03幂级数展开45171

1、3.1 复数项级数复数项级数第三章第三章 幂级数展开幂级数展开复数项无穷级数复数项无穷级数 （1）121kkkwwwwikkkwuv前前n项之和项之和111innnkkkkkkwuvn111limlimilimnnnkkknnkkkwuv从而有从而有复数项无穷级数的收敛问题归结为两个实数项级数复数项无穷级数的收敛问题归结为两个实数项级数11nnkkkkuv、的收敛问题。的收敛问题。 实数项级数的许多性质和规律可移用于复数项级数。实数项级数的许多性质和规律可移用于复数项级数。柯西收敛判据柯西收敛判据：复数项无穷级数收敛的充要条件是，对于任一：复数项无穷级数收敛的充要条件是，对于任一给定的小正数给

2、定的小正数 ，必有，必有n 存在，使得当存在，使得当n n时，有时，有1npkk nw (其中其中 p 为任意正整数为任意正整数)2211kkkkkwuv若若 收敛，则称复数项级数收敛，则称复数项级数 (1) 绝对收敛绝对收敛。显然，绝对收敛的复数项级数必是收敛的。显然，绝对收敛的复数项级数必是收敛的。 两个绝对收敛的复数项级数两个绝对收敛的复数项级数 逐项相乘，得逐项相乘，得也是绝对收敛的，且它的和就等于上述两个级数和之积。也是绝对收敛的，且它的和就等于上述两个级数和之积。11kkkkpq、 1 1122 11 3223 1pqpqp qpqp qp q 复变项级数复变项级数 (2) 121

3、kkkwzw zwzwz它的各项是它的各项是 z 的函数。如果在某个区域的函数。如果在某个区域b(或某根曲线或某根曲线l)上所有上所有的点，级数的点，级数(2)都收敛，就称都收敛，就称复变项级数复变项级数(2)在在b(或或l)上收敛。上收敛。应用柯西判据，复变项级数应用柯西判据，复变项级数(2)在在b(或或l)上收敛的充要条件是：上收敛的充要条件是：在在b(或或l)上各点上各点z，对于任一给定的小正数对于任一给定的小正数 ，必有，必有n(z)存在，存在，使得当使得当n n(z)时，有时，有 1npkk nwz ( p 为任意正整数为任意正整数)如果如果n和和z无关，无关，就称就称复变项级数复变

4、项级数(2)在在b(或或l)上上一致收敛一致收敛。 在区域在区域b上一致收敛的上一致收敛的复变项级数复变项级数的每一项都是的每一项都是b上的连续上的连续函数，则级数的和也是函数，则级数的和也是b上的连续函数上的连续函数。 在曲线在曲线 l上一致收敛的上一致收敛的复变项级数复变项级数的每一项都是的每一项都是l上的连续上的连续函数，则级数的和也是函数，则级数的和也是l上的连续函数，而且级数可以沿上的连续函数，而且级数可以沿l逐项逐项积分。积分。 如果对于某个区域如果对于某个区域b(或曲线或曲线l)上所有的点上所有的点z，复变项级数复变项级数(2)的各项的模的各项的模 ，而正的常数项级数，而正的常数

5、项级数收敛，则复变项级数收敛，则复变项级数(2)在在b(或或l)上绝对且一致收敛。上绝对且一致收敛。 kkwzm1kkm3.2 幂级数幂级数20010200(3)kkkazzaazzazz其中其中z0、ak都是复常数。这种各项都是幂函数的级数叫作以都是复常数。这种各项都是幂函数的级数叫作以z0为中心的为中心的幂级数幂级数。考察由考察由(3)式各项的模所组成的正项级数式各项的模所组成的正项级数 2010200(4)kkaa zzazzazz 利用正项级数的利用正项级数的比值判别法比值判别法可知，如果可知，如果则则(4)收敛，即收敛，即(3)绝对收敛。绝对收敛。110100limlim1kkkkk

