号的时移规律与信号x(t)恰好相反。恰好相反。yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 11连续信号的基本运算v 信号的尺度变换信号的尺度变换u信号的尺度变换就是将信号信号的尺度变换就是将信号x(t)表达式中以及定义域中的所表达式中以及定义域中的所有自变量有自变量t替换为替换为at，从而使从而使x(t)表达式变为表达式变为x(at) 。 当当a 1时，则时，则x(at)是将是将x(t)的波形沿时间轴压缩至原来的的波形沿时间轴压缩至原来的1/a 当当0 a 1时，则时，则x(at)是将是将x(t)的波形沿时间轴扩展至原来的的波形沿时间轴扩展至原来的

10、1/a 当当a 0时，则时，则x(at)是将是将x(t)的波形沿时间轴压缩或扩展至的波形沿时间轴压缩或扩展至1/| a | t210 x(t)1t420 x(-t/2)1t-1/2-10 x(-2t)1t1/2 10 x(-2t+2)1t420 x(t/2)1t1/2 10 x(2t)1yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 12连续信号的时域分解 ( )() ()(2)(0)() ()()()u tu tu tu txxu tnu tnx n ( )(0) ( )()() ()(2)() ()()x txu tu txu tu tx nu tnu tn x(t)x

11、(0)t0 n ()()()nu tnu tnx n yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 13连续信号的时域分解0 ()()()0ndu tnu tnt 由由于于，且且故故，有有， dtxntnxntuntunxtxnn)()()()(lim)()()(lim)(00yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 14连续信号的卷积v 卷积的定义卷积的定义v 卷积的图解卷积的图解 dtxxtxtx)()()()(212110tx1(t)=u(t)(a) 单位阶跃信号单位阶跃信号x2(t)=e- atu(t)t01(b) 单边指数信号单边指数信

12、号x2(-)01(c) 翻褶翻褶y(t)t01/a(f) 卷积值卷积值(e) 相乘并积分相乘并积分x1()x2(t )01t(d) 时移时移x2(t )t 01yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 15连续信号的卷积v 卷积的性质卷积的性质u 交换律交换律u 结合律结合律u 分配律分配律u 微积分性质微积分性质)()()()(1221txtxtxtx )()()()()()(321321txtxtxtxtxtx )()()()()()()(3121321txtxtxtxtxtxtx )()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(

13、1)()1(212)1(1)1()1(212)1(1)1(211)(1)txtxtytxtxtxtxtyxtxtxtxtytxtxtytxtxtxjiji 推推广广为为一一般般形形式式则则，且且有有的的一一阶阶导导数数和和一一次次积积分分分分别别表表示示任任意意信信号号若若、yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 16连续信号的卷积u 任意信号与冲激信号的卷积任意信号与冲激信号的卷积上式表明，上式表明，x(t)与与(t-t0)的卷积，相当于将信号的卷积，相当于将信号x(t)延时延时t0。 u 任意信号与阶跃信号的卷积任意信号与阶跃信号的卷积上式表明，单位阶跃信号上式

14、表明，单位阶跃信号u(t)相当于积分器。相当于积分器。 u 任意信号与冲激偶信号的卷积任意信号与冲激偶信号的卷积上式表明，冲激偶信号上式表明，冲激偶信号(t)相当于微分器。相当于微分器。 )()()()()()(00ttxtttxtxttx tdxtutx )()()()()()(txttx yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 17本章内容提要 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析f 周期信号的频率分解周期信号的频率分解 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析连续信号的相关分析 与本章内容有

15、关的与本章内容有关的matlab函数函数yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 18周期信号的描述(a) 锯齿波锯齿波-t03t02t0 x(t)tt00(b) 半波整流半波整流-t03t02t0 x(t)tt00u若连续时间信号若连续时间信号x(t)在（在（-，）区间，以）区间，以t0为周期，周而为周期，周而复始地重复再现，则称信号复始地重复再现，则称信号x(t)为周期信号，其表达式是为周期信号，其表达式是 u周期分别为周期分别为t1和和t2的两个的两个(或多个或多个)周期信号线性叠加后，是周期信号线性叠加后，是否仍是周期信号，这主要取决于在这两个周期否仍是周期信

16、号，这主要取决于在这两个周期t1，t2之间之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数是否有最小公倍数，即存在一个最小数t0能同时被能同时被t1和和t2所整除。若存在最小公倍数则有所整除。若存在最小公倍数则有 ),()()2()()(000 tnttxttxttxtx均均为为整整数数有有理理数数2112212211, nnnntttntn yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 19 1804年，傅立叶首次提出“在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦和余弦之和”yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 20傅里叶级数v狄里赫利

17、（狄里赫利（dirichlet）条件条件 在一个周期内信号是绝对可积的，即在一个周期内信号是绝对可积的，即 在一个周期内只有有限个不连续点，且在这些在一个周期内只有有限个不连续点，且在这些点处的函数值必须是有限值点处的函数值必须是有限值 在一个周期内只有有限个最大值和最小值在一个周期内只有有限个最大值和最小值 2/2/00| )(|ttdttxyunzhi huang - dsp2010 - chapter1 21傅里叶级数v 傅里叶级数的主要形式傅里叶级数的主要形式u 三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数u 指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数，21sin)(2210cos)(2)sincos(2)

