基变换与坐标变换

1、辽东学院教案纸第642页课程：高等代数§4基变换与坐标变换教学目的通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何意义，掌握坐标变换公式.教学内容在数域F上的n维向量空间V中，若取定一个基:n，则 V中每个向量o在这个基下有唯一确定的坐标.对于不同的基，同一 个向量a的坐标一般是不同的.本节讨论基的变动，以及同一个向量 的坐标是如何随其变化的.4.1 基变换设冷,:n与丁，:n是V的两个基，则Pi =aiioti +a2ict2 十八 *ani0(n«卫2 =ai2dl +a22C(2 十+an2°n(“.Bn =ainO(i +玄2|1口2 十八 +ann

2、6;n将(1)用矩阵表示，记作M, 4,，冷二：-1,' 2/ , :-n A,其中 A=(aj)nn Mn(F) . (2) 请注意，的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间V的元素 冷，:2, ：n构成有序元素组(冷，2，n),不是以数域 F 的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F上的有序数组一样的运算性质.对于具体的n维列(行)向量空间Fn,由于,，： n都是n元有序数组，因此当：j,，覚n为列向量时，有序元数组 (：-1, 2，: n)表示以：'1, ：'2/ , : n为列的矩阵，这时 正好是第 一章讲的矩阵乘法形式.设(>1,，n)与(九

3、2，X)是V的两个向量组，A=(aj)nn , B=(bj) Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：(：1，： 2, : n)A)B=(：1，： 2，： n)(AB),(：1, ：'2, ： n)A+( ：'1, ：: n)B = (：1, ： 2, ： n)(A+B),(：'1,：'2, ：n)A+( ：1,'-2 / , - n )A=(冷1，2,：'nn)A.因为上述矩阵形式写法的定义与矩阵乘法的定义在形 式上一样，所以把矩阵乘法的有关运算法则的证明重复一 遍，便得出上述三个规则.因此，这里将其证明略述.课程：高等代数公式（2）中

4、出现的矩阵 A叫做由基:1, ： 爲n到基“，込，凡 的过渡矩阵.命题6.4.1在n维向量空间V中，基二，2,：n到基'-1，'-2/， 'n的过渡矩阵是可逆矩阵.证 设（】，很,，'-n）=（ >1, ：2：F）A,要证A可逆.用反证法， 假如A不可逆，则|A|=0 .于是齐次线性方程组AX=0有非零解，取一个非零解丫=，有!'C1 汕 +C2B2 卄 +Cn0n =（Bl, 02,，血）| :=（1，口2， , a A 丫 =gi，口2， , a n $ AY ）=0 .这表明+，2，'-n线性相关，矛盾.因此A可逆.命题6.4.2 设

5、冷，：2, , :-n是V的一个基，：，：n V,且 （01，%,，B n）=（S 02,a n）A .若A可逆，则二'2/ ,-n是V的一个基.证只要证讯'：2,订线性无关即可.假设k1卄2爲+比氏=8 则i'k/ “ "日=（広駡，Bn存=01, a?,，务'A、.丿< lkn丿£ '因为網，匹，叫是V的一个基，所以从上式得A丨=0 .于是，凶丿由A可逆知道 峪=k2 kn = 0 .故“，-n线性无关.由命题 641、6.4.2立得定理6.4.1设冷，2,打是数域F上向量空间V的一个基，且（氐，A）=（隅，理厲n）A ,其

6、中A=（aj）nn Mn（F）,则4，'n是V的一个基的充分且必要 条件为A是可逆矩阵.这一个定理所刻画的也正是可逆矩阵的几何意义.4.2 坐标变换公式设 V在基冷，r,：下的坐标是（冷X?，Xn），在基辽东学院教案纸课程：高等代数第644页 M,'-n下的坐标是(yi, y2, , yn)，则nfa Xis =(8，a2,，an) X2nyi =( ，':2/，i 4把代入，得=(1， 2，f 、yiGn)A) y2 =Qi，rf 、 y1«n)Ay?lyn 因此，再注意到，则由坐标的唯一性得到'X1 xX?=Ay2込n Jg因此有定理6.4.2 设

7、V是数域F上n(> 0)维向量空间，A是由V的基 ： 1，：2,:n到基-1，-2,，-n的过渡矩阵，则V中向量a在基 ：1, ：2, : n下的坐标(Xi, X2/ , Xn)与在 M, 2/ , '：n 下的坐 标(yi, y2/ , yn)由等式 联系着.例1取V2的两个彼此正交的单位向量 ；2，作成V2的一个基.令1, 2分别是由1和；2旋转角二所得的向量(图6-1)，则弘2也是V2的一个基，且有匕图61所以 1, ；2到 ；1, 2 的过渡矩阵是cos J -sin rsi nv cos：设V2的一个向量a在 ., 2下的坐标是(X1, X2), 标是(右；x2),则由

8、定理6.4.2得x1 = x；cos 8 - x2" sin 8，x2 =x；sin 0 + x； cosT .这正是平面解析几何里转轴的坐标变换公式.例2在F3中，设0(!=(1,0 , - 1 ) ,0(2=(2 ,1 ,1 ) ,0(3=(1'1'1)，=(0,1 ,1 ) ,2=(1 ,1 ,0)，03 =(1 ,2,1),-(2 ,5 ,3 ),求基冷，:2, ：-3到基M , ：2, ：3的过渡矩阵 T,并且求a分别在这两 个基下的坐标.解设为a的转置.因为:=kvM ' k2 ： 2 ' k3 ： 3k2： 2 ' k3： 3所以1, -2, ：3：洛，2, ： 3T= '!, '-2,i-1, ： 2, ： 3 T .于是，设 A=( >1,畑 心),B=( -1, -2, -3 ),则从(：1, l；-"2, 1；-"3 )=(：-1, ：2 :3)T得出，B=AT.为了求T,需要解这个矩阵方程，可按 第一章的方法求解.因为f4、(11210-111100011行变换011112 4、010-1-3-2-111101001244J7所以，过渡矩阵01