6、kkkazzazzaazz1lim,kkkara引入记号引入记号r,可知，若可知，若 z z0 r，则有，则有11010limlim1kkkkkkkkazzaraazz幂级数发散。幂级数发散。 以以z0为圆心作半径为为圆心作半径为r的圆，可知的圆，可知幂级数幂级数(3)在圆的内部绝在圆的内部绝对收敛，在圆外发散。该圆因而叫幂级数的对收敛，在圆外发散。该圆因而叫幂级数的收敛圆收敛圆，其半径，其半径叫收敛半径。叫收敛半径。根值判别法根值判别法：若若 ，则级数，则级数(4)收敛，幂级数收敛，幂级数(3)绝对收敛。绝对收敛。0lim1kkkkazz若若 ，则幂级数，则幂级数(3)各项模各项模1，因而发

7、散，因而发散。0lim1kkkkazz1lim|kkkra由此，可得到收敛半径由此，可得到收敛半径r的另一公式：的另一公式：幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。例例1：求幂级数：求幂级数1+t+t2+ +tk+ 的收敛圆，的收敛圆，t为复变数。为复变数。例例2：求幂级数：求幂级数1-z2+z4-z6+ 的收敛圆，的收敛圆，z为复变数。为复变数。11limlim11kkkkara1lim1kkkara收敛圆为以收敛圆为以t=0为圆心，为圆心，半径为半径为1的圆，的圆， t 1。12111111limlim,(| | 1)11nnnnnnntsttttt

8、sttt 223,1ztttt 246211,(| 1)1zzzzzt 平面上收敛半径为平面上收敛半径为1，z平面上平面上收敛半径为收敛半径为 ，亦为，亦为1 。r2010200( )()()()kkwaazazaz201020()()1( )1112 i2 i2 i2 iaazazwzzzz 1111010220()1( )11ddd2 i2 i2 i()1 d2 irrrrccccaazwzzzazz2010200( )()()()kkw zaa zzazzazz在收敛圆内绝对且一致收敛，就是说，它在一个稍稍缩小的在收敛圆内绝对且一致收敛，就是说，它在一个稍稍缩小的圆周圆周cr1上一致收敛

9、。因此它可沿上一致收敛。因此它可沿cr1逐项积分。逐项积分。幂级数幂级数 ,zw zw12010201( )d()()2 ircwaa zzazzz1( )( )d2 ilff zz设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为r，则有，则有i) 它的和函数，即它的和函数，即 是收敛圆内的解析函数。是收敛圆内的解析函数。ii) 幂级数在其收敛圆内可逐项求导任意多次，也可逐项积分，幂级数在其收敛圆内可逐项求导任意多次，也可逐项积分，且逐项求导或逐项积分后的新级数与原级数具有相同的收敛且逐项求导或逐项积分后的新级数与原级数具有相同的收敛半径。半径。00()kkkazz00( )()kkkw zazz

10、( )( )( )0000100000000()()() d() d()1nnnkkkkkkzzkkkkkkkkkwzazzazzaazzzazzzzzk 前面结果表明，幂级数的和可以表为连续函数的回路积分，前面结果表明，幂级数的和可以表为连续函数的回路积分，而连续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次，亦即是解而连续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次，亦即是解析函数。由此可见析函数。由此可见3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开泰勒泰勒(taylor)展开定理展开定理：设：设f(z)在以在以z0为圆心的圆为圆心的圆cr内解析，则内解析，则对圆内的任意对圆内的任意z点，点，f(z)可展为幂级数：

11、可展为幂级数：00( )() ,kkkf zazz1( )010()1( )d2 i()!rkkkcfzfazkcr1为圆为圆cr内包含内包含z且与且与cr同心的圆。同心的圆。其中其中z0crcr1z z-z0 -z0 证明证明：如右图，为避免在圆周：如右图，为避免在圆周cr上的发散问上的发散问题，作包含题，作包含z且与且与cr同心的稍小圆周同心的稍小圆周cr1。利用函数利用函数1/(1/( - -z) )，把它改写为，把它改写为 0000011111zzzzzzzz2300000000001111zzzzzzzzzzzzzzz 0010000011kkkkkkzzzzzzzz00100000