18、(2/2/002/2/0010000000 ntdtntxtbntdtntxtatnbtnaatxttnttnnnn式式中中，傅傅里里叶叶系系数数)()(1)()(02/2/0000000 nxdtetxtcenxectxtttjnnntjnntjnn式式中中，傅傅里里叶叶系系数数yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 22举例举例 通过以下通过以下 变变 换换 对对 可可 以以 看看 出出 时时 域域 的的 连连 续续 函函 数数 造造 成成 频频 域域 是是 非非 周周 期期 的的 频频 谱谱 函函 数数 , , 而而 频频 域域 的的 离离 散散 频频 谱谱

19、就就 与与 时时 域域 的的 周周 期期 时时 间间 函函 数数 对对 应应 . . ( (频域采样，时域周期延频域采样，时域周期延 拓拓) )yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 23周期信号的频域分析u 频域分析的概念频域分析的概念 u 信号的频谱与时域波形的关系信号的频谱与时域波形的关系 频率的高低相当于波形变化的快慢频率的高低相当于波形变化的快慢; 谐波幅度的大小反映了时域波形取值的大小谐波幅度的大小反映了时域波形取值的大小 相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻 为为相相频频特特性性为为幅幅频频特特性性，其其中中

20、，)(| )(| )(|)()(00)(000 nnxenxnxtxnj yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 24周期信号的频域分析u 连续周期信号频谱的特点连续周期信号频谱的特点 频谱是由频率离散的非周期性谱频谱是由频率离散的非周期性谱线组成，每根谱线代表一个谐波线组成，每根谱线代表一个谐波分量，即分量，即离散性离散性 频谱中的谱线只在基波频率的整频谱中的谱线只在基波频率的整数倍处出现，即数倍处出现，即谐波性谐波性 频谱中各谱线的幅度随着谐波次频谱中各谱线的幅度随着谐波次数的增加而逐渐衰减，即数的增加而逐渐衰减，即收敛性收敛性 (b) 相频特性相频特性0-00

21、-20-302030 (n0)n0(a) 幅频特性幅频特性0-00-20-302030|x(n0)|n0周期锯齿波信号离散频谱周期锯齿波信号离散频谱yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 25傅里叶级数的性质u 线性性质线性性质u 时移性质时移性质u 尺度变换性质尺度变换性质)()()()()()()()()()()()(2221112211210220112211021222111 nxanxatxatxanxanxatxatxanxtxnxtx最最小小公公倍倍数数时时，则则有有，但但两两信信号号的的周周期期存存在在当当时时，则则有有当当若若周周期期信信号号，)(

22、)()()(00000 nxettxnxtxtjn则则若若周周期期信信号号为为实实常常数数则则若若周周期期信信号号anxatxnxtx)()()()(00 yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 26傅里叶级数的性质u 对称性质对称性质 信号为实函数信号为实函数 信号为实偶函数（偶对称）信号为实偶函数（偶对称） 信号为实奇函数（奇对称）信号为实奇函数（奇对称） )()(| )(| )(|0000nnnxnx 100cos2)(nntnaatx 10sin)(nntnbtxyunzhi huang - dsp2010 - chapter1 27傅里叶级数的性质u 对称

23、性质对称性质 半周期对称半周期对称 半周期偶对称（半周期重叠）半周期偶对称（半周期重叠） 半周期奇对称（半周期镜像）半周期奇对称（半周期镜像） 双重对称双重对称 )(20txttx )(20txttx yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 28傅里叶级数的性质u 时域微积分性质时域微积分性质 0)()()()()()()()()()(00)1(00)(000 njnnxdxtxnxjndttxdtxnxjntxnxtxtkkkk 积积分分的的情情况况，即即推推广广到到高高阶阶导导数数和和函函数数则则若若周周期期信信号号yunzhi huang - dsp2010

24、- chapter1 29本章内容提要 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解周期信号的频率分解f 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析连续信号的相关分析 与本章内容有关的与本章内容有关的matlab函数函数yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 30从傅里叶级数到傅里叶变换t0 x(t)at0 xt(t)at周期信号与非周期信号的关系：周期信号与非周期信号的关系：)(lim)(txtxtt 000/20/2( )()1()( )jnttntjntttx tx nex nx

25、t edtt( )周期信号展成傅里叶级数，得其中txt)()(21)()()()()(21)(t1 jxdejxtxtxdtetxjxdedtetxtxtjtjtjtjff 即即为为则则上上式式方方括括号号中中的的部部分分时时取取极极限限，可可得得对对上上式式两两边边在在傅里叶变换对傅里叶变换对)()( jxtx0000/2/2/20/21( )( )( )2tjntjnttttntjntjntttnx tx t edt etx t edt eyunzhi huang - dsp2010 - chapter1 31傅里叶变换的性质u 奇偶性奇偶性 偶信号的频谱为偶函数，奇信号的频谱为奇函数偶信