12、11kkkkkkzzzzzzzz 112 ircff zdz代入柯西公式代入柯西公式 1010012 irkkckzzf zfdz 1010012 irkkckfzzdz1( )010!( )()d2i()rkkckffzz再把再把 代入上式，即得：代入上式，即得： 0000,()!kkkfzf zzzzzrk黑板黑板例例1：在：在z0=0的邻域把的邻域把 展开。展开。 zf ze例例2：在：在z0=0的邻域把的邻域把 展开。展开。 12sincosfzzfzz、例例3：在：在z0=1的邻域把的邻域把 展开。展开。 lnf zz例例4：在：在z0=0的邻域把的邻域把 展开展开 (m不是整数不是

13、整数)。 1mf zz211,(| 1)1nzzzzz 3.4 解析延拓解析延拓246211,(| 1)1zzzzz括号内为式子成立条括号内为式子成立条件，如无这些条件，件，如无这些条件，等式将不成立。等式将不成立。 2462211,(| 1)11( ),(i)1f zzzzzzf zzz 考察如下两个函数考察如下两个函数幂级数幂级数f(z)在单位圆在单位圆 z =1内部收敛，其和是解析函数；在圆外，内部收敛，其和是解析函数；在圆外，级数发散，其和不等于级数发散，其和不等于1/(1+z2)。f(z)在区域在区域 z 1上解析，而上解析，而f(z)在一个更大的区域在一个更大的区域(即即zi)上解

14、上解析，二者在较小的区域析，二者在较小的区域(即即 z 1)上等同。上等同。简言之，简言之，解析延拓解析延拓就是解析函数定义域的扩大。就是解析函数定义域的扩大。原则上，解析延拓总可以利用泰勒级数进行原则上，解析延拓总可以利用泰勒级数进行, 具有具有唯一性唯一性。对于某个区域对于某个区域b上的上的解析函数解析函数f(z)，如果能找到另一个函数，如果能找到另一个函数f(z)，它在含有区域它在含有区域b的一个较大的区域的一个较大的区域b上解析，且在区域上解析，且在区域b上等同上等同于于f(z) ，则这个过程就叫，则这个过程就叫解析延拓解析延拓。bb3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开 当所研究的区域上存

15、在函数的奇点时，就不再能将函数展当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开洛朗级洛朗级数展开数展开。212201001020()()()()azzazzaa zzazz考察双边幂级数：考察双边幂级数：设其正幂部分收敛半径为设其正幂部分收敛半径为r101122102012()() zzazzazzaa 其负幂部分可写为：其负幂部分可写为：它的收敛半径记为它的收敛半径记为1/ /r2，即它在即它在圆圆 = 1/ /r2内收敛，亦即在圆内收敛，亦即在圆 z-z0 =r2外收敛。外收敛。如果如果r2r1，则

16、双边幂级数，则双边幂级数212201001020()()()()azzazzaa zzazz就在环域就在环域r2 z- -z0 r1内绝对切一致收敛，其和为一解析函内绝对切一致收敛，其和为一解析函数。级数可逐项求导。数。级数可逐项求导。环域环域r2 z- -z0 r1，则级数处处发散。，则级数处处发散。例：例：11nnnnnnazzb洛朗展开定理洛朗展开定理 设设f(z)在环域在环域r2|z-z0|r1的内部单值解析，则的内部单值解析，则对环域内任一点对环域内任一点z，f(z)可展为幂级数可展为幂级数 其中其中 积分路径积分路径c为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭为位于环域内按逆时针方

17、向绕内圆一周的任一闭合曲线。合曲线。0( )() ,kkkf zazz101( )d2 i()kkcfaz洛朗级数的正幂项洛朗级数的正幂项( (含常数项含常数项) )部分被称作部分被称作解析部分解析部分( (或或正则部正则部分分) )；负幂项部分被称为；负幂项部分被称为主要部分主要部分或或无限部分无限部分。100on:rczzz121( )1( )( )dd2 i2 irrccfff zzzz0r1cr1r2cr2c r1cr2c200on:rczzz000000000()11111,()()()1kkkzzzzzzzzzzzz000000000()11111()()()1kklzzzzzzz

18、zzzzzzz 证明证明：为避免圆周上函数的解析性和级：为避免圆周上函数的解析性和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为数的收敛问题，将外圆稍微缩小为c r1、内内圆稍微扩大为圆稍微扩大为c r2，利用复通区域上的，利用复通区域上的柯西公式柯西公式：120100(1)0001( )( )()d2 i()1()()( )d2 irrkkckllclff zzzzzzzf21(1)000(1)01101()()( )d2 i1( )()d2 i() rrllclklkcauchykkczzzffzzz0( )()kkkf zazz111001( )1( )dd2 i2 i()()rkkkccffazz例

19、：在以例：在以z=0为中心的为中心的0|z|+ 的圆环域内把的圆环域内把 展开。展开。 2( )zef zz解解:（直接法）（直接法）(2)30300 1d1130()2 i(2)!(2)!kkkkckkaeakaekk例：分别在例：分别在0|z|1; 1|z|2; 2|z|+ 的圆环域内把下面函的圆环域内把下面函数展开。数展开。 1( )(1)(2)f zzz黑板黑板（间接法）（间接法）黑板黑板 222 !kkkkkzf za zk3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点孤立奇点 若函数若函数f(z)在某点在某点z0不解析不解析(或无定义或无定义)，但在，但在z0的任的任意小去心邻域意小

20、去心邻域0|z-z0| 内处处解析，则称内处处解析，则称z0为函数为函数f(z)的孤立的孤立奇点。奇点。或者按教材上的说法或者按教材上的说法 若函数若函数f(z)在某点在某点z0不可导不可导(或无定义或无定义)，但在但在z0的任意小去心邻域的任意小去心邻域0|z-z0| 内处处可导，则称内处处可导，则称z0为函数为函数f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。例例: 1/z、exp(1/z)、f(z)=1/sin(1/z) 在在z0=0点的情况点的情况非孤立奇点非孤立奇点 若函数若函数f(z)在在z0点的无论多么小的邻域内总可找点的无论多么小的邻域内总可找到除到除z0以外的奇点，则称以外的奇点，则称z0

21、为函数为函数f(z)的非孤立奇点。的非孤立奇点。例例: sinz/z, z0=0可去奇点可去奇点 如果函数如果函数f(z)在其孤立奇点在其孤立奇点z0的去心邻域的去心邻域0|z-z0|r上的洛朗级数中不含有上的洛朗级数中不含有(z-z0)的负幂项，则称的负幂项，则称z0为为f(z)的可去奇的可去奇点。点。 20102000f zaazzazzzzr可去奇点的主要特征可去奇点的主要特征（1）f(z)在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分；在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分；（2）（3）f(z)在在z0点点的去心邻域内有界。的去心邻域内有界。以上任何一条均可作为判别奇点是否为可去奇点的判断

22、标准，以上任何一条均可作为判别奇点是否为可去奇点的判断标准，也可作为可去奇点的定义。也可作为可去奇点的定义。 000lim,();zzf zaa 357sin1!3!5!7!zzzzz246sin13!5!7! zzzzz极点极点 如果函数如果函数f(z)在其孤立奇点在其孤立奇点z0的去心邻域的去心邻域0|z-z0|r上的上的洛朗级数中仅含有有限个洛朗级数中仅含有有限个(z-z0)的负幂项，则称的负幂项，则称z0为为f(z)的极点。的极点。 110101020102000(0)mmmmkkkmf zazzazzazzaazzazzazzzzr如果如果f(z)在在z0点的洛朗级数具有如下形式：点的洛朗级数具有如下形式：其中其中a-m 0，m为有限数，则称为有限数，则称z0为为f(z)的的