26、号的频谱为偶函数，奇信号的频谱为奇函数 实信号的频谱是共轭对称函数，即其幅度频谱和实部为实信号的频谱是共轭对称函数，即其幅度频谱和实部为偶函数，相位频谱和虚部为奇函数偶函数，相位频谱和虚部为奇函数 u 线性线性u 对偶性（互易性）对偶性（互易性）u 尺度变换特性尺度变换特性)()()()()()()()(221122112211 jxajxatxatxajxtxjxtx则则若若，)(2)()()( xjtxjxtx 则则若若，为为非非零零实实常常数数若若则则aajxaatxjxtx)(|1)()()( ，yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 32傅里叶变换的性质u

27、 时移特性时移特性u 频移特性（调制特性）频移特性（调制特性）u 时域卷积定理时域卷积定理u 频域卷积定理频域卷积定理)()()()()()()()(21212211 jxjxtxtxjxtxjxtx则则若若，0)()()()(0tjejxttxjxtx 则则若若， 00)()()( jxetxjxtxtj则则若若，)()(21)()()()()()(21212211 jxjxtxtxjxtxjxtx 则则若若，yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 33傅里叶变换的性质u 微分特性微分特性u 积分特性积分特性 nnnnnndjxdtxjtdjdxtxjtjxjdt

28、txdjxjdttdxjxtx )()()()()()()()()()()()(，频频域域微微分分特特性性时时域域微微分分特特性性若若则则 ttdjxjxtxjttxjxjxdxtxjxtx )()()(1)()0()(1)()0()()()()()1()1(频频域域积积分分特特性性时时域域积积分分特特性性若若则则yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 34本章内容提要 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解周期信号的频率分解 非周期信号的频谱非周期信号的频谱f 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析连续信号的

29、相关分析 与本章内容有关的与本章内容有关的matlab函数函数yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 35拉普拉斯变换v 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换m对于多数实际因果信号，即对于多数实际因果信号，即t 0 左边信号左边信号x(t)u(-t)以及以及x(t)u(-t+t0)的收敛域常位于左半的收敛域常位于左半s平面平面res0 双边信号双边信号x(t)或或e-a|t|的收敛域常位于左半的收敛域常位于左半s平面平面1 res2 dtetxt|)(| ttte2yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 37u 系统函数的

30、定义系统函数的定义 连续信号的系统函数连续信号的系统函数h(s)，又称转移函数或传递函数，又称转移函数或传递函数，可定义为在零状态条件下系统零状态响应的单边拉氏可定义为在零状态条件下系统零状态响应的单边拉氏变换变换y(s)与系统输入的单边拉氏变换与系统输入的单边拉氏变换x(s)之比，即之比，即 系统函数)()()(sxsysh yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 38本章内容提要 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解周期信号的频率分解 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析f 连续信号的相关

31、分析连续信号的相关分析 与本章内容有关的与本章内容有关的matlab函数函数yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 39相关函数v 相关函数的概念相关函数的概念 m上述定义式中，上述定义式中，x与与y的次序不能颠倒，即的次序不能颠倒，即 ，且，且 dttytxdttxtyrdttxtydttytxrttxyxxyy)()()()()()()()()()()()(* 是是能能量量有有限限信信号号，则则若若、)()(* yxxyrr)()( yxxyrr )()( xxxxrryunzhi huang - dsp2010 - chapter1 40相关函数若若x(t)和

32、和y(t)是实信号，则是实信号，则若若x(t)和和y(t)是功率有限信号，则是功率有限信号，则 dttxtxdttxtxrdttytxdttytxrdttytxdttytxrxxyxxy)()()()()()()()()()()()()()()( dttxtxtrdttxtytrdttytxtrtttxxtttyxtttxy 2/2/*2/2/*2/2/*)()(1lim)()()(1lim)()()(1lim)( yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 41相关与卷积的关系u 说明说明 卷积需要进行翻褶运算，而相关则不需要卷积需要进行翻褶运算，而相关则不需要 若若

33、x(t)或或y(t)是实偶函数，则相关和卷积完全相同是实偶函数，则相关和卷积完全相同)()()()()()()()()()()()()()()()()(tytxtrtytgdtyxdttytxtrdtgxtgtxtyttxxyxyg 则则相相关关与与卷卷积积的的关关系系为为令令互互相相关关卷卷积积，有有和和对对于于实实信信号号， 、yunzhi huang - dsp2010 - chapter1 42相关定理? 证明证明 )()()()()()()()()()(* jxjyrjyjxrjytyjxtxyxxy ffff则则若若，*( )( )()xyrx t y tdt*( )( )( )()jjxyxyrredx t y tdt ed f*( )()( )()jj tx ty teddtx t yjedt *()()x jyj *( )()()yxry jxj 同同理理可可得得fyunzhi huang - dsp2010 - chapter1 43本章内容提要 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解周期信号的频率分解 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析连续信号的相关分析f 与本章内容有关的与本章内容有关的matlab函数函数yunzhi hu